朱一林 ，王 凱

1.西南石油大學(xué)土木工程與測繪學(xué)院，四川 成都 610500

2.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室·西南石油大學(xué)，四川 成都 610500

3.四川大學(xué)建筑與環(huán)境學(xué)院，四川 成都 610065

引言

在航空航天、高速列車、核反應(yīng)堆壓力容器、金屬沖模及電子封裝等眾多工程領(lǐng)域中，金屬承載結(jié)構(gòu)件在服役過程中通常要承受復(fù)雜循環(huán)載荷作用[1-3]。變形的循環(huán)累積引起的疲勞失效是金屬構(gòu)件最主要的一種失效模式。因此，材料的循環(huán)變形行為（尤其是棘輪行為）引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并且在實驗和本構(gòu)模型研究方面取得了豐碩的成果。已有的循環(huán)本構(gòu)模型可以分為基于“A-F”類隨動硬化律的“A-F”類循環(huán)本構(gòu)模型和多機制循環(huán)本構(gòu)模型兩類。在多機制模型中，非彈性應(yīng)變由兩種機制產(chǎn)生，并且需要對材料參數(shù)的取值給出附加限定以確保熱力學(xué)相容性[4-6]。1966 年，F(xiàn)rederick 等[7]將Prage 線性隨動硬化律[8]進行改進，引入了一個動態(tài)恢復(fù)項，提出了“A-F”類隨動硬化律，并基于此建立了“A-F”類循環(huán)本構(gòu)模型?！癆-F”類循環(huán)本構(gòu)模型中引入的動態(tài)恢復(fù)項使其具有了描述材料棘輪行為的能力。盡管其預(yù)測的棘輪演化速率為常數(shù)，總是過高地預(yù)測了棘輪效應(yīng)（特別是對多軸加載情況），但模型中非彈性應(yīng)變僅由一種機制產(chǎn)生，物理意義明確，理論形式也更為簡單，并且可自動保證熱力學(xué)相容性。因此，近幾十年來眾多學(xué)者對“A-F”類隨動硬化律進行了改進和發(fā)展，并建立了眾多“A-F”類循環(huán)本構(gòu)模型?！癆-F”類隨動硬化模型是目前應(yīng)用最廣泛的循環(huán)本構(gòu)模型，根據(jù)背應(yīng)力的演化特性，其又可分為“Chaboche”類循環(huán)本構(gòu)模型和“Ohno-Wang”類循環(huán)本構(gòu)模型。為改善對棘輪行為的描述能力，Chaboche 等[9]將背應(yīng)力分解為4 項，并且令每項都服從“A-F”類隨動硬化律，建立了一個疊加模型（Chaboche 模型I）。盡管對棘輪效應(yīng)的預(yù)測能力得到了顯著提升，但Chaboche模型I 依然高估了棘輪應(yīng)變的演化（尤其是多軸情況）。為進一步提高模型的預(yù)測能力，Chaboche[10]在Chaboche 模型I 的第四背應(yīng)力分量的動態(tài)恢復(fù)項中引入了一個門檻值的概念，提出了Chaboche 模型II，但該模型參數(shù)確定較為復(fù)雜，對材料的單軸和多軸棘輪行為的描述同樣不能很好地兼顧。此后眾多學(xué)者對Chaboche 模型I 和II 又做了改進，建立了眾多的“Chaboche”類循環(huán)本構(gòu)模型。為進一步改善本構(gòu)模型對棘輪變形預(yù)測過高的缺點，Ohno等[11-12]將Chaboche 模型II 中動態(tài)恢復(fù)項的門檻值概念進一步推廣，提出了動態(tài)恢復(fù)完全被激活的臨界狀態(tài)的概念，采用多項疊加的分段線性隨動硬化律來模擬應(yīng)力-應(yīng)變曲線，建立了Ohno-Wang 模型I 和Ohno-Wang 模型II。此后，Abdel-Karim 等[13]、Kang 等[14]以及Yu 等[15]將Ohno-Wang 模型繼續(xù)修正，提出了多種“Ohno-Wang”類循環(huán)本構(gòu)模型，并且對材料在特定工況下的棘輪行為均可給出較為合理的描述。

為描述材料的循環(huán)大變形行為，有學(xué)者將上述在小變形框架下建立的“A-F”類循環(huán)本構(gòu)模型進行了大變形拓展[16-19]。

已有實驗結(jié)果[1]表明，金屬材料在循環(huán)大變形時存在瞬態(tài)包辛格效應(yīng)，即：如果產(chǎn)生反向屈服的應(yīng)變較大，反向屈服時的塑性模量大于單調(diào)加載時的塑性模量（圖1）[20]；與之相反，如果產(chǎn)生反向屈服的應(yīng)變較小，瞬態(tài)包辛格效應(yīng)會減弱，有時反向屈服時的塑性模量甚至要小于單調(diào)加載時的塑性模量（圖2）[21-22]。

