李海鳳， 王欣茂

(西安工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)學(xué)院物理系，陜西 西安 710021)

量子隧穿(或量子貫穿、量子隧道)是一種重要的量子效應(yīng)，當(dāng)入射粒子能量小于勢(shì)壘高度，其仍然有一定的概率穿過(guò)勢(shì)壘，出現(xiàn)在勢(shì)壘后面的區(qū)域．而當(dāng)入射粒子能量略微高于勢(shì)壘高度，仍然有一定概率在勢(shì)壘表面發(fā)生反射．這些現(xiàn)象用經(jīng)典力學(xué)無(wú)法解釋，必須借助于量子力學(xué)理論，其本質(zhì)為微觀粒子具有波粒二象性[1-4]．因此，量子隧穿現(xiàn)象是粒子具有波動(dòng)性的表現(xiàn)．利用量子隧穿效應(yīng)，能夠非常好地解釋放射性元素α衰變、熱核聚變、金屬電子冷發(fā)射、半導(dǎo)體p-n結(jié)、隧道二極管等．除此之外，量子隧穿效應(yīng)的重要實(shí)際應(yīng)用之一為掃描隧道顯微鏡，1993年利用掃描隧道顯微鏡制成了量子圍欄,人類首次直接觀測(cè)到電子駐波圖.

傳統(tǒng)量子物理教材，只涉及單個(gè)方勢(shì)壘,勢(shì)壘范圍一般是x∈(0,a)，然后計(jì)算微觀粒子的透射系數(shù)，若一維任意邊界的雙方勢(shì)壘，中間形成一個(gè)量子阱，如何計(jì)算微觀粒子的透射系數(shù)？不同于散射矩陣方法(或轉(zhuǎn)移矩陣方法)，本文利用量子力學(xué)求解勢(shì)壘量子隧穿的常規(guī)方法，嚴(yán)格分區(qū)域求解定態(tài)薛定諤方程，并且利用波函數(shù)在邊界處滿足單值性和連續(xù)性，推導(dǎo)得到一維任意邊界條件下雙方勢(shì)壘量子隧穿透射系數(shù)的精確解析表達(dá)式，雖然推導(dǎo)過(guò)程比較繁瑣，但是結(jié)果簡(jiǎn)潔，能夠比較直觀得出透射系數(shù)與哪些參數(shù)有關(guān)．這些都是非常有意思的問(wèn)題，不僅可以作為量子力學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的補(bǔ)充，并且可以對(duì)納米電子器件的設(shè)計(jì)和制造提供物理依據(jù)[5-10].

1 非對(duì)稱雙方勢(shì)壘

一維任意邊界的非對(duì)稱雙方勢(shì)壘，兩個(gè)壘寬與兩個(gè)壘高均不等．勢(shì)能函數(shù)如下：

(1)

圖1 一維非對(duì)稱雙方勢(shì)壘

從圖1中可知兩個(gè)壘高分別為U01和U02， 兩個(gè)壘寬分別為L(zhǎng)1=b-a,L2=d-c, 兩個(gè)勢(shì)壘之間的間距為Δ=c-b．第Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ區(qū)域一般為超導(dǎo)體、導(dǎo)體、金屬，半導(dǎo)體材料等，電子可以自由運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能為零，而Ⅱ、Ⅳ區(qū)域一般為絕緣層，電子不容易通過(guò)，將其看成勢(shì)壘．

由于勢(shì)能函數(shù)不顯含時(shí)間，雙方勢(shì)壘將空間分成五個(gè)區(qū)域，求解每個(gè)區(qū)域的定態(tài)薛定諤方程，得到每個(gè)區(qū)域的波函數(shù)形式解如下：

(2)

在每個(gè)區(qū)域的邊界處，利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件(即單值性與連續(xù)性)，求得

(3)

(4)

(5)

上述公式，給出了一維非對(duì)稱雙方勢(shì)壘，3種不同入射能量情況下，F(xiàn)/A表達(dá)式，透射系數(shù)是它的模平方，雖然我們這里沒(méi)有展示透射系數(shù)的具體表達(dá)式，但是從目前的結(jié)果比較容易看出透射系數(shù)是勢(shì)壘寬度(L1,L2)、壘間距(Δ)、入射能量和壘高(E,U01,U02)的函數(shù)．下面我們重點(diǎn)通過(guò)研究一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘，數(shù)值模擬透射系數(shù)對(duì)上述參數(shù)的依賴關(guān)系．

2 對(duì)稱雙方勢(shì)壘

一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘，壘高相同，即U01=U02=U0.

