潘覃毅，趙萬良，王 偉，于翔宇，孫湘鈺

(1. 上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109；2.上海慣性工程技術(shù)研究中心·上海·201109)

0 引 言

半球諧振陀螺(Hemispherical Resonator Gyroscope，HRG)是一種諧振式慣性敏感器，具有質(zhì)量小、體積小、功耗低、工作壽命長、測量精度高、長期工作可靠等優(yōu)點(diǎn)，適用于航天、航空、車輛、船舶等慣性導(dǎo)航領(lǐng)域。

諧振子作為半球諧振陀螺的核心部件，一般由物理化學(xué)性質(zhì)穩(wěn)定、高品質(zhì)因數(shù)的熔融石英玻璃加工制成，并封裝在真空金屬罩中。諧振子的高精密加工存在缺陷，往往會(huì)引入一系列不理想因素，如薄殼壁厚、石英材料的密度分布以及金屬膜層厚度的不均勻性等，都會(huì)引起半球諧振陀螺的頻率裂解、阻尼不對(duì)稱等固有誤差[1-3]，產(chǎn)生半球諧振陀螺的零位誤差。諧振子作為軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，引起半球諧振陀螺輸出零位包括兩部分，關(guān)于駐波角位置的對(duì)稱零位和非對(duì)稱常值零位[4]。半球諧振陀螺的非對(duì)稱常值零位誤差十分穩(wěn)定，不易受外界環(huán)境干擾，該零位不影響陀螺測量精度；而對(duì)稱性零位誤差與半球諧振陀螺自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)，易受環(huán)境溫度、電磁干擾、振動(dòng)以及沖擊等影響，從而產(chǎn)生零位漂移，因此有必要對(duì)半球諧振陀螺輸出的對(duì)稱性零位誤差進(jìn)行校準(zhǔn)補(bǔ)償。

解決陀螺零位漂移的方法一般包括溫度控制[5]、建模補(bǔ)償[6-7]和校準(zhǔn)[8-9]方法。溫度控制采取恒溫措施，使陀螺處于穩(wěn)定溫度場，抑制陀螺零位的溫度漂移。該方法增加了陀螺產(chǎn)品的體積、功耗、硬件電路成本等，同時(shí)還受設(shè)備溫控精度的影響。建模補(bǔ)償是通過外置熱敏電阻等溫度傳感器采集陀螺溫度，建立陀螺零位溫度漂移模型，測量過程中根據(jù)陀螺實(shí)測溫度進(jìn)行補(bǔ)償。該方法的缺點(diǎn)是陀螺測量精度受漂移模型準(zhǔn)確度的影響，因此建立的漂移模型具有較大誤差。零位校準(zhǔn)的方法是基于陀螺的零位特性進(jìn)行校準(zhǔn)歸零，該方法不需要額外的硬件設(shè)備，不受外界環(huán)境變化影響，但對(duì)電路控制技術(shù)具有較高的要求，而基于模態(tài)反轉(zhuǎn)的電路控制技術(shù)是控制電路中常用的誤差消除方法。

針對(duì)半球諧振陀螺零位漂移問題，本文研究了基于模態(tài)反轉(zhuǎn)的零位自校準(zhǔn)方法。首先，討論了半球諧振陀螺工作機(jī)理，考慮頻率裂解以及阻尼不對(duì)稱誤差引入非理想動(dòng)力學(xué)模型，并分析了半球諧振陀螺的駐波漂移特性。其次，理論上分析了半球諧振陀螺零位自校準(zhǔn)方法，并通過虛擬進(jìn)動(dòng)方法實(shí)現(xiàn)了駐波模態(tài)反轉(zhuǎn)。最后，通過仿真和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行半球諧振陀螺零位自校準(zhǔn)，驗(yàn)證了該校準(zhǔn)方法的有效性?；谀B(tài)反轉(zhuǎn)的零位自校準(zhǔn)方法對(duì)半球諧振陀螺的測量精度提升和工程應(yīng)用具有重大的意義。

