張 玲

（浙江省杭州市建蘭中學(xué)，浙江杭州 310000）

引 言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入深度學(xué)習(xí)理論，能夠改變現(xiàn)有教學(xué)模式及方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]。同時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中及時(shí)反思，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究意識(shí)和能力。

一、建構(gòu)知識(shí)體系

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上對知識(shí)進(jìn)行梳理，做到條理清晰化、知識(shí)系統(tǒng)化，從而觸類旁通，切實(shí)提高分析問題、解決問題的能力?；诔踔袛?shù)學(xué)知識(shí)抽象性、邏輯性較強(qiáng)，教師應(yīng)采用逐層提問和動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的方式進(jìn)行有針對性的指導(dǎo)，幫助學(xué)生梳理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)知識(shí)體系[2]。

（一）設(shè)置問題，搭建知識(shí)鏈條

設(shè)置問題是常用的教學(xué)手段之一。針對數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)的問題應(yīng)遵循層次分明和邏輯清楚的原則，即問題設(shè)置應(yīng)由淺入深，針對不同層次的問題，要嚴(yán)格把握題量，從而形成主題明確的問題鏈，使學(xué)生建立以該知識(shí)點(diǎn)為核心的知識(shí)體系[3]。同時(shí)，設(shè)置的問題要符合初中生的思維水平，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，更好地引導(dǎo)學(xué)生搭建知識(shí)鏈條。

例如，在教學(xué)“勾股定理逆定理的應(yīng)用”時(shí)，教師可設(shè)置如下問題：校園升旗臺(tái)的底座形似長方體，設(shè)其上表面的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A、B、C、D，下表面四個(gè)頂點(diǎn)分別是A′、B′、C′、D′，如果隨身只帶了卷尺，如何驗(yàn)證上表面的棱AD和BC垂直于下表面的棱A′B′？這道題要求學(xué)生首先回憶勾股定理的逆定理。由于初中生沒有學(xué)過空間立體幾何，教師可提示通過不同平面的點(diǎn)、線、面關(guān)系進(jìn)行線條轉(zhuǎn)移，使之在同一個(gè)平面內(nèi)再進(jìn)行計(jì)算。隨后，教師設(shè)置延伸問題：卷尺測量AD為60cm，A′B′為80cm，BD為100cm，則邊AD是否垂直于邊A′B'？AB、CD和B′C′之間有什么關(guān)系？其證明了長方體的什么特征？已知三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)，空間直線AB垂直于BC，BC垂直于CD，則AB和CD是什么關(guān)系？通過問題指引，學(xué)生掌握勾股定理和勾股定理的逆定理的使用場景與方法，也認(rèn)識(shí)到如果空間立體圖形是穩(wěn)定的，可以根據(jù)圖形的形狀合理利用相關(guān)定律。通過設(shè)置關(guān)于勾股定理和勾股定理的逆定理的情境問題，學(xué)生反復(fù)練習(xí)了勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用方法，實(shí)現(xiàn)了平面和空間知識(shí)的銜接，搭建了知識(shí)鏈條，拓展了數(shù)學(xué)思維，建立起勾股定理知識(shí)體系。

（二）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)規(guī)律

數(shù)學(xué)是一門邏輯性、抽象性較強(qiáng)的課程，有時(shí)，教師需借助實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生理解知識(shí)。伽利略曾說：“一切推理都必須從觀察和實(shí)驗(yàn)得來。”如何結(jié)合初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)轉(zhuǎn)化為具有一定指導(dǎo)意義的實(shí)驗(yàn)課程，是教師需要考慮的重要問題。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程要求實(shí)驗(yàn)中不僅包含數(shù)學(xué)核心知識(shí)，還要包含相關(guān)學(xué)習(xí)規(guī)律，從而讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)探索過程中引發(fā)思考，發(fā)現(xiàn)并掌握學(xué)習(xí)規(guī)律[4]。

例如，教師要求學(xué)生準(zhǔn)備長方形紙片一張、剪刀或小刀一個(gè)，進(jìn)行長方形紙張裁剪實(shí)驗(yàn)，通過剪刀或小刀將長方形紙片改造成正方形紙片。在長期的慣性思維中，學(xué)生已知正方形的四條邊長都相等。如何尋找相等的邊長，學(xué)生將目光對準(zhǔn)了長方形的短邊，在長邊處截取與短邊相等的長度。如圖1所示，他們將正方形的四個(gè)角編號(hào)為A、B、C、D，將紙張的A點(diǎn)進(jìn)行對折，使之與C點(diǎn)重合，邊AB與邊BC重合，對B點(diǎn)實(shí)施同樣的操作，然后折疊并裁剪CD邊以外的紙條，就實(shí)現(xiàn)了長方形到正方形的裁剪。

圖1 長方形紙張裁剪實(shí)驗(yàn)