圖1 單調(diào)和大應(yīng)變反向加載時塑性模量的比較[20]Fig.1 Comparison of plastic moduli obtained during the monotonic and large strain reverse loading tests

圖2 單調(diào)和小應(yīng)變反向加載塑性模量的比較[21-22]Fig.2 Comparison of plastic moduli obtained during the monotonic and small strain reverse loading tests

眾所周知，材料在循環(huán)加載過程中還可能伴隨損傷的產(chǎn)生和熱-力耦合作用，而對應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)的描述是合理預(yù)測材料熱-力-損傷耦合變形的最關(guān)鍵的基礎(chǔ)。然而，目前已有的循環(huán)本構(gòu)模型大都僅關(guān)注對材料棘輪變形行為的描述，并沒有考慮單調(diào)和循環(huán)加載時塑性模量的不同，因而對循環(huán)變形過程中的應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)尚不能給出合理的預(yù)測結(jié)果。為此，在前期的工作中，Zhu 等提出了一個改進的Chaboche 隨動硬化律[1]，在演化方程中考慮了單調(diào)和循環(huán)變形時塑性模量的差異，對應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)可以給出較為合理的描述[1]。該硬化律是基于自然對數(shù)函數(shù)來進行構(gòu)建。本文利用同樣的思想，基于反雙曲正弦函數(shù)形式，提出了改進的Chaboche 類隨動硬化律，并基于此建立了循環(huán)本構(gòu)模型，驗證了其對材料棘輪行為及循環(huán)變形過程中應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)的預(yù)測能力。

1 本構(gòu)模型

常用的大變形本構(gòu)框架有兩種，即：基于變形梯度張量F乘法分解的超彈性框架和基于伸長張量D加法分解的次彈性框架。在超彈性框架中建立本構(gòu)方程需要引入額外的內(nèi)變量，數(shù)值實現(xiàn)較為復(fù)雜。而在次彈性框架中建立的本構(gòu)方程形式非常簡單，其本質(zhì)是將小變形下導(dǎo)數(shù)形式的演化方程改寫成合適的客觀率形式直接進行推廣。Xiao和Bruhns[23-25]的工作已經(jīng)證明，只有采用對數(shù)客觀率（下文簡稱為對數(shù)率），本構(gòu)方程才是嚴(yán)格自洽的。因此，本文擬基于對數(shù)率在次彈性框架下建立本構(gòu)方程，本構(gòu)方程由運動學(xué)方程、主控方程和演化方程3 部分組成。

1.1 運動學(xué)方程

參照Zhu 等[1]的工作，次彈性大變形框架下的運動學(xué)方程包括

式中：hHencky 對數(shù)應(yīng)變（對數(shù)應(yīng)變），無因次。

本構(gòu)方程為對數(shù)率形式。對數(shù)應(yīng)變的對數(shù)率與伸長張量等價，即

對于任意一個對稱二階張量的對數(shù)率可表示為

式中：A任意的一個二階對稱張量，無因次；

Ωlog反對稱的對數(shù)自旋張量，無因次，其定義詳見文獻[23-25]。

1.2 主控方程

通常，金屬材料的彈性變形在總變形中占比很小。因此，可將對數(shù)應(yīng)變和伸長張量進行加法分解

式中：he彈性對數(shù)應(yīng)變，無因次；

hp塑性對數(shù)應(yīng)變，無因次。

式中：De彈性伸長張量，s-1；

Dp塑性伸長張量，s-1。

進一步，可假設(shè)彈性伸長張量De和彈性應(yīng)變he的對數(shù)率等價，即

通常，彈性應(yīng)變he可由胡克定律進行表征

式（10）的對數(shù)率形式可表示為

由式（11）的逆形式可得次彈性關(guān)系

式中：C四階彈性張量，MPa；

本文非彈性應(yīng)變假設(shè)為率無關(guān)形式，可以通過馮·米塞斯屈服面定義。馮·米塞斯屈服面可表示為

基于關(guān)聯(lián)塑性流動，塑性伸長張量可表達(dá)為

式中：N屈服面Fy的單位法向張量，無因次，其定義為

1.3 演化方程

參照文獻[9]，將背應(yīng)力α 分解為3 部分

其中，α1，α2和α3為長程、中程和短程背應(yīng)力分量，分別對應(yīng)于材料的準(zhǔn)線性、低非線性和高度非線性硬化部分。

長程和中程背應(yīng)力分量的演化方程為

顯然，q可表征材料在變形過程中的最大塑性應(yīng)變。

在單調(diào)加載條件下，式（18）是可以積分的，其積分形式為反雙曲正弦函數(shù)

