廣東省廣州市天河中學(510623) 郭 靖

1 一道關于正方體截面問題的高考題引入

GeoGebra=Geometry(幾何)+Algebra(代數(shù)),是一款開源免費、功能強大、適合教與學的動態(tài)數(shù)學軟件,具有以下特點:①功能多樣,適用于函數(shù)、幾何、立體幾何、統(tǒng)計、圖表等運算與展示; ②操作簡便,初學者可以點擊工具欄作圖,高階用戶可通過命令、腳本制作可交互的課件; ③資源豐富,通過官方開源社區(qū)免費進行作品、課件的交流與分享.下面就立體幾何中常見的正方體截面問題談談如何利用GeoGebra 進行探究.

2018年全國理科Ⅰ卷第12 題:已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

和這道題類似的變式題:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,用空間中與該正方體所有棱所成角都相等的平面α去截正方體,在截面邊數(shù)最多時的所有多邊形中,多邊形截面的面積為S,周長為l,則( ).

A.S為定值,l不為定值

B.S不為定值,l為定值

C.S與l均為定值

D.S與l均不為定值

通過對這兩道題目的分析,我們發(fā)現(xiàn)平面α與正方體每條棱所成的角均相等,其實正方體共有12 條棱,按方向分為三組,每組中的四條棱是平行的.因此只要和共頂點的三條棱所成的角相等就行了.很容易發(fā)現(xiàn)與平面A1BD平行的面且截面是六邊形時滿足條件(如圖1 所示).

圖1

其實此截面是動態(tài)變化的,在變化過程中始終保持與正方體對角線垂直.那么這種截面是如何變化的呢? 變化過程中截面面積與周長又有什么變化呢? 下面我們采用GeoGebra Classic 5 進行探究.

1.1 建立正方體

在視圖下拉列表中打開3D 繪圖區(qū),在快捷按鈕中選擇正六面體,構造出正方體(如圖2).

圖2

1.2 建立截面

選擇作線段工具,構造正方體對角線.新建滑動條,區(qū)間變化最小值為0,最大值為1,增量為0.01.輸入指令“描點(<正方體對角線>,<滑動變量>)”.在指令欄選擇垂直平面,構造過正方體對角線上的點且與對角線垂直的平面α(如圖3).

圖3

1.3 觀察截面變化

選擇相交曲線指令,然后分別點擊截面與正方體,得到截面與正方體相交的截面.隱藏坐標軸以及原本的截面.選中截面,按右鍵創(chuàng)建平面視圖,得到截面的平面圖(如圖4).

圖4

1.4 度量截面面積與周長

把代數(shù)區(qū)的poly1 拉到繪圖區(qū),這個就是截面面積,可以看出隨著截面形狀變化,截面的面積也在變化,并且可以發(fā)現(xiàn)當截面經(jīng)過正方體對角線中點時,截面面積最大.度量每條邊長,輸入指令相加,得到截面周長,發(fā)現(xiàn)這是個不隨截面形狀變化的量.

1.5 教學初探

這道高考題以及衍生題,都涉及與正方體對角線垂直的平面截面問題.在立體幾何中這是個相當抽象的問題,考察學生的空間想象能力、邏輯思維能力.圍繞數(shù)學核心素養(yǎng)中的數(shù)學抽象和直觀想象.學生在沒有直觀感知的情形下進行想象,是很具挑戰(zhàn)性的.所以一直以來是教學的難點,也就是2018年高考理科壓軸選擇題.我在課堂上使用GeoGebra 演示,讓學生對截面形狀有直觀感知,然后再讓學生探究面積的最大值.通過演示以及直觀想象,很多學生都能找出截面面積最大值時的位置.然后我再讓學生通過證明和計算得到答案.這正是體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學運算,因此我認為這道題是全方面考察核心素養(yǎng)的好題,而使用GeoGebra 輔助教學,能讓學生更清晰地發(fā)現(xiàn)問題,解決問題.只有建立了對正方體直觀的感知,才有可能突破難點,解決問題.因此我又變式了題目,變式題增加了周長的考察,但是在上一題的演示下,很多學生已經(jīng)知道了截面形狀變化規(guī)律,比較容易突破.

2 正方體截面問題

除高考題外,人教版(2019)高中數(shù)學必修第二冊也有關于正方體截面的探究問題“用一個平面截一個正方體,截面分別是什么形狀? ”我們來看看利用GeoGebra 如何實現(xiàn).