接著對該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行延伸。學(xué)生已經(jīng)知道正方形和長方形都是特殊的平行四邊形，同時(shí)正方形是特殊的菱形。教師要求學(xué)生準(zhǔn)備一張長方形紙片，思考如何將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕钠叫兴倪呅?；?zhǔn)備一張正方形紙片，思考如何將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕牧庑?。之后，教師讓學(xué)生以小組為單位討論長方形是否可以直接轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕牧庑危绻梢缘脑?，如何設(shè)計(jì)；如果不可以，請說明原因。學(xué)生在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的過程中，發(fā)現(xiàn)了長方形、正方形、平行四邊形、菱形之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系和圖形之間隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)和規(guī)律，從而掌握了相關(guān)圖形的特征。

學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)和分組討論，將數(shù)學(xué)定理以直觀的方式展現(xiàn)出來，這既發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，又培養(yǎng)了學(xué)生觀察猜想、交流驗(yàn)證、歸納推理的能力。

總之，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)過程中，教師應(yīng)巧用不同的教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，從而幫助學(xué)生建立屬于自己的知識(shí)體系，培養(yǎng)靈活的數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

二、引導(dǎo)知識(shí)遷移與應(yīng)用

學(xué)習(xí)的最終目的是應(yīng)用，這要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不再是單純記憶口訣、定理、公式，而是在學(xué)習(xí)過程中加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，加深對舊知識(shí)的理解，捕捉相似的知識(shí)點(diǎn)，通過發(fā)散思維求解問題，從而真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)解決問題的能力。針對數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)散應(yīng)用，教師可采用“變式練習(xí)”和“一題多解”兩種訓(xùn)練模式，讓學(xué)生從多樣的解題方法中尋找到最優(yōu)解。

（一）變式練習(xí)，融會(huì)貫通

變式練習(xí)的意義在于突破傳統(tǒng)的題海戰(zhàn)術(shù)，通過延伸原題目的相關(guān)性、相似性或者相反性，歸納解決不同類型問題的方法，深度挖掘習(xí)題的意義，從而激發(fā)學(xué)生的探索欲望，開闊學(xué)生的知識(shí)視野和思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的“以少勝多”，將數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。

例如，在教學(xué)“一元一次方程”時(shí)，教師可設(shè)置問題：奧運(yùn)冠軍孟關(guān)良是我國皮劃艇隊(duì)隊(duì)員。在一次比賽中，一艘快艇與孟關(guān)良的皮艇在同一個(gè)起點(diǎn)，這艘快艇的速度是5m/s，且先走了20米。如果孟關(guān)良以6m/s的速度滑行，他需要多久才能追上這艘快艇？

這是一道傳統(tǒng)的追擊問題，學(xué)生可設(shè)需要時(shí)間x秒追上快艇，利用二者行駛路程相等列方程式，從而快速解答題目。

變式1：從同一起點(diǎn)出發(fā)，這艘快艇和孟關(guān)良的速度分別為5m/s和6m/s，這艘快艇先行20s，孟關(guān)良需要多久才能追上這艘快艇？

變式2：從同一起點(diǎn)出發(fā)，這艘快艇依然先行，以不變的速度行駛10s，教練要求孟關(guān)良必須在45s內(nèi)追上快艇。孟關(guān)良首先保持了6m/s的速度前行，在滑行5s后，發(fā)現(xiàn)如果后續(xù)依然保持這一速度，在剩余的40s內(nèi)是追不上這艘快艇的。請問他的想法是否正確？請計(jì)算他后續(xù)用多快速度才能在45s內(nèi)追上這艘快艇。

上述是變式練習(xí)的兩種變式方式，通過變更條件，讓學(xué)生深刻理解這一類型的問題本質(zhì)是計(jì)算時(shí)間和路程的等量關(guān)系，從而在后續(xù)對類似問題求解時(shí)能快速得出答案。另外，變式2中提出反問，能夠培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的意識(shí)和能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

（二）一題多解，尋求最優(yōu)解

一題多解的本質(zhì)是借助不同的論證方式，反映條件和結(jié)論之間的關(guān)系。一題多解不僅能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的靈活應(yīng)用，還可以讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的對比學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟知知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而開闊學(xué)生的思路，訓(xùn)練學(xué)生思考和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性。課堂教學(xué)中的一題多解練習(xí)，還可以引發(fā)學(xué)生之間的競爭心態(tài)，營造積極活躍的學(xué)習(xí)氛圍。

例如，在教學(xué)“等腰三角形的判定”時(shí)，教師設(shè)置問題：如圖2所示，點(diǎn)D和E分別在△ABC的邊AB和AC上，已知CD⊥AB，垂足為D；BE⊥AC，垂足為E，且∠1=∠2。求證：△ABC是等腰三角形。

