張 瞄，張朝陽(yáng)，胡云卿，卿光明，張 宇

（中車株洲電力機(jī)車研究所有限公司，湖南 株洲 412001）

0 引言

城市軌道交通以其準(zhǔn)點(diǎn)、便捷、安全、綠色的特點(diǎn)成為城市交通運(yùn)輸?shù)闹匾绞街?，其承?dān)著城市較重的運(yùn)輸壓力。尤其是在經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)、人口眾多的大都市，城市軌道交通發(fā)展較早且目前多呈網(wǎng)絡(luò)狀分布。在此形勢(shì)下，城市軌道交通系統(tǒng)能耗逐年遞增。在系統(tǒng)能耗中，列車牽引能耗約占總能耗的50%[1-2]，因此降低牽引能耗成為提高能量利用率的重要途徑,也成為運(yùn)營(yíng)商和學(xué)者們開展研究的熱點(diǎn)問題之一。

對(duì)于軌道交通領(lǐng)域的節(jié)能問題，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者針對(duì)單站間給定運(yùn)行時(shí)分下的節(jié)能優(yōu)化駕駛策略展開了研究，部分學(xué)者首先基于龐特里亞金極大值原理[3]探討了列車節(jié)能運(yùn)行的4種工況，即最大牽引、巡航、惰行和最大制動(dòng)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)者們根據(jù)列車動(dòng)力學(xué)的單質(zhì)點(diǎn)模型，采用了不同的算法來搜索最佳工況序列。文獻(xiàn)[4-6]分別采用遺傳算法在給定惰行點(diǎn)數(shù)量條件下求解最佳工況序列，或連續(xù)或基于時(shí)域離散或基于S域離散，一般設(shè)定每個(gè)站間的惰行點(diǎn)不超過2個(gè)。在這類給定惰行點(diǎn)數(shù)量的研究基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步拓展了研究，采用動(dòng)態(tài)變化的染色體長(zhǎng)度表示變化的惰行點(diǎn)數(shù)量，依此來搜索最佳惰行點(diǎn)，從而獲取最佳工況序列，這種考慮更貼近實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景。此外，部分學(xué)者探索了其他不同算法，如蟻群算法[8]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法[9]、迭代算法[10]和數(shù)值算法[11]等，這些算法都被廣泛應(yīng)用到最佳工況序列的節(jié)能運(yùn)行曲線規(guī)劃研究中。

實(shí)現(xiàn)列車牽引節(jié)能的另一個(gè)研究方向是列車站間冗余時(shí)分的分配策略。冗余時(shí)分的調(diào)整實(shí)際上是對(duì)線路站間運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行了調(diào)整，因此這一類研究問題其實(shí)屬于列車運(yùn)行圖調(diào)整問題范疇。站間冗余時(shí)分被定義為列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)分與最短運(yùn)行時(shí)分的差[12]。站間冗余時(shí)分的引入一方面是為了增強(qiáng)列車運(yùn)行圖的魯棒性，在發(fā)生一定程度的小干擾時(shí)，列車可快速恢復(fù)至計(jì)劃列車運(yùn)行圖狀態(tài)；另一方面，通過合理利用站間冗余時(shí)分，可以降低能耗。對(duì)于同一站間，分配的冗余時(shí)分越多，降低的能耗值越大。因此不同的冗余時(shí)分分配策略會(huì)造成不同的節(jié)能效果，部分學(xué)者就此開展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[13]針對(duì)城市軌道交通列車一體化優(yōu)化問題提出了一種迭代雙層優(yōu)化模型，其第一層決定牽引、惰行和制動(dòng)這3種工況的轉(zhuǎn)換點(diǎn)，第二層則優(yōu)化冗余時(shí)間分配策略，遺傳算法也應(yīng)用在其模型中進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[14]也同樣考慮到城市軌道交通列車運(yùn)行圖與速度曲線一體化優(yōu)化問題，建立了雙層規(guī)劃模型，并提出了一種數(shù)值算法進(jìn)行合理求解。