圖2 一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘

那么它的勢(shì)能函數(shù)U(x)為

(6)

(7)

對(duì)上式求模平方，則透射系數(shù)為

T=4β4/{(β2-1)4sin2(k1Δ)sin2(k2L1)sin2(k2L2)-

2β(β2-1)2sin(k2L1)sin(k2L2)sin(k1Δ)×

{2βcos[k2(L1+L2)]sin(k1Δ)+

(β2+1)sin[k2(L1+L2)]cos(k1Δ)}+

β2(1+β2)2sin2[k2(L1+L2)]+

4β4cos2[k2(L1+L2)]}

(8)

(9)

對(duì)上式求模平方，則透射系數(shù)為

T=4β′4/{β′2(β′2-1)2sinh2[k′2(L1+L2)]+

(β′2+1)4sinh2(k′2L1)sinh2(k′2L2)sin2(k1Δ)-

2(β′2+1)2sin(k1Δ)sinh(k′2L1)sinh(k′2L2)×

[(β′3-β′)cos(k1Δ)sinh[k′2(L1+L2)]+

2β′2cosh[k′2(L1+L2)]sin(k1Δ)]+

4β′4cosh2[k′2(L1+L2)]}

(10)

若Δ=0,L1=0或者L2=0．則一維雙方勢(shì)壘的結(jié)果回歸到單方勢(shì)壘的結(jié)果.

3 數(shù)值計(jì)算與討論

現(xiàn)在我們考慮一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘，兩個(gè)壘寬相等，即L1=L2=L，并且微觀粒子入射能量小于壘高的情況，即E

T=4β′4/{β′2(β′2-1)2sinh2(2k′2L)+

(β′2+1)4sinh4(k′2L)sin2(k1Δ)+

4β′4cosh2(2k′2L)-

2(β′2+1)2sin(k1Δ)sinh2(k′2L)·

[(β′3-β′)cos(k1Δ)sinh(2k′2L)+

2β′2cosh(2k′2L)sin(k1Δ)]}

(11)

圖3為一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘的透射系數(shù)與勢(shì)壘寬度變化關(guān)系圖，其中入射粒子能量為E=2 eV,勢(shì)壘高度為U0=3 eV,勢(shì)壘間距為Δ=0.2nm．當(dāng)勢(shì)壘寬度為0時(shí)，相當(dāng)于沒(méi)有勢(shì)壘，粒子自由運(yùn)動(dòng)，透射系數(shù)為1，隨著勢(shì)壘寬度逐漸增加，透射系數(shù)逐漸減小,直至為0．從圖中看出，若壘寬比較小(Δ≤0.11nm)，雙方勢(shì)壘透射系數(shù)持續(xù)保持為最大值1， 說(shuō)明壘寬越小越容易實(shí)現(xiàn)量子隧穿效應(yīng)．

圖3 一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘的透射系數(shù)與壘寬關(guān)系

圖4為一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘的透射系數(shù)與勢(shì)壘間距變化關(guān)系圖，其中入射粒子能量為E=2eV,勢(shì)壘高度為U0=3eV,勢(shì)壘寬度為L(zhǎng)=0.1nm．若勢(shì)壘間距為0，相當(dāng)于單方勢(shì)壘，透射系數(shù)小于1，隨著勢(shì)壘間距逐漸增加，透射系數(shù)增加至1，然后又降低，呈現(xiàn)明顯地周期式振蕩,振動(dòng)周期相同.若勢(shì)壘高度變大，透射系數(shù)仍然隨著勢(shì)壘間距的增加而周期振蕩，只不過(guò)透射系數(shù)最小值變小，峰寬變窄，更局域.

圖4 一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘的透射系數(shù)與壘間距關(guān)系

為了便于理解，令透射系數(shù)取最大值1，我們解析地推導(dǎo)出此時(shí)壘間距表達(dá)式如下：

(12)

將兩個(gè)勢(shì)壘之間區(qū)域看作一個(gè)量子阱，若勢(shì)阱寬度(即兩個(gè)勢(shì)壘之間的距離)等于式(12)，進(jìn)入勢(shì)阱的微觀粒子在勢(shì)阱界面上經(jīng)歷多次反射，微觀粒子透射波保持相位的相干性，就可能具有接近于1的透射系數(shù)，使隧穿具有共振特性．因此，一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘的透射系數(shù)對(duì)于勢(shì)壘間距具有明顯的依賴關(guān)系．我們可以通過(guò)調(diào)控勢(shì)壘間距，使微觀粒子透射系數(shù)達(dá)到最大值1，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)共振隧穿.