如前文所述，不同于大變形時的瞬態(tài)包辛格效應(yīng)，材料在變形較小時，瞬態(tài)包辛格效應(yīng)會減弱，甚至有反向屈服塑性模量降低的現(xiàn)象。為了描述這一行為，短程背應(yīng)力的演化可表示為

在單調(diào)加載時，該式依然是可以積分的，其積分結(jié)果仍然為反雙曲正弦形式

對于各向同性硬化，本文引入了Chaboche[12]提出的指數(shù)演化形式，即

1.4 參數(shù)討論

討論本文提出的本構(gòu)模型的描述能力時所用的材料參數(shù)如表1 所示。表1 中所用的材料參數(shù)是用來考察SPFC 高強鋼在應(yīng)變循環(huán)加載下的應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)響應(yīng)的。另外，為了消除各向同性硬化的對模型預(yù)測能力的影響，β 的取值設(shè)置為0，并且Q0和Qsa的取值設(shè)置相同。

表1 SPFC 高強鋼材料參數(shù)Tab.1 Material parameters for SPFC high strength steel in the proposed model

1.4.1 應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)

圖3 不同取值時預(yù)測的對稱應(yīng)變循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)Fig.3 Stress-strain responses with difference?in symmetric strain-controlled cyclic tests

1.4.2 棘輪變形

其他參數(shù)保持如表1 所示不變，只改變m1,2的取值，模型預(yù)測的棘輪應(yīng)變響應(yīng)（加載的名義平均應(yīng)力為100 MPa，名義應(yīng)力幅為400 MPa）如圖4 所示?？梢?，通過調(diào)整m1,2的取值可達(dá)到調(diào)控棘輪應(yīng)變演化的效果。圖4 中的棘輪應(yīng)變定義為

圖4 不同m1,2 取值時棘輪應(yīng)變響應(yīng)Fig.4 Effect of m1,2 on the predicted ratchetting strain

式中：

ha,max,ha,min一個循環(huán)中最大、最小的對數(shù)應(yīng)變，無因次；

εa,max,εa,min一個循環(huán)中最大、最小的工程應(yīng)變，無因次。

2 模型驗證

為體現(xiàn)本文模型的優(yōu)越性，將模擬結(jié)果跟已有經(jīng)典模型的模擬結(jié)果也做了對比。為簡便起見，這里只考慮了跟大變形Karim-Ohno 模型（Karim 等首次提出，Zhu 等[17]在大變形框架下做了拓展）的對比。該模型的隨動硬化律為

除隨動硬化律外，上述兩個本構(gòu)模型其余的本構(gòu)方程均相同。

2.1 U71Mn 軌道鋼的變形行為

為考察對棘輪變形的模擬結(jié)果，首先對Kang等[26]的實驗結(jié)果進行模擬。實驗材料為U71Mn 軌道鋼。所用試樣為直徑10 mm、工作段長度25 mm的圓棒試樣。實驗包括單軸拉伸和應(yīng)力循環(huán)變形。單軸拉伸實驗的工程應(yīng)變率為0.2%/s。循環(huán)變形實驗工況有3 類：（1）單級非對稱應(yīng)力循環(huán)工況（工況A），主要用于考察材料在單級加載下的棘輪行為；（2）固定應(yīng)力幅的多級非對稱應(yīng)力循環(huán)工況（工況B），主要考察不同平均應(yīng)力對材料棘輪變形的影響；（3）固定平均應(yīng)力的多級非對稱應(yīng)力循環(huán)工況（工況C），用于考察不同平均應(yīng)力幅對材料棘輪變形的影響。各工況具體加載水平詳見表2。另外，應(yīng)力循環(huán)變形實驗中采用名義應(yīng)力控制，加載率為51 MPa/s。

表2 U71Mn 軌道鋼應(yīng)力循環(huán)實驗加載情況Tab.2 Load cases used in the cyclic stressing tests of U71Mn rail steel

利用本文提出的模型進行模擬時所采用的材料參數(shù)如表3 所示。其中，m1和m2通過單級非對稱應(yīng)力循環(huán)實驗結(jié)果確定，其余參數(shù)均從單調(diào)拉伸曲線確定。Zhu 等[17]提出的大變形Karim-Ohno 模型的材料參數(shù)如表4 所示。

表3 本文模型中U71Mn 軌道鋼材料參數(shù)Tab.3 Material parameters for U71Mn rail steel in the proposed model

表4 U71Mn 軌道鋼材料參數(shù)（大變形Karim-Ohno 模型參數(shù)）Tab.4 Material parameters for U71Mn rail stee（lThe finite Karim-Ohno model）

另外，在Kang 等[26]的實驗中，U71Mn 軌道鋼表現(xiàn)出的材料各向同性硬化不明顯。為簡化計算，模擬時均忽略各向同性硬化效應(yīng)，即設(shè)置β 為0。