本文針對(duì)城市軌道交通列車節(jié)能運(yùn)行曲線規(guī)劃問題，綜合考慮了列車牽引特性以及限速坡度等線路條件，建立了列車冗余時(shí)分分配與定時(shí)節(jié)能駕駛策略一體化優(yōu)化模型（一體化是指針對(duì)單條線路構(gòu)建列車運(yùn)行時(shí)分和速度曲線一體化優(yōu)化模型）。該模型采用混合整數(shù)線性規(guī)劃（mixed integer linear programming,MILP）框架，并通過Matlab調(diào)用商業(yè)軟件CPLEX進(jìn)行快速求解。

1 城市軌道交通列車一體化節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化模型

對(duì)于不同站間，能耗與運(yùn)行時(shí)分的函數(shù)關(guān)系不同，因此將相同的冗余時(shí)分分配至不同站間可以得到不同的節(jié)能效果。圖1示出站間冗余時(shí)分分配策略實(shí)現(xiàn)節(jié)能的原理。兩條曲線表示兩個(gè)站間（紅色線表示站間1，藍(lán)色線表示站間2）的能耗與運(yùn)行時(shí)分關(guān)系，即使分配相同的冗余時(shí)分ΔT，二者可以減少的能耗量也不同；在冗余時(shí)分分配過程中，應(yīng)盡可能把時(shí)間分配給節(jié)能效果好的站間。

圖1 冗余時(shí)分分配節(jié)能原理示意Fig. 1 Schematic diagram of reserved time distribution principle

1.1 列車動(dòng)力學(xué)模型

由于線路條件（如限速、坡道等靜態(tài)信息）是基于位置給定的，因此考慮空間特性的城市軌道交通列車的運(yùn)行過程可采用經(jīng)典單質(zhì)點(diǎn)連續(xù)模型進(jìn)行描述：

式中：m——列車質(zhì)量；ρ——旋轉(zhuǎn)質(zhì)量因子，一般取1.06；E——單位質(zhì)量動(dòng)能，E=0.5v2；v——列車速度；s——位置；u——控制變量，正值表示牽引力，負(fù)值表示制動(dòng)力；R——基本阻力，與速度相關(guān)；G——附加阻力，本文僅考慮坡道阻力，故G與位置相關(guān)，表示為s的函數(shù)；t——時(shí)間。

由文獻(xiàn)[15]可知，單位基本阻力可表示為速度的二次函數(shù)。相較于牽引力和制動(dòng)力，基本阻力數(shù)值較小，因此也可忽略速度的一次項(xiàng)部分，僅考慮常數(shù)項(xiàng)和二次項(xiàng)，將基本阻力轉(zhuǎn)換為與E相關(guān)的線性函數(shù)：

式中：g——重力加速度；a1——常數(shù)；a2——與速度相關(guān)的二次項(xiàng)系數(shù)。

坡道阻力G可用式(3)進(jìn)行計(jì)算：

式中：α——坡度千分?jǐn)?shù)，正值代表上坡，負(fù)值代表下坡。

1.2 一體化節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化模型

本文所考慮的城市軌道交通線路如圖2所示，其以降低牽引能耗為優(yōu)化目標(biāo)，建立考慮冗余時(shí)分分配及單站間定時(shí)節(jié)能的一體化優(yōu)化模型。

圖2 城市軌道交通線路布局圖Fig. 2 Layout of urban rail transit line

該一體化優(yōu)化模型為雙層框架，上層對(duì)站間冗余時(shí)分進(jìn)行分配，獲取最佳節(jié)能冗余時(shí)分分配策略；下層基于上層站間冗余時(shí)分分配方案給定的站間運(yùn)行時(shí)間優(yōu)化列車站間運(yùn)行速度曲線，具體框架如圖3所示。