1 半球諧振陀螺駐波漂移誤差分析

半球諧振陀螺通過激起諧振子上的彈性波在陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的進(jìn)動(dòng)效應(yīng)敏感載體角速度及旋轉(zhuǎn)角度[10]。在控制作用下半球諧振陀螺維持四波腹振型振動(dòng)，四波腹振型以及振動(dòng)周期T內(nèi)四波腹振型的變化如圖1(a)和圖1(c)所示。當(dāng)陀螺不旋轉(zhuǎn)時(shí)，波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)的位置相對(duì)于殼體保持不變；陀螺發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)，在科氏加速度的作用下，振型相對(duì)外殼體發(fā)生進(jìn)動(dòng)，振型相對(duì)于殼體進(jìn)動(dòng)角度θ與陀螺外殼體繞其固定軸旋轉(zhuǎn)角度ψ的關(guān)系滿足θ=-βψ，β為Bryan系數(shù)，駐波的進(jìn)動(dòng)效應(yīng)如圖1(b)所示。

(a)靜態(tài)下陀螺四波腹振型

半球諧振陀螺四波腹振動(dòng)時(shí)，利用振動(dòng)的分解與合成，諧振子的徑向振動(dòng)W(φ,t)可由關(guān)于時(shí)間和空間的函數(shù)表示，如下所示

W(φ,t)=x(t)cos2φ+y(t)sin2φ

(1)

其中，x(t)、y(t)表示0°和45°方位諧振子自由端的振動(dòng)位移函數(shù);φ為諧振子自由端的圓心角位置。

半球諧振陀螺進(jìn)行物理建模時(shí)，可近似為一個(gè)二階彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其等效模型如圖2所示。諧振子自由端環(huán)向密度、品質(zhì)因數(shù)不均勻的四次諧波偏差導(dǎo)致諧振環(huán)上存在著兩個(gè)分別成45°的固有頻率軸系和阻尼軸系[11]，包含頻率主軸和次軸、阻尼主軸和次軸。兩主軸分別對(duì)應(yīng)了諧振頻率、品質(zhì)因數(shù)的極值點(diǎn)。半球諧振陀螺的主軸定義如圖3所示，其中，阻尼軸方位角為θτ，頻率軸方位角為θω。

圖2 半球諧振陀螺等效模型

圖3 半球諧振陀螺阻尼軸和頻率軸定義

施加陀螺控制力作用，并考慮頻率裂解和阻尼不對(duì)稱誤差，半球諧振陀螺的二階動(dòng)力學(xué)模型[12]為

(2)

(3)

其中，ω1、ω2(ω1<ω2)為固有頻率軸的諧振頻率，ω為平均諧振頻率，Δω為頻差，矩陣Mω為頻率裂解誤差矩陣；τ1、τ2(τ1<τ2)分別表示固有阻尼軸的衰減時(shí)間常數(shù)，2τ-1為平均衰減時(shí)間常數(shù)，Δ(τ-1)為阻尼不對(duì)稱系數(shù)，矩陣Mτ為阻尼不對(duì)稱誤差矩陣。fx、fy為系統(tǒng)施加在陀螺x、y振動(dòng)方向上的控制力；K為進(jìn)動(dòng)因子，K≈0.277[11]；Ω為陀螺敏感角速率；meq為半球諧振陀螺等效質(zhì)量。

(4)

在半球諧振陀螺的實(shí)際控制中，波腹點(diǎn)維持恒幅振動(dòng)，波節(jié)點(diǎn)振動(dòng)幅度為零。引入頻率裂解、阻尼不對(duì)稱固有誤差，并分析半球諧振陀螺的固有誤差影響，暫不考慮控制力作用，基于Lynch平均值法，推導(dǎo)半球諧振陀螺誤差方程[12]為

(5)

式中，a為駐波波腹點(diǎn)振幅；q為駐波波節(jié)點(diǎn)振幅，波節(jié)點(diǎn)幅值也用于表征正交誤差；n為諧振子環(huán)向波數(shù)，由半球諧振陀螺的工作模式?jīng)Q定，對(duì)于四波腹振動(dòng)n=2；φ為半球諧振陀螺的振動(dòng)相位。θ的微分方程表示為駐波進(jìn)動(dòng)誤差方程，直接表述了半球諧振陀螺的測量誤差特性。

