張茂芳 游慧敏 尹相國 張云波

1)(山西大學(xué)理論物理研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

2)(浙江理工大學(xué)物理系,浙江省光場調(diào)控重點實驗室,杭州 310018)

研究了半開放系統(tǒng)中粒子向開放空間的隧穿問題.考慮由無限高的墻和多個 δ 函數(shù)勢壘組成的半Dirac 梳模型,首先求解該模型的精確解析解,其能量本征函數(shù)可以用遞推關(guān)系以封閉解析的形式給出.對單個勢壘、多個勢壘、無序勢壘等不同情況,利用傅里葉積分計算了任意時刻單粒子波函數(shù)的明確表示,導(dǎo)出了由初態(tài)保真度定義的粒子生存幾率閉合形式的表達式,重點研究了粒子生存幾率對勢壘高度、無序強度等系統(tǒng)參數(shù)的依賴,以及利用相關(guān)參數(shù)對衰減規(guī)律的操控及抑制.發(fā)現(xiàn)多個勢壘將大幅度提高粒子的生存幾率,無序的加入會極大地抑制其隨時間的振蕩.

1 引言

粒子從勢阱隧穿到空間是量子力學(xué)的基本問題之一,已被用于分析諸如核α衰變[1,2]、質(zhì)子發(fā)射[3,4]、聚變[5]、裂變[6]、光締合[7]、光解離[8]、或隧道二極管的功能[9]等現(xiàn)象.多年來,人們已經(jīng)詳細研究了粒子隧穿進入開放空間的許多方面.如單粒子隧穿過程和多體玻色-愛因斯坦凝聚體的隧穿現(xiàn)在已經(jīng)得到了很好的解釋[10-16].近年來,由于超冷原子物理領(lǐng)域?qū)嶒灱夹g(shù)的快速發(fā)展,可以設(shè)計出特色新穎的隧穿系統(tǒng),如改變外勢的形狀[17-19]、有效維度[20-23]、制備初態(tài)[24]、或調(diào)節(jié)粒子間相互作用的強度[25,26].這一領(lǐng)域最近的重要實驗成果包括海德堡的塞利姆·約希姆小組的實驗,他們研究了隧穿少費米子系統(tǒng)的衰變[27,28].

本文考慮的則是半開放系統(tǒng),可以看作是Winter 模型[29]的一個推廣.Winter 模型由一個無限高的墻和一個δ函數(shù)勢組成,它的一個很好的特點是其能量本征函數(shù)可以以封閉解析的形式找到,使我們能夠很容易地洞察衰變粒子的性質(zhì).溫特指出衰變過程與指數(shù)律存在偏差,其長期演化遵循冪律.研究表明根據(jù)任意初始受限狀態(tài)的完整共振譜可導(dǎo)出生存幾率和非逃逸概率,它們在很長一段時間內(nèi)遵循不同的冪律衰減[30],在各種實驗中也觀察到非指數(shù)衰減[31—33].實驗技術(shù)的新進展提供了以可控方式研究隧穿現(xiàn)象的機會[24,27],有助于更好地理解不穩(wěn)定多體狀態(tài)的特性.如最近的研究包括兩個相同的非相互作用粒子系統(tǒng)[34]、超冷原子系統(tǒng)[35-42]、具有庫侖相互作用的兩粒子系統(tǒng)[43]、以及由一個核-核和兩個價質(zhì)子組成的模型系統(tǒng)[44].雙勢壘情況下的Winter 模型已經(jīng)得到了很好的應(yīng)用,特別是最近關(guān)于不穩(wěn)定Tonks-Girardeau 氣體從中逸出的研究[45]帶給我們很多啟發(fā).

本文將Winter 模型進行推廣,初始位于寬度為a的無限深勢阱中的粒子,右勢壘突然撤掉后向開放空間隧穿,右方N個勢壘與原來的無窮高左勢壘組成的系統(tǒng)我們稱之為半Dirac 梳模型，如圖1所示.本文首先求解該模型的精確解析解,考慮其含時演化,利用生存幾率來分析粒子的逃逸情形,討論其衰減特性,以及加入無序后對隧穿過程的影響.