圖3 優(yōu)化模型雙層框架Fig. 3 Double-level framework of the optimal model

模型中，目標(biāo)函數(shù)線路上的總牽引能耗J為各站間牽引能耗Ji之和。在不考慮再生制動(dòng)能的條件下，牽引能耗可通過牽引力對(duì)位置積分計(jì)算，具體計(jì)算公式如下：

式中：i——站間索引，i∈{1, 2, …,I}；I——站間總數(shù)，即線路有I+1個(gè)站；sstart,i——第i個(gè)站間的起點(diǎn)；send,i——第i個(gè)站間的終點(diǎn)；ui(s)——第i個(gè)站間的控制變量。

為保證列車準(zhǔn)點(diǎn)、安全運(yùn)行，模型除了需滿足列車動(dòng)力學(xué)約束條件即式(1)外，還需滿足線路限速、列車牽引特性以及邊界約束條件，具體如下：

式中：E(sstart,i)——列車在第i個(gè)站間的起點(diǎn)動(dòng)能；Estart,i——列車在第i個(gè)站間的動(dòng)能初始值；E(send,i)——列車在第i個(gè)站間的終點(diǎn)動(dòng)能；Eend,i——列車在第i個(gè)站間的動(dòng)能末值；Ti——列車在第i個(gè)站間的運(yùn)行時(shí)間；Emax,i——列車在第i個(gè)站間的最大動(dòng)能；Ei(s)——列車在第i個(gè)站間的動(dòng)能；umax——根據(jù)電機(jī)特性獲取的最大牽引/制動(dòng)力；umin——根據(jù)電機(jī)特性獲取的最小牽引/制動(dòng)力。

約束條件式(1)～式(8)為下層模型。約束條件式(5)表示列車在第i個(gè)站間的起點(diǎn)和終點(diǎn)動(dòng)能應(yīng)為動(dòng)能的初始值和末值，其中動(dòng)能的初始值vstart,i為列車在第i個(gè)站間的起始速度，即為0。同理可得動(dòng)能末值，vend,i為列車在第i個(gè)站間的末速度，也為0。由于式(1)中動(dòng)能E位于分母位置，無(wú)法為0，因此本文設(shè)定動(dòng)能初始值和末尾值均為0.1J。約束條件式(6)表示列車在第i個(gè)站間的運(yùn)行時(shí)間為Ti。約束條件式(7)表示列車在第i個(gè)站間的動(dòng)能均不能超過Emax,i，限制列車實(shí)際運(yùn)行速度不能超過限速，。約束條件式(8)限制了列車實(shí)際控制量，牽引力不能超過根據(jù)電機(jī)特性獲取的最大牽引力，提供的制動(dòng)力也不能超過最大制動(dòng)力。

約束條件式(9)是上層模型，其為冗余時(shí)間分配約束條件條件?？紤]到準(zhǔn)點(diǎn)以及車輛銜接的需求，約束條件式(9)限制了列車總運(yùn)行時(shí)間，并使其保持不變；各站間運(yùn)行時(shí)間通過冗余時(shí)間的分配，可以在一定范圍內(nèi)變化。

由此構(gòu)建了一體化優(yōu)化模型，其既保證了線路總運(yùn)行時(shí)間不變，同時(shí)在各站運(yùn)行時(shí)間為Ti的條件下，又能滿足列車動(dòng)力學(xué)模型約束條件以及邊界約束條件。由于連續(xù)空間的此類無(wú)限維度的優(yōu)化問題很難被求解，因此需對(duì)模型進(jìn)行離散化處理。即對(duì)每個(gè)站間基于S域進(jìn)行分段處理，每一個(gè)小區(qū)段內(nèi)的線路坡度值和限速值均為常數(shù)，并假設(shè)牽引/制動(dòng)力也保持不變。將第i個(gè)站間分為Ni段，每段間隔長(zhǎng)度Δsn,i，以n作為分段索引，離散后的優(yōu)化目標(biāo)如下：

