陳培杰，汪志云

(湖北文理學院物理與電子工程學院，湖北 襄陽 441053)

低頻準周期振蕩是存在于黑洞雙星暫現源的普遍現象，表現為X射線光變功率譜密度曲線上的寬峰，峰的中心頻率從幾毫赫茲到30 Hz[1-3]。根據峰的品質因子、噪聲和相位延遲等，低頻準周期振蕩通常分為A，B和C 3種。其中，C型低頻準周期振蕩是黑洞暫現源中最常見的類型，常在低硬態(tài)和硬中間態(tài)觀測到，頻率范圍在幾毫赫茲到10 Hz，但在高軟態(tài)也能觀測到，頻率可達到約30 Hz。C型低頻準周期振蕩伴隨著較強的平臺噪聲，連續(xù)譜呈現近似截斷冪律譜輪廓，且通常由一個主峰和幾個附加峰組成復雜的結構。主峰的中心頻率與振蕩的基頻有關，附加峰是指分別在基頻的半頻和二次諧頻處出現的副諧頻峰和諧頻峰[2-5]。在少數情況下，諧頻峰(或副諧頻峰)的值與基頻峰相當，形成一種特殊的雙峰低頻準周期振蕩。如在XTE J1550-564和XTE J1859+226兩個黑洞暫現源功率譜的相關頻率處出現了兩個強而窄的峰[6-7]。

雖然對低頻準周期振蕩的觀測和研究取得了很大的進展，但是其物理起源一直是一個有爭議的問題，其中，一個可能的起源是吸積盤的振蕩。在吸積盤中，流體元受擾動的恢復力作用時，在水平方向作慣性振蕩，在赤道面附近垂直方向作簡諧振蕩，且不同方向的振蕩是耦合的。這些振蕩按照恢復力的性質可以分為g-模(gravity modes)、p-模(pressure modes)和c-模(corrugation modes)3種類型。研究發(fā)現，這些振蕩被禁閉在吸積盤中一定區(qū)域內傳播，即所謂陷波振蕩(trapped oscillation)[8-9]。禁閉振蕩的頻率與黑洞質量成反比，可能是黑洞暫現源中觀測到的準周期振蕩。其中，g-模和p-模振蕩頻率在高頻準周期振蕩的頻率范圍內，而c-模是低頻振蕩，被禁閉在內半徑和內部垂向共振半徑之間，其振蕩頻率與低頻準周期振蕩頻率相當[2]。此外，文[10]提出了吸積盤全局的垂向振蕩模型，該模型假設整個盤的垂向振蕩可以產生0.1 Hz左右的持續(xù)低頻準周期振蕩。

以上吸積盤的振蕩模型并不能從觀測的光譜上擬合低頻準周期振蕩，且從C型低頻準周期振蕩的性質及寬帶噪聲的形狀和強度可以看出，準周期振蕩應該與含有附加噪聲的隨機系統(tǒng)有關。因此，文[11-12]提出用廣義朗之萬方程描述吸積盤的隨機振蕩，并通過數值計算得到振蕩光度的功率譜密度，解釋了一些觀測結果。文[13]利用此模型計算了3種情況的光變曲線和功率譜，并通過冪律擬合功率譜來獲得不同情況下的光譜指數，發(fā)現觀測天體光譜指數變化是由盤振蕩在不同情況之間的轉換引起的。對于這樣的隨機系統(tǒng)，在一定條件下能產生隨機共振現象。而隨機共振是乘性在隨機動力系統(tǒng)中的非線性現象，已廣泛應用于天文領域的研究[14]。文[15-17]討論了吸積盤隨機振蕩光度功率譜密度曲線中的隨機共振現象，認為曲線中的共振峰為黑洞雙星系統(tǒng)中準周期振蕩現象的物理解釋。在這些工作中，模型中的隨機項僅存在于粘滯系數和外部作用力，吸積盤的振蕩頻率固定不變，在功率譜密度曲線中沒有發(fā)現諧頻峰?；诖?，本文提出用包含頻率漲落和隨機力作用的廣義朗之萬方程模型描述黑洞吸積盤的垂向振蕩，計算吸積盤隨機振蕩光度的功率譜密度，討論出現的雙峰隨機共振現象，為解釋C型低頻準周期振蕩提供理論依據。

1 吸積盤隨機振蕩的功率譜密度

1.1 吸積盤振蕩模型方程

一個包圍致密天體的標準吸積薄盤在受到外界隨機力和內部粘滯力作用時，盤中單位質量粒子的垂向振蕩可以用廣義朗之萬方程描述[12]：

(1)

其中，z和ω⊥分別為粒子垂向振蕩的位移和頻率；ξ為吸積盤內部的粘滯耗散作用系數，是一個常量；外部作用力f(t)是指數形式關聯(lián)的湍流作用隨機力，滿足統(tǒng)計性質

〈f(t)〉=0,〈f(t)f(t′)〉=De-λ|t-t′|，

(2)