圖1 半開放系統(tǒng)中的粒子逃逸問題.初始位于寬度為a 的無限深勢阱中的粒子,右勢壘突然撤掉后向開放空間隧穿,右方N 個勢壘與原來的系統(tǒng)組成了半Dirac 梳.圖中顯示了初始時刻及 t=10t0 時在各阱的幾率密度分布.這里取N=10Fig.1.Particle escape problems from a semi-open system.A particle initially in the eigenstate of an infinite potential well of width a is released at t=0 and tunnels into open space when the right barrier is suddenly switched off,and the N δ-barrier on the right form a semi-Dirac comb with the original well.The probability density is shown fort=0 and 1 0t0 .

2 模型

考慮一個 (0,∞)的一維系統(tǒng),其中有N個均勻分布的δ勢壘:

勢壘強度hl≥0,a為勢壘間隔.在此之外,外勢為零,x＞Na時V(x)0 .最初,粒子被限制在(0,a)的勢阱之間,假定初態(tài)為由n1,2,3,···標(biāo)記的基態(tài)或激發(fā)態(tài):

這里展開系數(shù)Cn(p)由初始波函數(shù)確定:

可以證明這個積分是收斂的,并且得到的波函數(shù)對于給定的邊界條件是平方可積的,也即它屬于相關(guān)的希爾伯特空間.

為了得到Ψ(x,t)的解,首先需要求解哈密頓量H由p標(biāo)記的連續(xù)譜本征態(tài)?p,其定態(tài)方程為

這里′表示空間一階導(dǎo)數(shù).在不同的區(qū)域系統(tǒng)波函數(shù)設(shè)為如下統(tǒng)一的形式:

其中l(wèi)0,1,2,···N-1,注意該式對x＞Na區(qū)域也成立.由邊界條件可以得到系數(shù)Al,Bl滿足的遞推關(guān)系如下:

其中因波函數(shù)在x0 處為0,所以有A01及B00.由此得到系數(shù)A1和B1,A2和B2,···,最終得到AN和BN.本征函數(shù)?p在如下內(nèi)積定義下是正交、歸一、完備的:

因其本征值為連續(xù)譜,正交歸一關(guān)系為δ函數(shù)歸一化:

這里采用的狄拉克δ函數(shù)的極限表達式為

由此可得(8)式中的歸一化系數(shù)D為

之后將波函數(shù)?p代入(4)式中的積分,可得到Cn(p)的解析表達式:

根據(jù)生存幾率(也稱量子保真度)來分析系統(tǒng)的衰變特性:

這是時間演化狀態(tài)保持其初始狀態(tài)的概率,以此來衡量二者之間的差異.

為了方便快捷地求解S(t),在數(shù)值上可以用傅里葉變換計算(15)式積分.為此令ωp2/(2m?),則 dω/dpp/(m?),可以得到

其中F(t)是f(ω)的傅里葉變換,即

這里

本文選擇空間坐標(biāo)和時間坐標(biāo)單位分別為a0a和t0ma2/?,勢壘強度以h0?2/(ma)為單位.注意這里的勢壘強度的量綱是: 能量·長度,它與δ函數(shù)中提出的 長度-1量綱一起貢獻勢能.

3 結(jié)果分析

3.1 單個勢壘

首先討論單個勢壘的情形,此時系數(shù)

表明勢壘強度hh1完全決定了系統(tǒng)的隧穿性質(zhì).為方便起見,在以下的分析中考察生存幾率的對數(shù)函數(shù)隨時間的變化規(guī)律.對S(t)取對數(shù),直線部分表示指數(shù)衰減,在某個時間段TT2-T1內(nèi)的衰減快慢可以用其斜率k來描述

首先考慮單個勢壘時固定勢壘強度,生存幾率隨初始能量的變化情況.圖2 給出了勢壘強度h10h0,粒子處于最低的5 個初態(tài)能級(n1,2,3,4,5)情況下的隧穿動力學(xué).粒子的衰減情況可分為三個階段,指數(shù)衰減伴隨著劇烈振蕩: 在開始時的第一階段,短時t0-30t0情況,高能成分迅速逃逸,生存幾率在短時內(nèi)指數(shù)衰減,n越高的初態(tài)生存幾率到達振蕩點的時間越短,l nS的斜率k隨著能級n的增加逐漸增大,說明粒子的衰減速率隨初始能量的增大而加快;中間時段t20-140t0時,隨著狀態(tài)的演化,高能成分被耗盡,粒子的平均能量接近能譜中的最低能量,粒子仍然保持指數(shù)衰減的趨勢,但衰減速率減慢,所有初始能級的斜率k趨于一致;長時t300t0-∞時,粒子衰減逐漸趨于穩(wěn)定,生存幾率降低到某個平衡值便不再變化,這個值 l nS∞隨能級n的增大而減小.圖2的小圖分別給出了衰減速度及平衡值隨初始能級的變化趨勢.