離散后的優(yōu)化模型不僅仍需滿足線路限速、列車牽引特性以及邊界約束條件，見式(5)～式(9)，同時(shí)還需滿足根據(jù)列車動(dòng)力學(xué)模型離散后獲取的動(dòng)態(tài)方程約束條件：

式中：Ei(n)和ui(n)——簡(jiǎn)寫的E(sn,i)和u(sn,i)，其中E(sn,i)表示第i個(gè)站間第n段的動(dòng)能，u(sn,i)表示第i個(gè)站間第n段的控制變量；an,i，bn,i，cn,i——可求的系數(shù)。

狀態(tài)變量E的動(dòng)態(tài)方程可通過微分方程求解用式(11)進(jìn)行表達(dá)[16]；式(12)則可由式(1)中狀態(tài)變量時(shí)間t的微分方程結(jié)合梯形積分公式獲得。為實(shí)現(xiàn)an,i、bn,i和cn,i這3個(gè)系數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算，本文采取了與文獻(xiàn)[16]不一樣且更為簡(jiǎn)單的計(jì)算公式來獲取這3個(gè)系數(shù)的值，從而避免了復(fù)雜的指數(shù)計(jì)算。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得

聯(lián)立式(11)，式(13)及式(14)，可得

由此，本文已構(gòu)建了考慮冗余時(shí)間分配和單站間定時(shí)節(jié)能的列車運(yùn)行曲線一體化優(yōu)化模型。該模型為一個(gè)混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，其中仍存在諸多非線性項(xiàng)。

2 MILP模型求解算法

針對(duì)第1.2節(jié)所建立的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，本文考慮采用Piese-Wise-Affine（PWA）函數(shù)以及不同的線性化法則對(duì)所提列車運(yùn)行曲線一體化優(yōu)化模型中的非線性項(xiàng)進(jìn)行線性化近似或等效，將模型轉(zhuǎn)換為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解。

2.1 非線性函數(shù)線性化

由于在時(shí)間動(dòng)態(tài)方程中存在非線性函數(shù)項(xiàng)，本文借鑒文獻(xiàn)[16]中的方法采用PWA函數(shù)進(jìn)行分段線性近似：

式中：α1，α2，β1，β2——分段后線性擬合系數(shù)；E1——特性曲線分段點(diǎn)。

引入邏輯變量δ1，令

則式(18)分段線性近似的f(E)被等效為

f(E)=δ1(α1E+β1)+(1-δ1)(α2E+β2) (20)同時(shí)還需引入式(21)所示約束條件來表示式(19)所示邏輯關(guān)系：

式中：ε——極小正值。

此外，式(8)約束條件中同樣存在非線性函數(shù)項(xiàng)umax，電機(jī)牽引特性通常分為恒轉(zhuǎn)矩、恒功率和自然特性區(qū)。同理，采用PWA函數(shù)對(duì)其進(jìn)行線性近似，見式(22)，其中E2和E3為特性曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)且E3＞E2。

式中：θ1，θ2，θ3，μ1，μ2，μ3——分段后線性擬合系數(shù)。

引入邏輯變量δ2和δ3，令

則式(22)等效為

同理，需引入約束條件：

2.2 非線性乘積線性化

3 仿真案例

為驗(yàn)證所提數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了仿真案例，其基于采用Intel ? Xeon R Gold 6136 CPU＠3.00GHz處理器和6GBRAM的計(jì)算機(jī)平臺(tái)，通過Matlab調(diào)用CPLEX函數(shù)求解節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化問題。

