李小華 胡利耀

近幾年,憑借快速的收斂性和較強的魯棒性,有限時間控制方法已經(jīng)成為控制理論研究的熱點[1-4],并且已經(jīng)獲得了許多的研究成果[5-9].其中,有一類文獻針對有限時間跟蹤控制問題進行了研究[6-9].文獻[6]針對一個五階移動機器人系統(tǒng)采用Backstepping技術(shù)設(shè)計了系統(tǒng)的有限時間跟蹤控制器,使得系統(tǒng)的跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到平衡點;文獻[7] 利用加冪積分技術(shù),研究了空間飛行器的有限時間跟蹤控制問題;在文獻 [8]中,作者利用齊次域方法,解決了四旋翼飛行器的有限時間跟蹤控制問題.但是對于p規(guī)范型非線性系統(tǒng),很少有文章研究其有限時間跟蹤控制問題.經(jīng)查找僅有文獻 [9]結(jié)合加冪積分技術(shù)和凸組合方法,針對一類切換p規(guī)范型非線性系統(tǒng)設(shè)計了一個狀態(tài)反饋跟蹤控制器,該跟蹤控制器能夠保證系統(tǒng)的跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到平衡點的小的鄰域內(nèi).但是上述方法均不能保證系統(tǒng)跟蹤誤差的整個暫態(tài)過程被限制在一個給定的范圍內(nèi),而跟蹤誤差波動太大對實際系統(tǒng)而有一定風險的.并且,大多數(shù)文獻中的系統(tǒng)停息時間均與初始狀態(tài)有關(guān).

因為預(yù)設(shè)性能控制方法能夠同時兼顧到系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能[10],所以國內(nèi)外許多專家學(xué)者對此進行了大量的研究[11-13].然而,目前大多數(shù)關(guān)于預(yù)設(shè)性能的控制方法均存在一個共性問題,即在對系統(tǒng)進行誤差轉(zhuǎn)換時已設(shè)定了該誤差的有界性,然后再去證明它的有界性[10-13],這是不合理的.而文獻 [14]提出一種新的誤差轉(zhuǎn)換函數(shù),在解決預(yù)設(shè)性能控制問題時不需要提前設(shè)定誤差的有界性,從而避免了該共性問題.但該方法只能保證系統(tǒng)在t→∞時系統(tǒng)狀態(tài)誤差收斂到平衡點的一個小的鄰域內(nèi),對于解決一類對收斂時間要求較高的控制問題時不太理想.為此,文獻 [15] 將預(yù)設(shè)性能控制方法和有限時間控制方法相結(jié)合,提出了一種有限時間性能函數(shù),并利用所提出的性能函數(shù),設(shè)計了一類非嚴格反饋非線性系統(tǒng)的有限時間跟蹤控制器,該控制器能夠保證系統(tǒng)的跟蹤誤差在任意給定的時間內(nèi)收斂到平衡點的一個預(yù)先給定的鄰域內(nèi),并且停息時間與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān).然而,該設(shè)計方法仍然存在預(yù)設(shè)性能的共性問題.并且文獻 [14-15]只考慮了系統(tǒng)的冪p=1的情況.而我們知道,許多實際的系統(tǒng)是p規(guī)范型形式的非線性系統(tǒng),其系統(tǒng)的冪p/=1,例如欠驅(qū)動弱耦合的機械系統(tǒng)[16]等等,文獻[14-15]給出的方法不能直接用于這類p規(guī)范型系統(tǒng)中,且它們也沒有考慮外部擾動對系統(tǒng)的影響.

對于系統(tǒng)的外部擾動可以采用H∞控制方法來抑制其影響.該方面的成果已有許多[17-22].其中有一些成果是針對于非線性系統(tǒng)的H∞控制問題[19-22].特別有文獻 [22]對一類嚴格反饋非線性系統(tǒng)設(shè)計了有限時間H∞控制器,但該H∞控制器是在系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的前提下得到的,對于只能滿足有界穩(wěn)定的系統(tǒng),該設(shè)計方法是失效的.應(yīng)該說明的是,目前還沒有關(guān)于p規(guī)范型非線性系統(tǒng)的H∞控制的研究報道.

本文基于預(yù)設(shè)性能控制方法,結(jié)合加冪積分技術(shù)、H∞控制方法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)技術(shù),針對于一類帶有外部擾動的非嚴格反饋p規(guī)范型非線性系統(tǒng)設(shè)計了一個自適應(yīng)神經(jīng)預(yù)設(shè)性能有限時間H∞控制器,該控制器能夠保證被控系統(tǒng)的跟蹤誤差在任意給定的停息時間內(nèi)收斂到平衡點的一個預(yù)先給定的鄰域內(nèi),系統(tǒng)是實際有限時間穩(wěn)定的,并且跟蹤誤差始終在有限時間性能函數(shù)約束的范圍內(nèi),同時外部擾動對系統(tǒng)的影響能夠被抑制.

本文的主要貢獻為:1)首次考慮了一類帶有外部擾動的非嚴格反饋p規(guī)范型非線性系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能有限時間H∞控制問題,并且首次將有限時間性能函數(shù)和加冪積分器技術(shù)相結(jié)合;2)由于外部擾動及系統(tǒng)的高次冪的影響,文獻 [14]中所提出的預(yù)設(shè)性能方法并不能直接應(yīng)用.為了避免預(yù)設(shè)性能控制方法存在的共性問題,本文基于文獻 [14]中的思想,提出一種新的預(yù)設(shè)性能控制器的設(shè)計方法.該方法亦避免了該共性問題;3)不同于文獻[22],本文解決了非線性系統(tǒng)為有界穩(wěn)定時設(shè)計H∞控制器的困難;4)與文獻[14-15]相比,系統(tǒng)的冪p被放寬到奇整數(shù)之比的形式;并且考慮了系統(tǒng)帶有外部擾動的情況.