圖2 (a)單個強度為 h=10h0 的勢壘,能量最低的5 個初始態(tài)的生存幾率(n 表示初態(tài)時粒子所處的能級);(b)短時情況,黑色虛線處粒子的衰減率隨著能級增高而增大;(c)中間時刻,黑色虛線部分粒子的衰減率不隨能級而變化;(d)長時情況,粒子生存幾率最后趨于的平衡值(l n S∞),隨著能級增高而減小Fig.2.(a)The survival probability of the five initial states with the lowest energy for single barrier (N=1)with strength h=10h0;(b)the decay rate of the particle (black dotted lines)in short-term becomes faster for higher energy level;(c)in the medium-term,the decay rate of the particle (black dotted lines)does not change with n;(d)the equilibrium value (l n S∞)of the survival probability after the long-term decay decreases as the energy level increases.

然后考慮單個勢壘時粒子處于基態(tài),生存幾率隨勢壘強度變化的情況.圖3 給出了勢壘強度分別為h(10,20,30,40)h0,基態(tài)n1 時粒子的生存幾率隨時間演化的情形.四個圖分別給出了不同時間段下粒子的衰減情況,可分為兩個階段: 短時t0-30t0中,粒子呈指數(shù)衰減,勢壘強度大時粒子會更多地困在阱中,l nS的斜率k隨著勢壘強度h的增大逐漸減小,說明粒子的衰減速率隨勢壘強度的增大而減慢;中間時段t300t0-3000t0時,粒子保持指數(shù)衰減的趨勢,隨著h的增加,生存幾率到達振蕩點的時間越來越長,粒子的衰減速率與短時內(nèi)保持一致;長時t6000t0-∞時,粒子衰減逐漸趨于穩(wěn)定,生存幾率降低到某個平衡值便不再變化,這個值(l nS∞)隨勢壘強度h的增大而減小.圖3 中的小圖分別給出了衰減速度及平衡值隨勢壘強度的變化趨勢.

圖3 (a)單個強度為 h=(10,20,30,40)h0 的勢壘初始基態(tài)的生存幾率(n=1);(b)短時情況,黑色虛線處粒子的衰減率隨著勢壘強度的增大而減小;(c)中間時刻,粒子保持短時內(nèi)的衰減率;(d)長時情況,粒子生存幾率最后趨于的平衡值隨著勢壘強度的增大而減小Fig.3.(a)The survival probability of the initial ground state (n=1 )when N=1 and the barrier strengthsh=(10,20,30,40)h0;(b)the decay rate of the particle (black dotted lines)in the short-term decreases with the increase of the barrier strength;(c)particle maintains a short-term decay rate in the medium-term;(d)the equilibrium value of the particle survival probability after the long-term decay decreases with the increase of the barrier strength.

從以上單個勢壘的隧穿情況來看,不同衰減時間范圍內(nèi),粒子生存幾率的衰減服從不同趨勢.所有處于基態(tài)或激發(fā)態(tài)的粒子的生存幾率在短時間內(nèi)按S～e-Γ t的形式指數(shù)衰減.在一段時間后,激發(fā)態(tài)的衰變會以與基態(tài)相同的衰變常數(shù)進行.最終S(t)的衰減遵循一個長時間的反冪律.在不同的衰減時間區(qū)間曲線會有突變,并伴隨著明顯的振蕩,這些過渡區(qū)域的振蕩是由指數(shù)率和反冪律項的干涉導(dǎo)致的,而長時非指數(shù)衰減則是由于系統(tǒng)能譜具有下限[46].增加勢壘強度h會極大地增加粒子留在阱中的幾率.我們期待增加勢壘個數(shù)也會達到同樣的效果,以下討論多個勢壘對粒子隧穿特性的影響.

