徐艷華

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西渭南 714000）

目前，分?jǐn)?shù)階微積分在科學(xué)、工程等眾多領(lǐng)域得到了迅速的發(fā)展，因此任意階微分方程在物理、流體力學(xué)、生理學(xué)、工程、勢理論、彈性力學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的研究[1-2]。近年來，將微積分應(yīng)用于圖像處理已成為一個熱點(diǎn)研究課題，并有大量的研究成果發(fā)布[3]。與整數(shù)階微積分相比，在圖像去噪過程中，分?jǐn)?shù)階微積分方法可以在保留平滑區(qū)域細(xì)節(jié)信息的同時增強(qiáng)邊緣，使紋理更加清晰。

傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微積分方法對圖像邊緣、紋理和平滑區(qū)域采用相同的階數(shù)處理。當(dāng)使用高分?jǐn)?shù)階來處理圖像噪聲時，弱紋理和平滑區(qū)域?qū)⒈缓雎?，而使用低分?jǐn)?shù)階會削弱圖像的邊緣[4]。因此在實際應(yīng)用中，僅使用整數(shù)分?jǐn)?shù)階微積分對圖像的去噪效果并不理想，進(jìn)而提出了基于分?jǐn)?shù)階微積分的圖像去噪算法。該算法利用圖像梯度特征構(gòu)造分?jǐn)?shù)階微積分算子，采用不同的分?jǐn)?shù)階對不同的像素進(jìn)行處理，從而實現(xiàn)圖像去噪[5]。

1 分?jǐn)?shù)階微積分理論分析

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分

根據(jù)傅里葉變換的基本理論，將圖像信號處理定義為：

式 中，Dγ為γ階微分算子，ω為角頻率，為分?jǐn)?shù)階微積分濾波器的濾波函數(shù)，sgn(?)表示整數(shù)部分的數(shù)字符號。

在頻率特性方面，分?jǐn)?shù)階微積分利用Gamma 函數(shù)Γ(t)t將其定義擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階，Grumwald-Letnikov（GL）定義的γ階分?jǐn)?shù)階微積分為：

式中，[?]表示整數(shù)部分，信號的持續(xù)時間f(t)為[a,t]，a是任意實數(shù)，表示由GL 定義的γ階分?jǐn)?shù)微積分算子。當(dāng)γ＞0 時，是γ階的分?jǐn)?shù)微分算子；當(dāng)γ＜0 時，是γ階的分?jǐn)?shù)積分算子。

分?jǐn)?shù)階微積分的頻率響應(yīng)如圖1 所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階積分的幅頻特性曲線

由圖1（a）可知，隨著分?jǐn)?shù)階微分階次和頻率的增加，對于高頻信號的增強(qiáng)作用也明顯增加，且增強(qiáng)的幅度在后期最為明顯。由圖1（b）可知，隨著分?jǐn)?shù)階積分階次和頻率的增加，分?jǐn)?shù)階積分運(yùn)算對高頻信號的衰減幅度也逐漸增加。

由此可知，分?jǐn)?shù)階微分可增強(qiáng)、保留圖像邊緣和紋理特征，而分?jǐn)?shù)階積分則可以去除圖像噪聲。

1.2 分?jǐn)?shù)階微積分對圖像的處理

在二維數(shù)字圖像中，相鄰兩個像素之間是灰度變化的最短距離，因此圖像在x軸和y軸方向上的持續(xù)時間只能以像素為單位來測量[6]。因此根據(jù)GL 分?jǐn)?shù)階微積分表達(dá)式，可以得到信號f(t)的γ階為：

根據(jù)信號f(t)的γ階分?jǐn)?shù)積分表達(dá)式，對于任何函數(shù)f(x,y)∈L2(R2)，求出γ階偏微積分關(guān)于x和y的微分表達(dá)式，因此可得到5×5 分?jǐn)?shù)積分掩模，如圖2 所示。

圖2 分?jǐn)?shù)積分掩模

掩模是在8 個方向上疊加部分分?jǐn)?shù)階積分得到的，是旋轉(zhuǎn)不變的。式中，w1、w2和w3分別為第一、第二和第三系數(shù)，且w1=1、w2=-γ、w3=(-γ)(-γ+1)/2。此時，通過考慮該掩模卷積的空域濾波，可以得到用γ階分?jǐn)?shù)積分處理的圖像。

2 圖像去噪算法

2.1 噪聲類型

在圖像中，各類別的噪聲一般劃分成兩種典型的噪聲：椒鹽噪聲和高斯噪聲[7]。

椒鹽噪聲由不完善的開關(guān)設(shè)備產(chǎn)生，通常產(chǎn)生于圖像傳感器、解碼處理或圖像切割等[8-9]。該噪聲出現(xiàn)位置為隨機(jī)位置，但幅值基本相同。

對于圖像的每一個像素點(diǎn)，均存在高斯噪聲，其概率密度函數(shù)為：

其中，z為灰度值，u為期望值，σ為標(biāo)準(zhǔn)偏差，σ2為方差。

2.2 噪聲判別

圖像邊緣和紋理豐富區(qū)域的梯度較大，平滑區(qū)域的梯度較小[10-11]。圖像u0(x,y)的像素(x,y)處的梯度可表示為。梯度模值公式為：

圖像的邊緣是連續(xù)的，據(jù)此構(gòu)造出噪聲邊緣的判別函數(shù)：

式中，|?Vx,y|與|?′Vx,y|分別是中間和附近區(qū)域像素點(diǎn)的梯度模值。

2.3 基于分?jǐn)?shù)階微積分的圖像去噪

在圖像去噪過程中，需要將噪聲點(diǎn)與紋理區(qū)域區(qū)分開[12-13]。將圖像出現(xiàn)噪聲點(diǎn)作為一個小概率事件，結(jié)合局部特征來分割各個區(qū)域，并使用3×3 區(qū)域來分析圖像結(jié)構(gòu)信息。

