陳禎怡，解紹鋒，李 潔

0 引言

在電氣化鐵路牽引供電系統(tǒng)中，接觸導(dǎo)線的阻抗值是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，在計(jì)算牽引供電系統(tǒng)的供電能力時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)阻抗值是不可缺少的環(huán)節(jié)之一。

系統(tǒng)阻抗求解的難點(diǎn)在于接觸網(wǎng)導(dǎo)線內(nèi)阻抗的計(jì)算，特別是在考慮到交流電場(chǎng)下導(dǎo)線表面電流趨膚效應(yīng)時(shí)的導(dǎo)線內(nèi)阻抗計(jì)算[1，2]。對(duì)于規(guī)則圓形截面導(dǎo)體而言，可使用貝塞爾函數(shù)計(jì)算導(dǎo)線的阻抗，但是對(duì)于非規(guī)則截面導(dǎo)體，由于無相應(yīng)的等效半徑，無法采用常規(guī)方法求解，而通常的處理方法是選取與導(dǎo)線等周長(zhǎng)或等面積的圓形導(dǎo)體半徑作為其計(jì)算半徑[3，4]，該方法有一定的合理性，但是導(dǎo)體截面形狀與圓形的偏差越大，誤差越大。隨著有限元方法及相應(yīng)軟件的興起與廣泛應(yīng)用，非規(guī)則截面導(dǎo)體的電磁場(chǎng)計(jì)算變得容易實(shí)現(xiàn)，理論上可以計(jì)算任意形狀截面的導(dǎo)體，并通過非均勻網(wǎng)格的剖分獲取足夠的精度[5～7]。文獻(xiàn)[8]基于有限元ANSYS/Maxwell計(jì)算軟件，給出了不同型號(hào)接觸 導(dǎo)線交流電阻和內(nèi)電感隨頻率變化曲線以及不同標(biāo)稱截面積接觸導(dǎo)線等效半徑的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[9]以P60型號(hào)鋼軌為例，闡述了ANSYS/ Maxwell建模仿真步驟，得出不同外接圓半徑下鋼軌的阻抗。文獻(xiàn)[10]利用有限元法和解析模型計(jì)算了鋼軌的電阻和內(nèi)電感隨頻率的變化關(guān)系。文獻(xiàn)[9，11]從基本空間電磁理論角度出發(fā)，通過電氣參數(shù)計(jì)算新方法的研究，提出了多導(dǎo)體傳輸線系統(tǒng)回路法。

針對(duì)城市軌道交通三相供電系統(tǒng)中供電軌的阻抗參數(shù)求解問題，本文采用ANSYS/Maxwell軟件仿真求解非規(guī)則截面導(dǎo)體供電軌的阻抗參數(shù)，使用多導(dǎo)體回路法求解三相供電系統(tǒng)的系統(tǒng)阻抗，為三相供電系統(tǒng)供電能力的計(jì)算提供求解基礎(chǔ)。

1 城市軌道三相交流供電系統(tǒng)

文中針對(duì)李群湛教授團(tuán)隊(duì)提出的三相交流牽引供電系統(tǒng)的系統(tǒng)阻抗進(jìn)行仿真分析與計(jì)算。圖1為三相交流牽引系統(tǒng)示意圖，其中包括主變電所、三相電纜、牽引變壓器、三相牽引網(wǎng)、車載供電系統(tǒng)等[12]。

圖1 三相交流牽引供電系統(tǒng)示意圖

圖2為三相牽引網(wǎng)示意圖。三相牽引網(wǎng)由接觸帶和鋼軌組成，構(gòu)成“兩線一地”接觸結(jié)構(gòu)。接觸帶由供電A軌、供電B軌和絕緣底座及絕緣護(hù)蓋組成，鋪裝于兩鋼軌中間，供電A軌、供電B軌的安裝高度高于鋼軌的頂端[13]。

圖2 接觸帶與受電犁結(jié)構(gòu)示意圖

2 鋼軌內(nèi)阻抗有限元計(jì)算

由于供電軌為不規(guī)則導(dǎo)體，阻抗難以計(jì)算，故使用ANSYS有限元仿真軟件進(jìn)行仿真計(jì)算得到供電軌的阻抗。為證明求解供電軌內(nèi)阻抗仿真方法的正確性，先將該仿真方法用于P60鋼軌內(nèi)阻抗計(jì)算，將仿真結(jié)果與P60鋼軌內(nèi)阻抗的現(xiàn)有結(jié)果進(jìn)行對(duì)比[8～10]。