圖2

等腰三角形的腰長相等，本題中只要證明AB=AC即可。學(xué)生常用的解題方法是△BEC和△CDB存在兩個(gè)對應(yīng)角相等，即∠1=∠2、垂直角相等，還使用了共同邊BC，以此證明∠DBC=∠ECB，即∠ABC=∠ACB，底角相等則對邊相等，故ΔABC是等腰三角形。教師提問：“是否可以省略其中一些步驟證明，或者有沒有其他證明方法？”有的學(xué)生率先發(fā)現(xiàn)不需要驗(yàn)證兩個(gè)三角形全等，通過內(nèi)角和為180°可直接獲得兩個(gè)底角∠DBC和∠ECB相等的關(guān)系，從而簡化證明步驟。

一題多解的訓(xùn)練模式可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、全方位思考問題，再通過同學(xué)之間的思維碰撞發(fā)現(xiàn)自己的思維盲區(qū)和知識(shí)弱項(xiàng)，從而完善自身的知識(shí)體系，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維正處于發(fā)展階段，教師在實(shí)際教學(xué)過程中應(yīng)根據(jù)實(shí)際教學(xué)內(nèi)容合理設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生分析探究，增強(qiáng)知識(shí)遷移和運(yùn)用能力，從而幫助學(xué)生鞏固知識(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)發(fā)散思維，鍛煉學(xué)生舉一反三的能力，使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

三、升華學(xué)科意識(shí)

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中及時(shí)反思，通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歷史，形成積極、奮進(jìn)的思維品質(zhì)；通過實(shí)踐練習(xí)，學(xué)會(huì)理論聯(lián)系實(shí)際，解決具體問題；通過思維和行動(dòng)相輔相成，升華學(xué)科意識(shí)，從而形成較強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

（一）聯(lián)系數(shù)學(xué)歷史，培養(yǎng)思維品質(zhì)

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)歷史，向?qū)W生展示古人的智慧及為數(shù)學(xué)發(fā)展所作的貢獻(xiàn)，能夠培養(yǎng)學(xué)生積極、奮進(jìn)的思維品質(zhì)及民族自信心和社會(huì)責(zé)任感[5]。

例如，學(xué)生都知道祖沖之是世界上第一個(gè)把圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后7位的人[2]。在古代信息不發(fā)達(dá)、設(shè)備不健全的條件下，祖沖之是如何進(jìn)行科學(xué)探索和計(jì)算的呢？祖沖之是在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的。他使用了一個(gè)直徑為一丈的圓，在圓內(nèi)繪制正多邊形，當(dāng)繪制到內(nèi)接192邊形時(shí)，得到“徽率”的值。他認(rèn)為該值的精度存在改進(jìn)的空間，于是對其進(jìn)行繼續(xù)切割計(jì)算，直到切割至24576邊形，并依次求出所有內(nèi)接多邊形的邊長，從而得出結(jié)論：如果圓的直徑為1，那么圓周率小于3.1415927，大于3.1415926。這意味著，祖沖之計(jì)算了兩萬多個(gè)多邊形的實(shí)際邊長。在沒有計(jì)算器、電腦等工具的條件下，祖沖之使用算籌進(jìn)行擺放計(jì)算取值，其過程之艱辛可想而知。

（二）聯(lián)系實(shí)際，解決具體問題

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)技能和知識(shí)，還要求學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)用于實(shí)際生活，解決具體問題。

例如，教師可以要求學(xué)生使用卷尺測量教學(xué)樓的高度。對學(xué)生來說，使用卷尺直接測量教學(xué)樓是不可能完成的任務(wù)，需要借助輔助工具。教師可給予學(xué)生關(guān)鍵詞提示：比例、太陽和影子。學(xué)生根據(jù)提示，聯(lián)系所學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考。有的學(xué)生指出可以借助比例的算法，即選用卷尺測得某位學(xué)生的身高，在有陽光的日子里，讓該學(xué)生站在陽光下，其他學(xué)生測量該學(xué)生影子的長度，同一時(shí)刻測量教學(xué)樓投影的長度，通過比例之間的換算計(jì)算出教學(xué)樓的高度。但在實(shí)際測量過程中，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同意見。教學(xué)樓具有相當(dāng)?shù)摹昂穸取保瑴y量其陰影長度，起始點(diǎn)應(yīng)該在哪里？有的學(xué)生認(rèn)為是向陽面的墻角，有的學(xué)生則認(rèn)為是向陰面的墻角。教師提醒：“測量人的影子時(shí)，是從哪個(gè)位置開始的，到哪個(gè)位置結(jié)束？”學(xué)生意識(shí)到問題所在，從而測量出正確的陰影長度。

結(jié) 語

綜上所述，在實(shí)際教學(xué)過程中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的知識(shí)掌握情況，設(shè)計(jì)層層深入的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，通過解決問題建構(gòu)知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和運(yùn)用。同時(shí)，教師應(yīng)鍛煉學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。