3.2 多個勢壘

首先討論勢壘強度相同的多個勢壘情況.更具體的來說考慮初始處于基態(tài)的粒子向勢壘強度都為h的N10 個勢壘組成的右半空間的逃逸問題.圖4 給出了勢壘強度分別為h(5,15,50)h0時,基態(tài)能級n1 粒子的生存幾率隨時間演化的情形,四個圖分別展示了不同時間段下粒子的衰減情況.可以看出勢壘強度較小(h5h0)時,粒子仍然指數(shù)衰減,隨著強度增大,生存幾率迅速升高并開始隨時間不規(guī)則地振蕩,并且在很長時間內(nèi)保持,振蕩幅度隨h的增大也迅速增大.我們看到短時t0-120t0中,三種勢壘強度情況下粒子的生存幾率分別在t ≈(20,40,110)t0左右開始振蕩,開始振蕩時間隨勢壘強度增加.我們發(fā)現(xiàn)這種振蕩可以在某個時刻將生存幾率恢復(fù)到相當(dāng)高的值,圖4中間時刻t300t0-600t0,黑色箭頭標(biāo)記出了h50h0時粒子生存幾率的振蕩最高點,此時其對應(yīng)的時間為tmax394t0,l nSmax值為-0.8543,意味著生存幾率達到了初始態(tài)的 4 2.56%;長時t4800t0-6000t0時,生存幾率持續(xù)在高位振蕩,在某些時刻仍然可以達到非常高的量子保真度.

圖4 (a)勢壘數(shù)目 N=10,勢壘強度 h=(5,15,50)h0 時能量最低的初始基態(tài)的生存幾率;(b)-(d)分別為短時、中時、長時的行為.(c)圖黑色圓圈處為 h=50h0 時粒子生存幾率的振蕩最高點Fig.4.(a)The survival probability of the initial state with the lowest energy for N=10 identical barriers for three barrier strengths h=(5,15,50)h0;(b)-(d)are short-term,medium-term,long-term behavior,respectively.The black circle in panel (c)indicates the highest point of oscillation of the survival probability for h=50h0 .

多個勢壘時粒子在勢壘間反射透射相互干涉,對較大的勢壘強度,粒子發(fā)生反射的概率增大,隧穿出去的粒子可能被反彈回來,生存幾率的振蕩也越來越劇烈,并在某些時刻達到較高的保真度.從短時內(nèi)可以看出粒子的衰減速率隨著勢壘強度的增大而變慢,到達發(fā)生振蕩所需要的時間也更長.從長時來看,勢壘強度增大到一定程度時,衰減速率基本保持穩(wěn)定,非常緩慢衰減.可以找到振蕩最高處的峰值,觀察其隨勢壘數(shù)目的變化.

圖5 給出了勢壘強度分別為h(5,15,50)h0時,粒子生存幾率的振蕩最高點 l nSmax及其對應(yīng)的時間tmax隨勢壘數(shù)目N變化的規(guī)律,每個點表示不同勢壘數(shù)目所對應(yīng)的值,線表示其擬合結(jié)果.可以看到粒子生存幾率的振蕩最高點 l nSmax隨著勢壘數(shù)目的增加而線性降低,隨著勢壘強度的增大而略微升高,但不同的勢壘數(shù)目有較大的漲落.為了更清楚地理解生存幾率最高點隨勢壘數(shù)目的變化,取h40h0情況下20 個振蕩最高峰值的平均,可以看出粒子達到多個最高點的平均幾率雖然總體降低,但更加表現(xiàn)出隨勢壘個數(shù)線性降低的趨勢.而振蕩最高點所對應(yīng)的時間tmax隨勢壘數(shù)目的增加而呈現(xiàn)拋物線型增大,隨著勢壘強度的增大也逐漸變長,可以看到對某些勢壘數(shù)目(如N14,18 等處)仍然會有最高點時間或遲或早出現(xiàn)的情形.

圖5 勢壘強度 h=(40,50,60)h0 時,粒子生存幾率的振蕩最高點(a)及其對應(yīng)的時間(b)隨勢壘數(shù)目的變化.淺藍色圓點對應(yīng) h=40 時不同勢壘數(shù)目下粒子生存幾率振蕩多個最高點(此處取20 個)的平均值Fig.5.Variation of the peak value of the oscillation of survival probability (a)and its corresponding time (b)with the number of barriers for barrier strengths h=(40,50,60)h0.The light blue dots in (a)correspond to the average of 20 highest points in the oscillation for different numbers of potential barriers with strength h=40 .