圖5為一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘在不同勢(shì)壘寬度情況下透射系數(shù)隨著E/U0變化的關(guān)系圖，其中勢(shì)壘高度為U0=3eV,雙勢(shì)壘間距為Δ=0.2nm．當(dāng)入射粒子能量為0時(shí)，透射系數(shù)為0．當(dāng)壘寬較大時(shí)(L=0.3nm)，隨著入射能量的增加，透射系數(shù)從零先增加到最大值然后急速減少，降到略大于0的某個(gè)值，然后趨于平緩．當(dāng)壘寬處于中間值區(qū)域時(shí)(L=0.1nm)，隨著入射能量的增加，透射系數(shù)從零先增加到最大值1，然后緩慢減少．當(dāng)壘寬較小時(shí)(L=0.01nm)，隨著入射能量的增加，透射系數(shù)從零首先快速增加到最大值1，然后穩(wěn)定保持該值.從圖中，我們比較容易看出，當(dāng)壘寬比較大時(shí)，一般情況而言，量子隧穿效應(yīng)不明顯，透射系數(shù)比較低，甚至為0，但是可以通過(guò)選擇合適的微觀粒子入射能量，使透射系數(shù)達(dá)到最大值1．勢(shì)壘寬度越大，透射系數(shù)對(duì)入射能量的選擇依賴性越強(qiáng)．

圖5 一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘不同壘寬下透射系數(shù)與E/U0

圖6為一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘不同壘間距下透射系數(shù)與E/U0變化的關(guān)系圖，其中勢(shì)壘高度為U0=3eV,勢(shì)壘寬度為L(zhǎng)=0.1nm．微觀粒子的入射能量為0時(shí)，透射系數(shù)為0．當(dāng)雙勢(shì)壘間距較小時(shí)(Δ=0.2nm)，隨著入射能量的增加，透射系數(shù)從0緩慢增加到1，然后緩慢減?。?dāng)雙勢(shì)壘間距介于中間值時(shí)(Δ=0.4nm)，隨著入射能量的增加，透射系數(shù)從0增加到1然后緩慢減少至某個(gè)值后又緩慢增加．當(dāng)雙勢(shì)壘間距(Δ=2nm)較大時(shí)，隨著入射能量的增加，透射系數(shù)從0快速增加到1，然后快速減小，周期振蕩，周期越來(lái)越大，但振幅越來(lái)越?。畯膱D中可以看出，勢(shì)壘間距越大越容易實(shí)現(xiàn)共振隧穿現(xiàn)象，由于當(dāng)粒子入射能量等于兩壘之間勢(shì)阱區(qū)域的共振能級(jí)時(shí)，粒子可以利用共振隧穿的方式通過(guò)對(duì)稱雙方勢(shì)壘．

圖6 一維對(duì)稱雙方勢(shì)壘不同壘間距下透射系數(shù)與E/U0

4 結(jié)論

量子隧穿效應(yīng)，雖然是根據(jù)微觀粒子的波動(dòng)性，貫穿比自身能量更高勢(shì)壘的量子理論，但是它在實(shí)際技術(shù)中具有重要應(yīng)用．本文利用量子力學(xué)求解定態(tài)薛定諤方程的常規(guī)方法，嚴(yán)格推導(dǎo)了一般任意邊界條件下，一維雙方勢(shì)壘的透射系數(shù)，并且數(shù)值研究了對(duì)稱雙方勢(shì)壘的透射系數(shù)與壘寬、壘間距以及入射能量與壘高比值的變化關(guān)系．在這些影響一維雙方勢(shì)壘透射系數(shù)的參數(shù)中，壘間距給出的結(jié)果比較有趣, 即透射系數(shù)隨著壘間距的增加而呈現(xiàn)出明顯地周期式振蕩．本文我們首次推導(dǎo)得出透射系數(shù)達(dá)到最大值1時(shí)對(duì)應(yīng)的壘間距解析表達(dá)式，從中比較容易得到振蕩的周期，通過(guò)微觀粒子的德布羅意波長(zhǎng)關(guān)系，進(jìn)一步證明了該振蕩周期正好等于粒子的物質(zhì)波波長(zhǎng)．除此之外，透射系數(shù)隨著壘寬的增加而緩慢從1減小至0．透射系數(shù)并不是隨著入射能量的增加而單調(diào)遞增至1，這種美好圖景只有在壘寬比較小時(shí)才可以實(shí)現(xiàn)，對(duì)于壘寬稍微大或者較大時(shí)，只有當(dāng)入射能量達(dá)到某一個(gè)值時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)透射系數(shù)為1的峰值，然后隨著入射能量繼續(xù)增加，透射系數(shù)逐漸降低．當(dāng)壘間距較小時(shí)，入射能量等于某個(gè)值時(shí)才會(huì)出現(xiàn)透射系數(shù)為1的峰，而當(dāng)壘間距較大時(shí)，隨著入射能量的增加，透射系數(shù)周期越來(lái)越大，振幅越來(lái)越小地振蕩前進(jìn)，實(shí)現(xiàn)共振隧穿. 因此，通過(guò)選擇合適的入射粒子能量和勢(shì)壘間距，可以極大地增加微觀粒子通過(guò)勢(shì)壘的透射系數(shù)．本文對(duì)于電子器件、共振隧穿器件的制作與研發(fā)以及解釋半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)中共振隧穿現(xiàn)象具有指導(dǎo)意義,提供了物理理論依據(jù)．