3.1 仿真參數(shù)配置

以上行方向?yàn)槔?，長(zhǎng)沙地鐵4號(hào)線的線路如圖4所示，4號(hào)線共有25個(gè)站點(diǎn)即24個(gè)站間，線路與列車的基本參數(shù)分別如表1和表2所示。圖5展示了該線路不同站間的限速與坡度曲線。表3為非線性函數(shù)f(E)和umax分段線性近似的系數(shù)，二者均采用分兩段近似方法。由于列車速度在0～21.11 m/s范圍內(nèi)，為提高近似精確度，減小近似誤差，本文針對(duì)3段不同范圍的速度進(jìn)行分段近似。

圖4 長(zhǎng)沙地鐵4號(hào)線站點(diǎn)布局圖Fig. 4 Layout of the Changsha subway No.4 line

圖5 長(zhǎng)沙地鐵4號(hào)線線路限速及坡道曲線Fig. 5 Speed limits and grade profiles of the Changsha subway No.4 line

表1 長(zhǎng)沙地鐵4號(hào)線基本參數(shù)Tab. 1 Parameters of the Changsha subway No.4 line

表2 列車基本參數(shù)表Tab. 2 Basic train parameters

表3 f (E)和umax 的PWA分段線性近似系數(shù)Tab. 3 Piece-wise-affine coefficients of f (E) and umax

在該仿真案例中，為了平衡計(jì)算精度與計(jì)算時(shí)間，將每個(gè)站間分為20段，每一段內(nèi)限速和坡道值相同，控制變量也保持不變。

3.2 仿真結(jié)果分析

CPU計(jì)算時(shí)間為14.37 s，gap值為0.03%，求得的優(yōu)化后的列車運(yùn)行速度曲線如圖6所示。這里，其中BP為整數(shù)連續(xù)后得到的最優(yōu)解，BF為當(dāng)前求解器求得的整數(shù)時(shí)的解。圖6中，所有速度值均滿足限速條件；惰行點(diǎn)在下坡點(diǎn)處時(shí)，通過下坡道提供的與基本阻力方向相反的附加阻力使得列車速度提升，以減少牽引能耗。優(yōu)化后的各站間運(yùn)行時(shí)間與牽引能耗如表4所示。由表可知，無(wú)論是相較于本公司現(xiàn)有ATO運(yùn)行數(shù)據(jù)，還是計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間，線路中站間運(yùn)行時(shí)間都進(jìn)行了調(diào)整，部分站間運(yùn)行時(shí)間被縮短。例如茶子山站-濱江新城站（CB）線路，運(yùn)行時(shí)間由121.3 s縮短至112.5 s。將該線路站間冗余時(shí)分分配至節(jié)能更多的站間，導(dǎo)致另一部分站間運(yùn)行時(shí)間延長(zhǎng)。例如阜埠河-碧沙湖(FB)線路，運(yùn)行時(shí)間由133.2 s增加至139.7 s，但全線總運(yùn)行時(shí)間與總計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間2 475 s的偏差僅4.9 s，在允許偏差范圍內(nèi)。與現(xiàn)有控制結(jié)果相比較，優(yōu)化后可以達(dá)到(421.2-351.9)/421.2=16.5%的節(jié)能效果，證明了該算法的有效性。

圖6 全線速度曲線及牽引/制動(dòng)力優(yōu)化結(jié)果Fig. 6 Optimal results of speed profiles and tractive/braking forces

表4 能耗與站間運(yùn)行時(shí)間優(yōu)化結(jié)果Tab. 4 Optimal results of energy consumption and running time between inter-stations

為展示算法實(shí)現(xiàn)節(jié)能的細(xì)節(jié)，本文以上行方向第22個(gè)站間線路（平陽(yáng)-長(zhǎng)沙火車南站）為例，優(yōu)化后的站間運(yùn)行曲線如圖7所示。在該站間線路，列車牽引至46 km/h左右后線路坡度轉(zhuǎn)為負(fù)值，列車將牽引工況切換為惰行工況，利用下坡時(shí)正的坡道阻力克服空氣阻力以保持車速，達(dá)到節(jié)能的目的。坡度由正轉(zhuǎn)負(fù)時(shí)，仍然采用惰行工況降低車速，以避免不必要的制動(dòng)；同時(shí)也減少了因力的切換而引起的列車顛簸，提高了乘客的舒適度。