2.1 建立正方體與球

描點A(-1,-1,-1)與點B(1,-1,-1),選擇正六面體工具,再分別點擊A、B來建立正方體(如圖5).繼續(xù)描點O(0,0,0),,選擇球面(球心與一點),再分別選擇O與A來建立球(如圖6).

圖5

圖6

建立球面上一點N,利用點工具在球面上建立一個點或輸入指令“N=point(b)”.建立滑條參數(shù)t= 0.5,再建立NO直線上一點P,輸入“P= (1- t)O+tN”.在GeoGebra 中點的運算和向量的運算法則是一致的,這就使得N、O、P三點共線.接下來建立平面:先設法向量n =vector(O,N),再利用垂直平面工具,對應指令為c=PerpendicularPlane(P,n).最后為了得到清晰的截面圖,選擇相交曲線工具,分別點擊平面與正方體,隱藏不需要的坐標軸以及球.

2.2 觀察截面的形狀變化

通過移動N點以及滑條改變t值,可以觀察到正方體截面形狀的變化情況(如圖7).

圖7

2.3 教學初探

在探究中,讓學生充分動手實驗,可以通過教具或者具體物品,如切蘿卜,讓學生直觀感知正方體截面的形狀有哪些.這是考察學生動手能力以及空間思維能力.那么GeoGebra 在這里體現(xiàn)了演示總結的作用.

3 GeoGebra 輔助正方體截面探究的功能簡介

在上述兩個案例中,利用GeoGebra 中的3D 繪圖功能來作圖.可以直接作出多面體和旋轉體,實現(xiàn)兩個幾何體的交線繪制,過一點作與已知直線或已知平面垂直的平面,以一點以及半徑作球面,度量空間長度以及平面圖形的面積.

4 GeoGebra 對立體幾何教學的幫助

4.1 提高課堂效率

GeoGebra 可以提供快捷畫圖工具按鈕,在3D 繪圖界面就可以直接作出棱錐、棱柱、圓錐、圓柱等.還可以直接作出與已知直線或已知平面平行或垂直的平面,以及多面體展開圖.這些功能都可以通過快捷鍵實現(xiàn).教師操作方便有利于提高課堂效率.

4.2 使抽象問題直觀化

利用GeoGebra 可以做出各種各樣的優(yōu)美圖形.例如,制作動態(tài)的旋轉體,立體幾何圖像.使用GeoGebra,可作出具有某些約束條件的幾何圖像,能讓學生理解比較困難的幾何關系,并且可以讓學生在變化的圖形中找到一些數(shù)學原理和幾何性質,使復雜的數(shù)學難題化解成直觀形象的容易題,從而培養(yǎng)學生的學習興趣與維持他們學習數(shù)學的信心與勇氣.

GeoGebra 的“動畫”與“移動”功能使得所作的點、線、面、體都能在各自的線路上,按照各自的運動速度和運動方向實現(xiàn)動畫或移動,能夠產(chǎn)生非常好的動態(tài)效果.GeoGebra還可以測量角度、線段的長度、封閉圖形的面積、幾何體的體積等,以及構造隨點、線、面、體的運動而變化的量,這樣更貼近實際.從而能夠更好地體現(xiàn)數(shù)形結合,讓學生有一個直觀的印象,進而產(chǎn)生非常好的數(shù)學教學效果[1].

4.3 提高空間思維能力

相較于當前的各類教學軟件,GeoGebra 在立體幾何的功能上展示出自己獨特的優(yōu)勢[2].教師提供演示并不是代替學生思考,而是搭建平臺,讓學生自己直觀感知,從而提高學生空間思維能力.

4.4 培養(yǎng)學生的探索能力

著名教育家布魯納說過:“探索是數(shù)學的生命線”.用GeoGebra 幫助學生觀察、思考、探索,能夠讓學生的想象力得到充分發(fā)揮,通過GeoGebra 作動態(tài)演示,可以增強學生感性認識,把抽象的事物具體化,使學生的探索能力得到培養(yǎng).尤其在立體幾何的教學中,使用GeoGebra 教學手段可以方便學生學會做輔助線,能夠簡化空間想象能力的復雜過程,也在一定程度上訓練了高中學生的動態(tài)思維,也間接地培養(yǎng)學生的探索能力.

5 結束語

GeoGebra 是一種多媒體輔助教學手段,新教材提倡運用.教師應該多研究、多挖掘其適合輔助教學的地方,借力科技,使數(shù)學學習變得更生動、更有趣.