其中，〈〉表示取平均值；D為常數，表示隨機力作用的強度；λ為隨機力關聯(lián)時間的倒數，即時間關聯(lián)率，其大小和盤振蕩頻率的關系影響吸積盤振蕩與湍流作用的耦合[18]。在此，我們設定λ小于盤的振蕩頻率。

假設吸積盤的垂向振蕩頻率受外界因素的影響存在漲落現象，其表達式為[19]

(3)

頻率漲落η(t)是高斯白噪聲隨機量，統(tǒng)計特性為

(4)

其中，ε為噪聲強度，設0≤ε≤1，因為若ε值較大，頻率噪聲會迫使功率譜密度曲線上的峰較寬，而降低峰的品質因子Q值[18]；ω0為吸積盤垂向振蕩的特征角頻率，表達式為[10]

(5)

其中，m=M/M⊙，M和M⊙分別為中心天體和太陽的質量；rin為吸積盤內邊緣的半徑，rin=Rin/3RS；RS為史瓦西半徑，RS=2GM/c2；rout=Rout/Rin和radj=Radj/Rin分別為盤的外邊緣半徑和調整半徑；面密度指數γ可以取3/5或3/4[10]。

為了計算簡便，假定β=ξ/2作為吸積盤內部的粘滯阻尼系數，則(1)式可以寫成

(6)

假設兩個隨機量不相關聯(lián)，滿足〈f(t)η(t′)〉=0。通過對(6)式作拉普拉斯變換，可以求得任意時刻粒子振蕩的位移和速度：

(7)

(8)

〈z(t)〉=v0H(t),〈v(t)〉=v0H·(t).

(9)

在ω0>β的情況下, 響應函數H(t)和H·(t)為

(10)

1.2 振蕩位移和速度的關聯(lián)函數

根據文[20]給出的廣義朗之萬方程中位移和速度關聯(lián)函數的計算方法，定義位移的方差σ2(t)、及位移和速度的時間關聯(lián)函數κz(t,τ)和κv(t,τ)為

σ2(t)=〈[z(t)-〈z(t)〉]2〉 ，

(11)

κz(t,τ)=〈[z(t+τ)-〈z(t+τ)〉][z(t)-〈z(t)〉]〉 ，

(12)

κv(t,τ)=〈[v(t+τ)-〈v(t+τ)〉][v(t)-〈v(t)〉]〉.

(13)

根據隨機量η(t)和f(t)統(tǒng)計過程的獨立性，它們滿足以下統(tǒng)計關系

〈f(t1)η(t2)z(t2)〉=〈f(t1)η(t1)z(t2)〉=0,〈f(t)z(t)〉=0 ，

(14)

則位移和速度的關聯(lián)函數可以表示為

(15)

(16)

當t→∞時，以上公式變?yōu)?/p>

(17)

(18)

(19)

1.3 隨機振蕩光度的功率譜密度

吸積盤中單位質量粒子振蕩的總能量為

(20)

由于外部隨機力、內部粘滯耗散和頻率漲落噪聲的作用，粒子的總能量部分損失，損失的能量即為粒子振蕩的光度L(t)，由(6)式和(20)式可以得到

(21)

當t→∞時，光度的穩(wěn)態(tài)平均自相關函數定義為

(22)

將(17), (18)和(21)式代入(22)式，得到

-4β〈Θ(t+τ)Θ(t)〉〈f(t)Θ(t+τ)〉-2β〈f(t+τ)Θ(t+τ)〉〈Θ2(t)〉+

〈f(t+τ)Θ(t+τ)〉〈f(t)Θ(t)〉+〈η(t+τ)η(t)〉〈Θ(t+τ)Θ(t)Φ(t+τ)Φ(t)〉]

(23)

通過傅里葉變換，(23)式轉換成振蕩光度的功率譜密度

(24)

通過復雜的計算，并忽略不含頻率ν的常數項，可以得到PSD(ν)的表達式為

(25)

2 模型參數對功率譜密度曲線中低頻準周期振蕩的影響

根據解析表達式(25)，我們可以計算不同參數作用下盤振蕩光度的功率譜密度，并發(fā)現曲線中出現了單峰和雙峰的隨機共振現象。這些隨機共振峰即為低頻準周期振蕩。下面主要討論系統(tǒng)參數(ε,λ,β,ν0)對低頻準周期振蕩的影響。

