吳 越

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000）

在控制理論中，狀態(tài)反饋控制占據(jù)關(guān)鍵的地位.首先狀態(tài)反饋控制是控制系統(tǒng)中常用的控制策略，其次狀態(tài)反饋容易獲得，容易實(shí)現(xiàn).有關(guān)廣義系統(tǒng)的狀態(tài)控制器設(shè)計(jì)成果很多［1-2］，不確定離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)近年來(lái)已經(jīng)成為控制領(lǐng)域最熱門(mén)的研究方向之一，吸引了許多學(xué)者的研究［3］.但是控制系統(tǒng)應(yīng)用于實(shí)際工程中會(huì)受到多種因素的影響.造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的原因最主要的有兩點(diǎn)，一是不確定性，二是時(shí)滯.在現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)上，對(duì)于不確定離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題的研究要考慮不確定性和時(shí)滯所帶來(lái)的影響，在考慮這兩個(gè)因素的條件下，讓閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.隨著科技的發(fā)展，離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制取得了很多成果，但在這一領(lǐng)域的研究還不夠完善.系統(tǒng)的不確定性普遍存在，時(shí)滯和攝動(dòng)參數(shù)在實(shí)際控制系統(tǒng)中不可避免，并且在奇異攝動(dòng)系統(tǒng)中考慮控制器本身的攝動(dòng)能夠提高系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確度，對(duì)于離散系統(tǒng)具有時(shí)滯以及攝動(dòng)參數(shù)控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)有很大的研究意義［4］.文章先構(gòu)造適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫泛函，然后結(jié)合矩陣不等式方法，得出時(shí)滯相關(guān)的充分性判據(jù)和新的狀態(tài)反饋控制器，求出更大的穩(wěn)定上界，使得系統(tǒng)從原本的單值穩(wěn)定拓展到穩(wěn)定區(qū)間.

1 離散奇異攝動(dòng)不確定控制系統(tǒng)綜述和預(yù)備知識(shí)

1.1 系統(tǒng)概述

考慮如下具有控制輸入的離散奇異攝動(dòng)不確定時(shí)變時(shí)滯控制系統(tǒng)

0≤d(k)≤τ，

τ為已知正整數(shù)，其中，D、E1為反應(yīng)不確定結(jié)構(gòu)的常數(shù)矩陣，F(xiàn)(k)∈Ri×j是范數(shù)有界不確定模型的參數(shù)矩陣，滿足

FT(k)F(k)≤I.

離散系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)特性和理論復(fù)雜性，在實(shí)際系統(tǒng)中，如管理系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)等存在攝動(dòng)參數(shù)、不確定性和時(shí)滯等因素的影響，這些因素會(huì)對(duì)離散系統(tǒng)的控制產(chǎn)生影響，使得離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制問(wèn)題難度增加［5］.對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，時(shí)滯現(xiàn)象和不確定性是普遍存在的，它們影響系統(tǒng)的狀態(tài)，會(huì)讓系統(tǒng)變得不穩(wěn)定或者無(wú)法控制，給理論研究和實(shí)際操作帶來(lái)困難.由于時(shí)間的離散性特點(diǎn)，許多工程問(wèn)題都采用離散系統(tǒng)模型，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和進(jìn)步，許多連續(xù)系統(tǒng)通過(guò)時(shí)間的離散化轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行計(jì)算和分析［6］.因此，離散系統(tǒng)在控制領(lǐng)域中特別重要.文章在離散系統(tǒng)上添加了時(shí)滯、攝動(dòng)參數(shù)和不確定性條件，構(gòu)成離散奇異攝動(dòng)不確定時(shí)滯系統(tǒng)，再對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)靜態(tài)的狀態(tài)反饋控制器.

1.2 預(yù)備知識(shí)

有關(guān)離散系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題通常依賴線性矩陣不等式的性質(zhì)同時(shí)結(jié)合李雅普諾夫泛函，為系統(tǒng)存在狀態(tài)反饋控制器提供充分條件.盡管在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中導(dǎo)入許多新的變量，使得控制器設(shè)計(jì)過(guò)程復(fù)雜，但是可以提高控制器的性能［7］.

2 離散奇異攝動(dòng)不確定系統(tǒng)的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制

2.1 問(wèn)題描述

接下來(lái)要設(shè)計(jì)靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器，使得離散奇異攝動(dòng)不確定時(shí)變時(shí)滯閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器如下

其中，K是未知的控制器增益矩陣.則閉環(huán)系統(tǒng)為

離散系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)方法有很多，應(yīng)用矩陣不等式方法和交叉項(xiàng)界定方法對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行研究，選取新的李雅普諾夫泛函，對(duì)泛函進(jìn)行差分，設(shè)計(jì)靜態(tài)的狀態(tài)反饋控制器，使得新的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，最后得到狀態(tài)反饋控制器存在的充分判據(jù)，為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供更好的理論基礎(chǔ).

2.2 時(shí)滯依賴情形

定理1和定理2針對(duì)在時(shí)滯依賴情形下，研究離散奇異攝動(dòng)不確定控制系統(tǒng)的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器存在的充分性判據(jù)，以及得出系統(tǒng)靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器的具體構(gòu)造方法.

由Schur補(bǔ)引理可以得

在控制工程中，狀態(tài)反饋控制問(wèn)題受到廣泛關(guān)注.在離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題中更是特別重要，狀態(tài)反饋控制簡(jiǎn)單易行，對(duì)控制器的要求不高，設(shè)計(jì)一個(gè)反饋矩陣，用常數(shù)矩陣可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的反饋控制，使得構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，控制計(jì)算容易運(yùn)行［8］.

本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于給出了新的系統(tǒng)，即離散奇異攝動(dòng)不確定時(shí)滯系統(tǒng).對(duì)該系統(tǒng)設(shè)計(jì)靜態(tài)的狀態(tài)反饋控制器，構(gòu)造新的二重求和型李雅普諾夫泛函，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和交叉項(xiàng)界定法，應(yīng)用反饋環(huán)節(jié)變換，得到了使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器.本文所提出的依賴奇異攝動(dòng)參數(shù)的李雅普諾夫泛函不同于以往的泛函，新的泛函包含更多的時(shí)滯和攝動(dòng)參數(shù)信息，同時(shí)應(yīng)用的差分方法不涉及原來(lái)系統(tǒng)的模型變化，因此所提出的漸進(jìn)穩(wěn)定充分條件具有比較低的保守性，也擴(kuò)大了控制器的取值范圍和上界.

3 結(jié)論與展望