由駐波進(jìn)動(dòng)誤差方程式(5)可知，半球諧振陀螺存在電極裝配偏差、阻尼不對(duì)稱等非理想因素，實(shí)際的阻尼軸方位與檢測驅(qū)動(dòng)軸并非完全對(duì)齊，因此駐波極易發(fā)生漂移，其中阻尼不對(duì)稱誤差是引起駐波漂移最主要的原因[13]。

通過機(jī)械調(diào)平降低半球諧振陀螺頻差Δω、正交環(huán)路抑制正交誤差q，可化簡駐波進(jìn)動(dòng)誤差方程為

(6)

其中，ceq為等效阻尼不對(duì)稱導(dǎo)致的駐波漂移函數(shù)幅值。由式(6)可知，駐波漂移誤差為對(duì)稱性誤差，是關(guān)于駐波方位角的正弦函數(shù)關(guān)系。諧振子的阻尼不對(duì)稱性受環(huán)向機(jī)械阻尼以及腔體內(nèi)殘余氣體阻尼分布不均勻的影響，因而間接地影響半球諧振陀螺零位與駐波方位角也呈現(xiàn)正余弦函數(shù)。在零輸入角速率下，阻尼方位角為5°，駐波的漂移速率隨方位角的關(guān)系如圖4所示。由圖4中可知，在駐波方位角為0°和45°處，駐波的漂移方向相反，其漂移引起的零位誤差同為對(duì)稱性誤差，本文正是基于此漂移特性進(jìn)行半球諧振陀螺零位校準(zhǔn)。

圖4 駐波漂移速率隨駐波方位角的變化

2 零位自校準(zhǔn)方法

2.1 模態(tài)零位分析

在半球諧振陀螺傳統(tǒng)PID控制模式中，控制電路主要包括3個(gè)回路：(1)幅度控制回路維持主駐波進(jìn)行恒幅振動(dòng)，補(bǔ)充阻尼機(jī)制的能量損耗;(2)正交控制回路抑制正交波振動(dòng)，降低正交誤差;(3)力反饋回路在波節(jié)點(diǎn)處施力，抑制駐波進(jìn)動(dòng)，保持四波腹振型的非進(jìn)動(dòng)狀態(tài)。為激勵(lì)半球諧振陀螺工作于四波腹振型，施加控制力的驅(qū)動(dòng)頻率與陀螺諧振頻率ω保持一致，控制力表示如下

Fa=faccos(ωt+φ*)+fassin(ωt+φ*)Fq=fqccos(ωt+φ*)+fqssin(ωt+φ*)

(7)

其中，fas為相位控制力，fac為幅度控制力，fqs為正交控制力，fqc為力反饋控制力，分別表示施加在波腹點(diǎn)Fa和波節(jié)點(diǎn)Fq的控制力分量。同相cos(ωt+φ*)和正交sin(ωt+φ*)參考信號(hào)由數(shù)字鎖相環(huán)跟蹤實(shí)現(xiàn)，φ*為相位跟蹤誤差。力平衡模式正是通過反饋力來表征半球諧振陀螺敏感的外界角速度。

若存在外界角速度時(shí)，半球諧振陀螺受科氏力作用，四波腹振型進(jìn)動(dòng)，波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)受外界角速度發(fā)生位置進(jìn)動(dòng)。因此施加在波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)的控制力需要通過矢量合成的方式，旋轉(zhuǎn)投影到驅(qū)動(dòng)電極軸上，旋轉(zhuǎn)角度即是駐波的進(jìn)動(dòng)角2θ?？刂屏Φ氖噶亢铣煽赏ㄟ^如下正交變換實(shí)現(xiàn)

(8)