圖5 給出了U71Mn 軌道鋼在單調(diào)拉伸實驗時的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)及其模擬結(jié)果?？梢钥闯?，本文提出的模型和大變形Karim-Ohno 模型均可對材料的單調(diào)加載響應(yīng)給出合理的描述。

圖5 U71Mn 軌道鋼在單調(diào)拉伸時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.5 Experimental and simulated tensile stress-strain curves of U71Mn rail steel

圖6～圖8 給出了U71Mn 軌道鋼在單級和多級非對稱應(yīng)力循環(huán)加載時候的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)?？梢钥闯?，兩種本構(gòu)模型均可合理預(yù)測材料的單級和多級棘輪行為及平均應(yīng)力和應(yīng)力幅對棘輪行為的影響；但只有本文模型可合理表征應(yīng)力循環(huán)過程中的應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)，而大變形Karim-Ohno 模型嚴(yán)重過高地預(yù)測了應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)的面積。

圖6 U71Mn 軌道鋼在工況A 中的應(yīng)力-應(yīng)變實驗和模擬Fig.6 Experimental and simulated stress-strain curves of U71Mn rail steel for working condition A

圖7 U71Mn 軌道鋼在工況B 中的應(yīng)力-應(yīng)變實驗和模擬Fig.7 Experimental and simulated stress-strain curves of U71Mn rail steel for working condition B

圖8 U71Mn 軌道鋼在工況C 中的應(yīng)力-應(yīng)變實驗和模擬Fig.8 Experimental and simulated stress-strain curves of U71Mn rail steel for working condition C

2.2 SPFC 高強鋼的變形行為

為考察模型對瞬態(tài)包辛格效應(yīng)的預(yù)測能力，進一步研究了SPFC 高強鋼在大應(yīng)變循環(huán)實驗時的變形行為[20]。實驗工況包括：（1）單級對稱應(yīng)變循環(huán)加載（工況D）；（2）單級非對稱應(yīng)變循環(huán)加載（工況E）；（3）多級非對稱應(yīng)變循環(huán)加載（工況F）。需要指出的是，實驗中的加載方式為真應(yīng)變控制。各工況具體加載水平詳見表5。

表5 SPFC 高強鋼應(yīng)變循環(huán)實驗加載工況Tab.5 Load cases in strain-controlled cyclic tests of SPFC high strength steel

為突出本文模型的預(yù)測能力，同樣將模擬結(jié)果與大變形Karim-Ohno 模型的模擬結(jié)果進行對比。兩個本構(gòu)模型所用材料參數(shù)分別如表1 和表6 所示。兩個模型對SPFC 高強鋼在大應(yīng)變循環(huán)加載下的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)的模擬結(jié)果見圖9～圖11。

圖9 兩種模型對SPFC 高強鋼在工況D 中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的模擬Fig.9 Simulation of stress-strain curve of SPFC high strength steel under working condition D by two models

圖10 兩種模型對SPFC 高強鋼在工況E 中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的模擬Fig.10 Simulation of stress-strain curve of SPFC high strength steel under working condition E by two models

圖11 兩種模型對SPFC 高強鋼在工況F 中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的模擬Fig.11 Simulation of stress-strain curve of SPFC high strength steel under working condition F by two models

表6 SPFC 高強鋼材料參數(shù)（大變形Karim-Ohno 模型）Tab.6 Material parameters for SPFC high strength stee（lthe finite Karim-Ohno model）

由圖9～圖11 可以看出，本文模型能很好地描述大變形反向加載時材料的瞬態(tài)包辛格效應(yīng)；而Karim-Ohno 模型并不能對此現(xiàn)象給出合理預(yù)測。

另外，本文基于反雙曲正弦函數(shù)的本構(gòu)模型與Zhu 等[1]提出的基于對數(shù)函數(shù)的本構(gòu)模型對棘輪變形和應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)具有相近的預(yù)測能力。

3 結(jié)論

（1）將傳統(tǒng)Chaboche 隨動硬化律進行改進，提出一個可合理描述材料棘輪行為和應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)的新的隨動硬化律。該硬化律在單調(diào)加載時是可積的，積分形式為反雙曲正弦函數(shù)。

（2）所提出的隨動硬化律材料參數(shù)非常便于確定，描述單調(diào)加載響應(yīng)、棘輪應(yīng)變演化和滯回環(huán)形狀的材料參數(shù)相互不耦合，可以通過不同的實驗工況確定。

（3）基于對數(shù)應(yīng)力率，在大變形框架下建立了循環(huán)本構(gòu)模型。模型可以很好地對材料的單調(diào)加載變形行為、棘輪行為以及循環(huán)變形過程中的應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)做出描述。