在ANSYS/Maxwell軟件中，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)阻抗的參數(shù)設(shè)置步驟：建立圖形→設(shè)置求解器→添加編輯材料屬性→設(shè)置邊界條件→添加激勵(lì)→設(shè)置劃分網(wǎng)格→求解設(shè)置→數(shù)據(jù)導(dǎo)出。

參照國(guó)家鐵道行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)TB/T 2809—2017，在Auto CAD中繪制P60型號(hào)鋼軌截面圖。將P60鋼軌截面的CAD圖形導(dǎo)入ANSYS/Maxwell軟件，找到坐標(biāo)原點(diǎn)后，在鋼軌外圍任意設(shè)置一個(gè)可以包裹住鋼軌的外邊界圓，用以設(shè)置計(jì)算時(shí)的邊界條件，外邊界圓半徑從120 mm開始設(shè)置，在鋼軌斷面上添加100 A的交流電流，仿真計(jì)算結(jié)果見表1。

取表1中10組數(shù)據(jù)的平均值，得到鋼軌內(nèi)電阻為0.137 Ω/km，內(nèi)電抗為0.135 Ω/km。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，100 A電流情況下單條P60型號(hào)鋼軌內(nèi)電阻為0.135 Ω/km、內(nèi)電抗為0.135 Ω/km，仿真結(jié)果與之對(duì)比，誤差分別為1.48%、0%，可知該仿真結(jié)果與實(shí)際現(xiàn)有參數(shù)相差不大。鋼軌材料與供電軌中鋼部分使用的材料相同，因此該仿真方法可適用于供電軌內(nèi)阻抗的參數(shù)求解。

表1 不同邊界圓半徑對(duì)應(yīng)的鋼軌內(nèi)阻抗計(jì)算結(jié)果

3 供電軌有限元軟件計(jì)算

3.1 供電軌內(nèi)阻抗仿真

由于供電軌與集電桿相接觸部分的鋼材質(zhì)一面為弧面，為了簡(jiǎn)化裝置，將弧面視為平面。設(shè)置供電軌為長(zhǎng)63 mm、寬60 mm的矩形，頂端附有3 mm長(zhǎng)的鋼材料，下端為導(dǎo)電材料鋁，在Auto CAD中繪制供電軌截面圖形如圖3所示。

圖3 供電軌截面的CAD圖形

將供電軌截面的CAD圖形導(dǎo)入ANSYS/ Maxwell軟件中，找到坐標(biāo)原點(diǎn)后，在供電軌外圍任意設(shè)置一個(gè)可以包裹住供電軌的外邊界圓，用以設(shè)置計(jì)算時(shí)的邊界條件，外邊界圓半徑從50 mm開始設(shè)置，在供電軌斷面上添加100 A的交流電流。供電軌內(nèi)阻抗仿真結(jié)果見表2，取該10組數(shù)據(jù)的平均值，得到供電軌內(nèi)電阻為0.015 5 Ω/km，內(nèi)電抗為0.025 6 Ω/km。

表2 不同邊界圓半徑對(duì)應(yīng)的供電軌內(nèi)阻抗計(jì)算結(jié)果

3.2 供電軌等效半徑計(jì)算

根據(jù)上文仿真還可得到供電軌的內(nèi)電感Lin，其結(jié)果是由總電感L減去外電感Lout得到。在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)計(jì)算中，外電感Lout與供電軌等效半徑Rε有關(guān)，當(dāng)需要計(jì)算供電軌與其他導(dǎo)線的互阻抗時(shí)，等效半徑Rε是計(jì)算的一個(gè)重要參數(shù)，在有限元仿真中，可以根據(jù)外電感Lout確定等效半徑Rε。

由于內(nèi)電感Lin與頻率及導(dǎo)體電流分布有關(guān)，頻率趨于無窮大時(shí)，電流集中在導(dǎo)體表面，這時(shí)內(nèi)電感接近于零，因此當(dāng)頻率趨于無窮大時(shí)，外電感Lout與L相等[10]。利用有限元仿真方法計(jì)算供電軌頻變參數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)電感L最后趨近于一個(gè)穩(wěn)定值，此時(shí)計(jì)算結(jié)果趨近于外電感Lout，取極限頻率f= 107Hz，獲得外電感Lout[15，16]。通過導(dǎo)線與大地的回路電感L的計(jì)算式反算等效半徑Rε，即