隨著勢壘強度增大、數(shù)目增多,粒子的衰減速率逐漸減慢,在某些時刻生存幾率長時間在高位振蕩,甚至不再衰減.根據(jù)安德森局域化的理論,無序會導(dǎo)致波函數(shù)發(fā)生指數(shù)衰減,出現(xiàn)局域化現(xiàn)象.這里考慮引入無序勢壘,勢壘強度滿足如下分布:

其中hmin為勢壘最低強度,Δh為無序強度,R為[-1,1]范圍內(nèi)的隨機數(shù),即開放區(qū)間的勢壘強度在(hmin+Δh)和(hmin-Δh)間隨機分布.

圖6 給出了不同勢壘數(shù)目、不同勢壘強度情況下引入無序后粒子的生存幾率隨時間演化的情形.首先選取較少勢壘個數(shù)N10 時兩種最小勢壘強度分別為hmin10h0和4 0h0,無序強度分別為零Δh00,較小 Δh1,較大 Δh2情況進行比較.對hmin10h0,較小無序強度取作 Δh13h0,較大無序強度取作Δh29h0;而對hmin4 0h0,Δh15h0為較小,Δh235h0為較大.圖6 中所有數(shù)據(jù)都是100 次無序勢壘構(gòu)型的平均.可以看到引入無序會極大地增加生存幾率,而且隨著無序強度的增大,粒子的生存幾率增大,衰減速率減慢.hmin40h0時無序的引入會抹平?jīng)]有無序時的劇烈振蕩.另一方面,較多勢壘個數(shù)N100 時,無論hmin取值大小,隨著無序強度的增大,粒子生存幾率的振蕩都會被抹平,在hmin10h0情況下,抹平的保真度大大超過了沒有無序系統(tǒng)的振蕩最高點.

圖6 N=10和N=100 個無序勢壘組成的半開放系統(tǒng)中粒子的生存幾率在大小兩種無序強度下與沒有無序(Δh0=0)情況的對比.圖中所有數(shù)據(jù)都是100 次無序勢壘構(gòu)型的平均 (a),(b)hmin=10h0,Δh1=3h0,Δh2=9h0;(c),(d)hmin=40h0,Δh1=5h0,Δh2=35h0Fig.6.The survival probability of the particle for N=10 and N=100 barriers with randomly distributed strengths.Here Δh0=0denotes the case of regular barriers without disorder.All data in this figure are averaged over 100 disorder realizations of the barrier configuration.(a)(b)hmin=10h0,Δh1=3h0,Δh2=9h0;(c),(d)hmin=40,Δh1=5h0,Δh2=35h0 .

4 結(jié)論與展望

本文詳細研究了半開放系統(tǒng)中的粒子的逃逸問題,即初始位于無限深勢阱中的粒子右勢壘突然撤掉后向開放空間隧穿,右方等間距分布的多個δ勢壘組成了半Dirac 梳,重點研究系統(tǒng)初態(tài)的生存幾率或量子保真度.解析得到了該系統(tǒng)的連續(xù)譜本征態(tài),根據(jù)傅里葉積分計算了任意時刻單粒子波函數(shù)的精確解,導(dǎo)出了粒子一般情況下生存幾率的閉合形式的表達式,利用其揭示了粒子逃逸過程的機制,分析了單個勢壘和多個勢壘時的衰減規(guī)律.發(fā)現(xiàn)對多個勢壘,粒子生存幾率可以達到 4 2.56% .引入無序勢壘可以大幅提升生存幾率,并極大地抑制其隨時間的振蕩.本文的研究將有助于理解粒子在無序系統(tǒng)中的衰變過程,并對利用勢壘對系統(tǒng)進行相關(guān)的量子調(diào)控有指導(dǎo)作用.該研究同樣適用于其他類型的勢壘,比如有寬度的方形勢壘,它在寬度b趨向0,高度V趨向無窮大的極限情況下等效于一個強度為V b的δ勢壘,粒子在勢阱中的逃逸問題可以類似求解.此種情況下可以單獨考慮粒子逃逸隨兩個參數(shù)的依賴關(guān)系,我們期望得到和多個δ勢壘的情況定性一致.此外,還可以利用均方位移[47,48]對時間的依賴σ2(t)～tγ來研究初始波包隨時間的演化過程,除了均勻晶格中的彈道擴散 (γ2)和無序晶格中的局域化 (γ0)以外,在準(zhǔn)周期晶格中可能存在超擴散 (1＜γ＜2)和亞擴散 (γ＞2)等現(xiàn)象,這些現(xiàn)象進一步豐富了粒子隧穿的動力學(xué)行為.