傳統(tǒng)力平衡模式下，駐波方位位于0°角位置(θ=0°)，即駐波工作在x模態(tài)。在x振動(dòng)模態(tài)下，駐波在0°方向進(jìn)行恒定振幅A0的簡諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)形式為x=A0sinωxt，ωx為振動(dòng)頻率，而45°角位置駐波振動(dòng)為0，駐波四波腹振型不發(fā)生進(jìn)動(dòng)。將式(7)代入動(dòng)力學(xué)方程，得到x、y方向的控制力以及所施加的反饋力為

(9)

(10)

φx表示x模態(tài)跟蹤相差，反饋力fqc表征外界角速度Ω，由式(10)可知x模態(tài)的標(biāo)度因數(shù)為SFx=4mKA0ωx，零位為B0x=1/(4K)Δ(τ-1)sin4θτ。

當(dāng)駐波工作在y模態(tài)時(shí)，駐波控制在45°角位置上(θ=45°)，即y模態(tài)的波腹軸在45°方位，波腹點(diǎn)振動(dòng)為y=A0sinωyt，振動(dòng)頻率為ωy，而0°角位置的波節(jié)點(diǎn)振動(dòng)幅度為0。φy為y模態(tài)跟蹤相差，x、y方向的控制力大小為

(11)

將波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)形式以及控制力代入動(dòng)力學(xué)方程，得到力反饋控制力為

(12)

當(dāng)振動(dòng)駐波工作于y振動(dòng)模態(tài)時(shí)，陀螺的標(biāo)度因數(shù)為SFy=4mKA0ωy，陀螺零位為B0y=-1/(4K)Δ(τ-1)sin4θτ。

由上述分析可知，在0°和45°不同的模態(tài)中，半球諧振陀螺的標(biāo)度因數(shù)為SF≈4mKA0ωx≈4mKA0ωy，模態(tài)標(biāo)度因數(shù)中僅有諧振頻率不同，其余項(xiàng)均相同。因此，可基于電負(fù)剛度方法[14]抑制諧振子x和y方向的頻差，使兩者頻差Δω≈0，此時(shí)認(rèn)為0°與45°模態(tài)的標(biāo)度因數(shù)一致，故兩模態(tài)的標(biāo)度因數(shù)均為SF=4mKA0ω。不同的是0°模態(tài)和45°模態(tài)的零位B0大小均為1/(4K)Δ(τ-1)sin4θτ，但兩者極性相反，與上一小節(jié)的駐波漂移誤差特性分析一致。因此，可通過模態(tài)反轉(zhuǎn)的方式估計(jì)陀螺輸出零位并對(duì)其進(jìn)行校準(zhǔn)。

圖5 模態(tài)反轉(zhuǎn)示意圖

2.2 模態(tài)反轉(zhuǎn)控制

半球諧振陀螺敏感外界角速度時(shí)，受科氏力的作用，將不同模態(tài)的能量進(jìn)行交換，未消耗能量，使駐波發(fā)生進(jìn)動(dòng)。當(dāng)外界角速度小于陀螺閾值或無外界輸入角速度時(shí)，駐波不能實(shí)現(xiàn)進(jìn)動(dòng)，無法進(jìn)行模態(tài)反轉(zhuǎn)，因此需要在陀螺控制端施加虛擬控制力，使之具有與科氏力相同的作用，駐波發(fā)生虛擬進(jìn)動(dòng)，與受外界角速度影響駐波的進(jìn)動(dòng)效果相同。在0°和45°模態(tài)上施加虛擬科氏力如式(13)

(13)

其中，Gvirt為虛擬旋轉(zhuǎn)的控制增益。

將虛擬旋轉(zhuǎn)控制電壓施加到x和y方向極板上，代入動(dòng)力學(xué)方程可得

(14)

由Gvirt=4KmeqΩvirt確定虛擬轉(zhuǎn)速，即一定的虛擬旋轉(zhuǎn)增益Gvirt與已知的虛擬旋轉(zhuǎn)速率相對(duì)應(yīng)。在給定虛擬轉(zhuǎn)速Ωvirt，若存在外界角速度Ω(t)，則相對(duì)于陀螺殼體駐波實(shí)際的進(jìn)動(dòng)角度為