圖7 平陽(yáng)-長(zhǎng)沙火車南站間優(yōu)化運(yùn)行曲線Fig. 7 Optimal train trajectory between Pingyang and south Changsha railway stations

3.3 平臺(tái)驗(yàn)證分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該算法的有效性，在Matlab仿真結(jié)果基礎(chǔ)上結(jié)合路網(wǎng)車一體化平臺(tái)對(duì)算法結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。該平臺(tái)是集城軌列車牽引、制動(dòng)、供電及信號(hào)多個(gè)子系統(tǒng)為一體的半實(shí)物仿真平臺(tái),可用于多車運(yùn)行條件下的城軌列車供電系統(tǒng)、關(guān)鍵子部件、信號(hào)系統(tǒng)的一體化綜合仿真試驗(yàn)。平臺(tái)采用線性二次調(diào)節(jié)器LQR進(jìn)行曲線跟蹤控制，效果如圖8所示。可以看出，該曲線與規(guī)劃曲線基本貼近，偏差較小。為了更合理地評(píng)估算法結(jié)果，表5和表6分別示出目前已實(shí)現(xiàn)的一種單站間節(jié)能算法以及ATO一體化優(yōu)化算法結(jié)果與公司現(xiàn)有ATO控車算法結(jié)果的全線路周轉(zhuǎn)的牽引能耗與運(yùn)行時(shí)間對(duì)比?？梢钥闯?，MILP算法在節(jié)省運(yùn)行時(shí)間27.6 s的基礎(chǔ)上還能保持14.7%的節(jié)能效果。相比較單站間定時(shí)節(jié)能優(yōu)化算法，用MILP算法可以節(jié)約更多的牽引能耗；同時(shí)，若增加線路運(yùn)行時(shí)間，則節(jié)能效果將會(huì)更好。圖9給出了路網(wǎng)車一體化平臺(tái)半實(shí)物仿真測(cè)試的界面圖，由此清晰地看出能耗、運(yùn)行時(shí)間等數(shù)據(jù)并判斷控制算法效果。

圖8 平陽(yáng)-長(zhǎng)沙火車南站間跟蹤控制曲線Fig. 8 Tracking control train trajectory between Pingyang and South Changsha railway stations

圖9 路網(wǎng)車一體化平臺(tái)跟蹤控制曲線界面Fig. 9 Interface of tracking control train trajectory on the integrated platform of road-network-train

表5 全線往返能耗結(jié)果對(duì)比Tab. 5 Comparison of energy consumption between up direction and down direction lines

表6 全線往返運(yùn)行時(shí)間結(jié)果對(duì)比Tab. 6 Comparison of running time between up direction and down direction lines

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)城市軌道交通列車一體化節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化問題進(jìn)行研究，選取時(shí)間和能耗為狀態(tài)變量，牽引/制動(dòng)力為控制變量，基于空間位置對(duì)模型進(jìn)行離散處理，建立了一種考慮冗余時(shí)間分配和單站間定時(shí)節(jié)能一體化優(yōu)化模型；通過PWA函數(shù)以及線性化等效法則，將原非線性模型轉(zhuǎn)換為MILP模型，并通過Matlab調(diào)用CPLEX進(jìn)行求解?；陂L(zhǎng)沙地鐵4號(hào)線數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)仿真案例對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，采用本文所提出的基于MILP的城市軌道交通列車一體化節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化模型可以達(dá)到16.5%的節(jié)能效果。由于該模型尚未考慮再生制動(dòng)能對(duì)能耗計(jì)算的影響，下一步將對(duì)結(jié)合再生制動(dòng)能的節(jié)能策略開展列車運(yùn)行仿真算法研究。