式中：D1p為包圍導(dǎo)線的圓半徑，仿真中等于外界圓半徑；μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0= 4π×10-4H/km。

在f= 107Hz情況下，設(shè)置不同的外界圓半徑，得到5組不同外界圓半徑情況下的外電感及相應(yīng)的等效半徑計(jì)算結(jié)果，如表3所示。由結(jié)果可知，不同外界圓半徑的情況下，供電軌等效半徑基本不變，相差較小，結(jié)果取其平均值，即R?= 36.342 mm。

表3 不同外界圓半徑情況下的外電感及等效半徑

4 基于多導(dǎo)體回路系統(tǒng)的牽引網(wǎng)阻抗計(jì)算

牽引網(wǎng)阻抗的求解采用多導(dǎo)體回路法進(jìn)行計(jì)算[9，11]。三相牽引網(wǎng)結(jié)構(gòu)示意如圖4所示。

圖4 三相牽引網(wǎng)結(jié)構(gòu)示意圖

假設(shè)供電軌L1、L2為傳輸導(dǎo)體，鋼軌R1、R2和大地E作為回流導(dǎo)體，傳輸導(dǎo)體與回流導(dǎo)體兩兩分別構(gòu)成6條回路，如表4所示[11]，回路示意圖見圖5。圖中，S1為供電軌L1與鋼軌R1的距離，S2為供電軌L1與鋼軌R2的距離，S4為供電軌L2與鋼軌R1的距離，S5為供電軌L2與鋼軌R2的距離，d1為兩根供電軌之間的距離，d2為兩根鋼軌之間的距離。

表4 各回路編號(hào)

圖5 回路系統(tǒng)示意圖

基于表4，根據(jù)各回路電壓降與各回路磁鏈關(guān)系，當(dāng)電源為正弦激勵(lì)時(shí)，可得各回路電壓降、回路阻抗和各回路電流間關(guān)系如下：

式中：Zij（i= 1, 2, … ,6；j= 1, 2, … , 6）為6條回路對(duì)應(yīng)的自阻抗和兩兩間互阻抗；ΔUj為第j條回路的電壓降；Ij為通過第j條回路的電流。

由于牽引網(wǎng)導(dǎo)線長(zhǎng)度較長(zhǎng)且平行，各回路可視為并聯(lián)，此時(shí)有ΔU1= ΔU2= …= ΔU6。對(duì)任意回路i和回路j構(gòu)成的兩回路而言（i≠j），它們的磁鏈相等，由磁鏈?zhǔn)睾憧傻?/p>

式中：lij為回路對(duì)應(yīng)的自電感和兩兩間互電感。

假設(shè)I為所有傳輸導(dǎo)線的總電流，k1、k2、…、k6為6條回路的電流分配系數(shù)，則有

為了計(jì)算各回路電流之間的關(guān)系，先得到以下自電感與互電感：

對(duì)于大地回流回路（即回路3、6），有

式中：ri為各導(dǎo)體的等效半徑；μ為回路空間磁感應(yīng)系數(shù)；Dg為導(dǎo)線對(duì)大地的等值深度；Dg1為導(dǎo)體1對(duì)大地的等值深度；Dg31為導(dǎo)體3與導(dǎo)體1鏡像間的距離；Dg12為導(dǎo)體1與導(dǎo)體2鏡像間的距離；Dg32為導(dǎo)體3與導(dǎo)體2鏡像間的距離，導(dǎo)體的鏡像由對(duì)大地的等值深度確定。

將式（7）、式（8）代入式（4），并與式（5）、式（6）聯(lián)立，可得k1= 0.213 4，k2= 0.178 6，k3= 0.113 7，k4= 0.147 0，k5= 0.213 4，k6= 0.133 8。

將系數(shù)k1、k2、…、k6分別代入式（9），可得6條回路單位長(zhǎng)度壓損。

式中：ΔUi為第i條回路單位長(zhǎng)度壓降；kj為第j條回路電流分配比例；I0為牽引網(wǎng)總電流。

由于牽引網(wǎng)各回路間可并聯(lián)等效，牽引網(wǎng)單位長(zhǎng)度阻抗為牽引網(wǎng)單位長(zhǎng)度電壓與牽引網(wǎng)總電流比值，可得各回路等效單位長(zhǎng)度阻抗Zi為