(15)

式中，θ0為駐波初始方位角，仿真中θ0=0°。通過控制虛擬旋轉(zhuǎn)駐波進(jìn)動(dòng)角為45°，電氣上旋轉(zhuǎn)90°，實(shí)現(xiàn)模態(tài)反轉(zhuǎn)，并控制半球諧振陀螺在不同模態(tài)的工作時(shí)間、工作階段零位進(jìn)行校準(zhǔn)，模態(tài)反轉(zhuǎn)的控制時(shí)序如圖6(a)，模態(tài)反轉(zhuǎn)過程中振動(dòng)軌跡李薩如圖形如圖6(b)，模態(tài)反轉(zhuǎn)前后陀螺零位變化如圖6(c)。

(a) 模態(tài)反轉(zhuǎn)控制時(shí)序圖

從上述仿真可知，模態(tài)反轉(zhuǎn)前后，半球諧振陀螺零位的極性發(fā)生變化。x模態(tài)的零位為36.1806(°)/h，y模態(tài)的零位為-36.6484(°)/h，滿足x模態(tài)和y模態(tài)的零位大小相等，符號(hào)相反，與2.1節(jié)理論推導(dǎo)相同。因此，基于上述推論，可通過模態(tài)反轉(zhuǎn)的電路控制技術(shù)切換輸出零位，取上一時(shí)刻和當(dāng)前時(shí)刻模態(tài)的零位均值，估計(jì)下一個(gè)工作階段的半球諧振陀螺零位進(jìn)行校準(zhǔn)，以一定周期進(jìn)行模態(tài)反轉(zhuǎn)，對(duì)零位進(jìn)行周期性校準(zhǔn)。

3 零位校準(zhǔn)仿真與實(shí)驗(yàn)

3.1 零位校準(zhǔn)仿真

仿真中半球諧振陀螺的零位誤差模型采用式(6)，零位仿真數(shù)據(jù)包括角速率隨機(jī)游走和趨勢項(xiàng)，仿真的陀螺數(shù)據(jù)和校準(zhǔn)數(shù)據(jù)如圖7所示。為驗(yàn)證零位校準(zhǔn)對(duì)陀螺性能的提升，仿真中分別設(shè)置了21組不同時(shí)間(30h～60h)的原始數(shù)據(jù)，并進(jìn)行零位校準(zhǔn)，對(duì)比校準(zhǔn)前后長期、短期(1h)的零偏穩(wěn)定性(1σ)，繪制箱線圖如圖8所示。

圖7 半球諧振陀螺零位校準(zhǔn)仿真

圖8 零位校準(zhǔn)對(duì)(長期、短期)零偏穩(wěn)定性的影響

從仿真結(jié)果中可以看到，校準(zhǔn)前后陀螺零位從38.8095(°)/h降低至0.0019(°)/h，大大降低了零位漂移誤差?；谀B(tài)反轉(zhuǎn)的零位校準(zhǔn)方法大幅度地提高了長時(shí)間的零偏穩(wěn)定性，長期零偏穩(wěn)定性提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，同時(shí)也提高了短期的零偏穩(wěn)定性(中位數(shù))，因此通過仿真驗(yàn)證了模態(tài)反轉(zhuǎn)的零位校準(zhǔn)方法抑制零位漂移的有效性。

3.2 零位校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)

半球諧振陀螺控制系統(tǒng)主要包括陀螺表頭、前端模擬電路和FPGA數(shù)字控制系統(tǒng)，陀螺控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖9所示。前端模擬電路模塊主要包括電荷放大器、差分濾波電路以及AD/DA、驅(qū)動(dòng)電路。其中，電荷放大器用于檢測陀螺微弱振動(dòng)信號(hào)，將其轉(zhuǎn)為電壓信號(hào)；差分濾波電路則對(duì)輸出進(jìn)行放大濾波，可抑制共模噪聲，提高差模信號(hào)；AD/DA完成模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)的轉(zhuǎn)換，用于陀螺的數(shù)字控制實(shí)現(xiàn)；驅(qū)動(dòng)電路實(shí)現(xiàn)陀螺控制力的驅(qū)動(dòng)放大作用。陀螺檢測的微弱信號(hào)經(jīng)過鎖相環(huán)PLL實(shí)現(xiàn)頻率跟蹤，并進(jìn)行解調(diào)濾波，組合運(yùn)算以及環(huán)路誤差計(jì)算后，通過PID控制器進(jìn)行半球諧振陀螺的閉環(huán)控制。