2.1 低頻準周期振蕩隨特征振蕩頻率ν0的變化

在我們的模型中，通過計算發(fā)現隨機力的強度D不改變譜線的輪廓，因此，在以下的分析中取D=1，且吸積盤垂向振蕩的特征頻率ν0=ω0/2π，近似為C型低頻準周期振蕩的基頻。由(5)式可知，ω0依賴于吸積盤的結構和中心天體的質量。選擇不同的盤參數，使振蕩頻率在低頻準周期振蕩的范圍內。在其他參數保持不變時，不同特征頻率下的功率譜密度曲線均呈現與低頻準周期振蕩相吻合的低頻截斷冪律譜輪廓(圖1)。由圖1可以看出，當ν0取不同值時，小于截斷處頻率的低頻部分功率變化很小，并且高頻部分的譜斜率基本保持不變。然而，曲線中的隨機共振峰對ν0十分敏感，只有當ν0達到一定的值時，才出現一個基頻峰和一個附加的二次諧頻峰，雙峰的中心頻率分別對應ν0和2ν0。隨著ν0減小，兩個峰變低變寬，且基頻峰變化更快。當ν0減小到0.07 Hz時，基頻峰幾乎消失，在曲線上只留下一個較寬的二次諧頻峰。隨著ν0進一步減小，諧頻峰也越來越弱，直至完全消失。在ν0=0.02 Hz時，功率譜密度隨頻率的增加而單調減小，不存在低頻準周期振蕩。這說明吸積盤振蕩的頻率越高，由隨機共振導致的準周期振蕩現象越明顯。

圖1 振蕩頻率取不同值時，振蕩光度的功率譜密度曲線，參數為ε=0.38, β=0.1, λ=0.01, D=1

2.2 低頻準周期振蕩隨ε, λ和β等參數的變化

由(21)式可以發(fā)現，吸積盤的振蕩光度主要由粘滯耗散、隨機力和頻率漲落噪聲共同作用產生，這3種作用在模型中分別用粘滯阻尼系數β、時間關聯(lián)率λ和噪聲強度ε表示。為了討論各參數對低頻準周期振蕩的影響，我們取同文[10]一致的吸積盤幾何參數，即rin=1，rout=104，γ=3/5，radj=3，選擇頻率為0.1～10 Hz的黑洞候選體XTE J1550-564的質量作為天體質量[7]。根據文[1]的評估，該候選體質量范圍8.4M⊙～10.8M⊙，取m=9.6。將這些參數代入(5)式，計算得到吸積盤振蕩的特征頻率為ν0=0.289 Hz。當ν0固定不變，λ,ε和β取不同值時，振蕩光度的功率譜密度曲線如圖2。由圖2可以看出，曲線上都出現了期望的單峰或雙峰低頻準周期振蕩，且參數對譜線的影響各不相同。

圖2清晰地表明，當吸積盤的振蕩頻率固定時，低頻準周期振蕩基頻峰的中心頻率不隨其他參數發(fā)生變化。這些參數只影響低頻準周期振蕩峰的高度和寬度。如隨機力時間關聯(lián)率λ對基頻的峰影響較大，而對二次諧頻峰幾乎不產生影響(如圖2(a))，且隨著λ的增大，曲線上移，說明隨機力的關聯(lián)時間越短，譜密度越大，但是基頻對應的峰值卻在減小，峰變得更寬更平，直至消失，此時隨機共振峰只包含一個中心頻率為2ν0的單峰。相反，頻率噪聲強度ε和粘滯阻尼系數β只對二次諧頻峰有較大的影響，對基頻峰的影響卻很小(如圖2(b)和(c))。當增大ε，或減小β，功率譜密度曲線上移，二次諧頻峰變得更加尖銳。而ε取較小值，或β取較大值時，二次諧頻峰都消失。以上說明隨機力關聯(lián)時間越短，頻率噪聲強度越大，阻尼越小，吸積盤振蕩與湍流作用、內部噪聲和粘滯作用更容易產生共振，低頻準周期振蕩現象越明顯。

圖2 λ, ε和β分別取不同值時，振蕩光度的功率譜密度曲線，參數為(a)β=0.1, ε=0.38; (b)β=0.1, λ=0.01; (c)λ=0.01, ε=0.38。垂直線標注低頻準周期振蕩的中心頻率

3 總 結

本文考慮頻率漲落噪聲和指數形式關聯(lián)隨機力的作用，改進了吸積盤垂向隨機振蕩的朗之萬方程模型，發(fā)現在振蕩光度功率譜密度曲線上產生了廣義的單峰和雙峰隨機共振，用來解釋包含一個基頻峰和二次諧頻峰的低頻準周期振蕩。低頻準周期振蕩峰是由粘滯耗散、頻率噪聲和外界湍流隨機力共同作用產生共振的結果，而且基頻峰對應的中心頻率為吸積盤振蕩的特征頻率ν0，隨機力關聯(lián)時間決定了基頻峰的高度和寬度，頻率噪聲強度和粘滯阻尼對二次諧頻峰產生影響。

研究結果證實了吸積盤的隨機振蕩模型對于描述X射線光變是近似有效的，能較好地解釋低頻準周期振蕩現象。在模型中，低頻準周期振蕩的中心頻率僅由吸積盤的振蕩頻率決定。可以想象，如果通過調整吸積盤的幾何結構，使振蕩頻率在瞬時獲得足夠大，將產生高頻準周期振蕩，在合適的動力學條件下，可以通過共振解釋觀測到的3∶2高頻準周期振蕩對，這需要我們下一步建立更加復雜的吸積盤隨機振蕩模型擬合觀測到的高頻準周期振蕩。