由于各回路并聯(lián)，6條回路單位長(zhǎng)度壓降相等，故有Z1=Z2=…=Z6，故式（10）計(jì)算結(jié)果即為牽引網(wǎng)等效單位長(zhǎng)度阻抗。

式（11）～式（14）為回路1相關(guān)的自阻抗及與其他導(dǎo)體回路間互阻抗計(jì)算式。

式中：ω為工頻角頻率，其值為2πf，f=50 Hz；Z11為回路1自阻抗；Z1j為回路1與回路j（j= 2，4，5）相交聯(lián)的互阻抗；r11為回路1自電阻。

對(duì)于大地回流回路與架空回流回路間的互感抗（回路1與回路3、回路6間互感抗），計(jì)算式分別為

將i= 1代入式（10）中，得到等效單位長(zhǎng)度阻抗為(0.081 1 + j0.49) Ω/km。

由于在三相交流系統(tǒng)中，兩根供電軌和鋼軌互為回流，傳輸導(dǎo)體和回流導(dǎo)體有6種情況，6種情況下的牽引網(wǎng)等效阻抗計(jì)算結(jié)果如下：

（1）兩根供電軌作為傳輸導(dǎo)體，鋼軌作為回流導(dǎo)體，等效阻抗計(jì)算結(jié)果為(0.081 1 + j0.49) Ω/km；

（2）供電軌1、鋼軌作為傳輸導(dǎo)體，供電軌2作為回流導(dǎo)體，等效阻抗計(jì)算結(jié)果為(0.054 1 + j0.154 8) Ω/km；

（3）供電軌2、鋼軌作為傳輸導(dǎo)體，供電軌1作為回流導(dǎo)體，等效阻抗計(jì)算結(jié)果為（0.054 1 + j0.154 8) Ω/km；

（4）供電軌1作為傳輸導(dǎo)體，供電軌2、鋼軌作為回流導(dǎo)體，等效阻抗計(jì)算結(jié)果為(0.056 6 + j0.225 3) Ω/km；

（5）供電軌2作為傳輸導(dǎo)體，供電軌1、鋼軌作為回流導(dǎo)體，等效阻抗計(jì)算結(jié)果為(0.056 6 + j0.225 3) Ω/km；

（6）鋼軌作為傳輸導(dǎo)體，兩根供電軌作為回流導(dǎo)體，等效阻抗計(jì)算結(jié)果為(0.078 8 + j0.211 8) Ω/km。

由于三相系統(tǒng)的對(duì)稱性，三相牽引網(wǎng)等效阻抗近似為6種情況下等效阻抗的平均值，結(jié)果為 (0.063 55 + j0.244 9) Ω/km，即三相交流牽引網(wǎng)的等效阻抗為(0.063 55 + j0.244 9) Ω/km。

5 結(jié)論

針對(duì)采用新型受電犁供電且供電軌為不規(guī)則導(dǎo)體的三相交流牽引供電系統(tǒng)的系統(tǒng)阻抗求解問題，文中采用ANSYS/Maxwell有限元軟件對(duì)供電軌及牽引網(wǎng)阻抗進(jìn)行分析計(jì)算，得出以下結(jié)論：

（1）P60鋼軌仿真結(jié)果中內(nèi)電阻和內(nèi)電抗分別為0.137、0.135 Ω/km，與現(xiàn)有參數(shù)的誤差分別為1.48%、0%。供電軌仿真結(jié)果中內(nèi)電阻和內(nèi)電抗分別為0.015 5、0.025 6 Ω/km，等效半徑約為36.34 mm，該等效半徑參數(shù)在牽引網(wǎng)阻抗計(jì)算中尤為重要。

（2）根據(jù)仿真得到的供電軌阻抗及等效半徑對(duì)牽引網(wǎng)阻抗進(jìn)行計(jì)算，采用多導(dǎo)體回路法得到三相交流牽引供電系統(tǒng)的牽引網(wǎng)阻抗為(0.063 55 + j0.244 9) Ω/km，對(duì)三相交流牽引供電系統(tǒng)建模及供電能力計(jì)算具有重要參考意義。