圖9 半球諧振陀螺控制系統(tǒng)

通過上位機(jī)軟件輸入半球諧振陀螺的控制參數(shù)，并在半球諧振陀螺起振及控制穩(wěn)定后進(jìn)行模態(tài)反轉(zhuǎn)控制。模態(tài)反轉(zhuǎn)的控制周期為12min，受半球諧振陀螺高Q值以及控制電路實(shí)際的物理電壓限制，模態(tài)反轉(zhuǎn)間隔時(shí)間為1min，模態(tài)反轉(zhuǎn)駐波方位控制如圖10所示，模態(tài)反轉(zhuǎn)前后輸出零位如圖11所示。

圖10 模態(tài)反轉(zhuǎn)駐波方位控制

圖11 半球諧振陀螺模態(tài)反轉(zhuǎn)前后輸出零位

由圖11可以看到，模態(tài)反轉(zhuǎn)前后陀螺的零位值分別處于零刻度線的兩側(cè)，滿足零位符號(hào)相反，x和y模態(tài)零位大小為11(°)/h和15(°)/h。根據(jù)模態(tài)反轉(zhuǎn)前后的輸出零位，取零位均值估計(jì)下一個(gè)工作階段的陀螺零位，重復(fù)進(jìn)行模態(tài)反轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)零位的周期性校準(zhǔn)。校準(zhǔn)前0°和45°模態(tài)零位大小以及校準(zhǔn)后結(jié)果如圖12和表1所示。

圖12 不同模態(tài)零位及校準(zhǔn)零位曲線

表1 原始輸出與零位自校準(zhǔn)輸出對(duì)比

從表1中可以得到，相對(duì)于傳統(tǒng)力平衡模式，校準(zhǔn)后陀螺零位大幅下降，從15(°)/h降低至2.0814(°)/h，降低了86.12%，長期穩(wěn)定性和短期穩(wěn)定性也有所提高，分別提高了45.86%和11.8%。結(jié)果表明,基于模態(tài)反轉(zhuǎn)的零位校準(zhǔn)方法可有效地抑制對(duì)稱性零位漂移和降低零位誤差。3.1節(jié)仿真長期穩(wěn)定性提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真具有一定的差異性，說明了半球諧振陀螺實(shí)際精度仍受頻率裂解、正交誤差等影響，因此后期仍需進(jìn)一步研究半球諧振陀螺的誤差模型，優(yōu)化校準(zhǔn)算法,提高測量精度。

4 結(jié) 論

本文提出了基于模態(tài)反轉(zhuǎn)的半球諧振陀螺零位自校準(zhǔn)方法，解決了半球諧振陀螺的零位漂移問題。首先，討論了半球諧振陀螺的工作機(jī)理，分析了阻尼不對(duì)稱引起的駐波漂移誤差特性。其次，建立半球諧振陀螺零位校準(zhǔn)方法并通過虛擬進(jìn)動(dòng)控制實(shí)現(xiàn)了模態(tài)反轉(zhuǎn)。最后，對(duì)半球諧振陀螺零位自校準(zhǔn)進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，校準(zhǔn)零位大幅下降，從15(°)/h降低至2(°)/h，零位均值降低了86.12%，長期零偏穩(wěn)定性和短期穩(wěn)定性也提高了45.86%和11.8%，有效降低了陀螺測量誤差，進(jìn)一步驗(yàn)證了基于模態(tài)反轉(zhuǎn)的半球諧振陀螺零位自校準(zhǔn)方法的有效性。