最小絕對灰度距離為：

式中，I(P)是像素P的灰度值，P和Pi是像素。

在圖像的8 個方向上，圖像邊緣多為連續(xù)像素[14-15]，因此最小絕對距離ADmin較小。假設(shè)當(dāng)前像素u0(x,y)中，8 個方向上每個方向的灰度距離平均值為M(x,y)，則：

選擇分割后的噪聲點(diǎn)最小值M(x,y)作為圖像噪聲點(diǎn)的閾值T。當(dāng)M(x,y)≥T時，將對應(yīng)的像素(x,y)視為噪聲點(diǎn)，該值越大，噪聲越強(qiáng)。在圖像去噪過程中，應(yīng)將階數(shù)γ取為負(fù)值，且階數(shù)的大小與M(x,y)的值有關(guān)[16]。通過選擇一個自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階，當(dāng)噪聲較大時，自適應(yīng)積分階數(shù)將變小、灰度幅值將衰減。

當(dāng)1 ＜M(x,y)＜T時，對應(yīng)的像素(x,y)被視為邊緣或紋理區(qū)域的一個點(diǎn)，在去噪過程中分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)應(yīng)取正值。階數(shù)的大小與M(x,y)和計算熵EN(x,y)有關(guān)，則通過選擇一個自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階。

當(dāng)0 ≤M(x,y)＜1 時，將像素(x,y)視為平滑區(qū)域中灰度值不變的一點(diǎn)。

3 實驗結(jié)果及分析

基于Matlab R2012a 軟件對所提算法進(jìn)行仿真實驗，其中計算機(jī)的硬件配置：CPU 為2.40 GHz Intel Core i7，RAM 容量為4 GB。

對于一種圖像去噪算法，通常采用峰值信噪比（PSNR）來評價去噪效果及其綜合性能。PSNR 值越大，算法的去噪效果越優(yōu)。峰值信噪比定義為：

式中，原始圖像的大小為M×N，u0(i,j)表示原始圖像，un(i,j)表示去噪后的圖像。

3.1 可視化分析

實驗中使用的圖像大小為256×256，具有不同紋理的莉娜和船舶圖像。設(shè)定λ1=0.4、λ2=0.6，取噪聲平均值作為實驗噪聲強(qiáng)度。將所提算法與文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[10]、文獻(xiàn)[12]中去噪算法得到的圖像進(jìn)行可視化對比，結(jié)果如圖3、圖4 所示。

圖3 不同算法對含噪莉娜圖像的去噪效果

圖4 不同算法對含噪船舶圖像的去噪效果

從圖3 和圖4 中可以看出，文獻(xiàn)[9]采用迭代空間屏蔽的去噪方法，對于椒鹽和高斯噪聲的去噪效果不理想；文獻(xiàn)[10]在保持圖像邊緣細(xì)節(jié)方面表現(xiàn)較好，但在去噪效果上仍有所欠缺；文獻(xiàn)[12]在消除所有噪聲的同時也丟失了圖像中大量的細(xì)節(jié)信息，圖像的邊緣和細(xì)節(jié)紋理區(qū)域產(chǎn)生了模糊化，去噪效果有待提高。傳統(tǒng)的順序使圖像模糊，同時使圖像亮度降低。而所提算法去噪后的圖像，既能較好地去除噪聲，又保持了帽檐等邊緣細(xì)節(jié)信息[17-18]。

3.2 去噪效果定量分析

此外，對所提算法的去噪性能進(jìn)行定量分析。4種不同算法的PSNR 比較結(jié)果如表1 所示。

表1 各噪聲圖像經(jīng)算法處理后的PSNR

從表1 中可以看出，不論是對椒鹽噪聲還是高斯噪聲，所提算法的PSNR 均高于其他對比算法，分別為30.470和25.653。文獻(xiàn)[9]由于依賴于空間信息，因此去噪效果不理想；文獻(xiàn)[10]利用改進(jìn)的曲率濾波進(jìn)行圖像去噪；而文獻(xiàn)[12]在此基礎(chǔ)上結(jié)合了小波變換，因此去噪效果有所增強(qiáng)，分別是25.566和24.462。

4 結(jié)束語

該文提出一種基于分?jǐn)?shù)階微積分的圖像去噪算法?；诜?jǐn)?shù)階微積分對圖像處理進(jìn)行了理論分析，結(jié)合局部結(jié)構(gòu)劃分噪聲點(diǎn)、邊緣、紋理區(qū)域和平滑區(qū)域構(gòu)造了一個分段函數(shù)，以實現(xiàn)對不同區(qū)域像素的去噪處理。此外，基于Matlab 仿真平臺對所提算法進(jìn)行實驗論證。結(jié)果表明，所提算法PSNR 均高于其他對比算法，在椒鹽噪聲和高斯噪聲中PSNR 的值分別為30.470 和25.653，且能在去除噪聲的同時保持圖像邊緣和紋理特征。在后續(xù)研究中，將聚焦解決如何與其他的一些經(jīng)典去噪算法相結(jié)合以得到更優(yōu)的去噪效果。