1 問題描述和預(yù)備知識

1.1 系統(tǒng)描述

本文考慮如下一類非嚴格反饋p規(guī)范型非線性系統(tǒng):

其中,x=[x1,···,xn]T∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;y ∈R是系統(tǒng)的輸出;u∈R為系統(tǒng)控制輸入.gi(x),fi(x)和φi(x)為未知的C1函數(shù);wi(t)∈L2[0,T] 為非零外部擾動;系統(tǒng)的冪pi≥1 為兩個奇整數(shù)之比的形式.該系統(tǒng)滿足如下假設(shè):

假設(shè) 1.系統(tǒng)(1)中函數(shù)gi(x)(i=1,2,···,n)的函數(shù)符號已知,并且存在未知正常數(shù)b使得b≤|gi(x)|＜∞.不失一般性,假設(shè)gi(x)＞0.因此b≤gi(x)＜∞.

本文考慮系統(tǒng)的跟蹤控制,要求被跟蹤信號yd(t)滿足:

假設(shè) 2.被跟蹤的信號yd(t)及其k階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且有界,k=1,2,···,n.

1.2 預(yù)備知識

為了得到主要的結(jié)果,下面給出一些有用的引理與定義.

引理1[19].對于任意的實數(shù)ε＞0,下面不等式成立:

其中,常數(shù)s＞1,q＞1 并且滿足(s-1)(q-1)=1.

引理2[23].對于xi,i=1,···,n和實數(shù) 0＜? ＜1,有下面的不等式成立:

若 0＜?=?1/?2≤1,其中?1＞0和?2＞0 均為奇整數(shù),則

其中,x和y為任意實數(shù).

在本文中,采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (Radial basis function neural network,RBFNN)在線逼近未知非線性函數(shù)f(Z).即

其中,σi為基函數(shù)的中心,κi為高斯函數(shù)的寬度.我們知道,只要采用足夠多的節(jié)點數(shù)l,RBFNN 能夠逼近在緊集Ω?Rm上的任意連續(xù)函數(shù)f(Z)[24].即

其中,?*T為理想的常數(shù)權(quán)向量,定義為

δ(Z)是逼近誤差且滿足|δ|≤δ*,其中,δ*為有界正常數(shù).

引理3[25].對于任意的正整數(shù)r,n及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的基函數(shù)S(Z)=[s1(Z),···,sl(Z)]T,不等式 (7)成立.

其中,=[z1,···,zn]T和Zr=[z1,···,zr]T為輸入向量.

引理4 (Gronwall 不等式)[26].假 設(shè)x(t),F(t)和χ(t)≥0是定義在t∈[a,b] 上的連續(xù)實值函數(shù).如果不等式

成立,則有

定義1[15].考慮以下非線性系統(tǒng)

其中,x是狀態(tài)向量;h(x):Ω→Rn是一個在原點的開鄰域 Ω 上連續(xù)的函數(shù),并且滿足h(0)=0.如果當t ≥T(x0)時,對任意的初始條件x(0)=x0都有‖x‖≤?,其中? ＞0是一個常數(shù),0＜T(x0)＜∞表示該系統(tǒng)的停息時間.則系統(tǒng) (10)是實際有限時間穩(wěn)定的.

注1.本文的停息時間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān).

定義2.對于非線性系統(tǒng)(1),如果滿足:1)對于任意的初始狀態(tài),存在一個Lyapunov函數(shù)V＞0滿足≤-ζV+;2)不等式 (11)成立

則稱系統(tǒng) (1)滿足有界H∞性能指標.其中,ζ,Θˉ均為正實數(shù);e1(t)=y(t)-yd(t)表示系統(tǒng)跟蹤誤差,d(x0)是一個正數(shù),w(t)∈L2[0,T] 是非零外部擾動,γ為給定的干擾抑制系數(shù).

定義 3[15].如果光滑函數(shù)α(t)滿足:1)α(t)＞0;2)(t)≤0;3)limt→Tfα(t)=αTf;4)當t≥Tf時,α(t)=αTf,則稱其為有限時間性能函數(shù),其中,αTf和Tf為任意的正實數(shù).

在本文中,有限時間性能函數(shù)被選擇為

其中,α0≥1,αTf＞0和Tf＞0均為設(shè)計參數(shù).并且α(t)的初始值為α(0)=α0+αTf.易知,該有限時間性能函數(shù)(12)滿足定義3.其光滑性的證明見文獻[15].

這里借用文獻[14]中的思想定義誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)為

本文的控制目標為:針對p規(guī)范型非線性系統(tǒng) (1)設(shè)計一個自適應(yīng)神經(jīng)預(yù)設(shè)性能有限時間H∞跟蹤控制器,使得當|e1(0)|＜α(0)時,該控制器能夠保證系統(tǒng)的跟蹤誤差e1(t)=y(t)-yd(t)被約束在有限時間性能函數(shù)(-α(t),α(t))內(nèi),并能夠在任意給定的停息時間內(nèi)收斂到平衡點附近預(yù)先給定的鄰域內(nèi),且閉環(huán)系統(tǒng) (1)的所有信號是實際有限時間穩(wěn)定的;外部擾動對系統(tǒng)性能的影響能夠得到抑制.

為了簡化推導(dǎo)過程,本文將函數(shù)gi(x),fi(x),φi(x),wi(t)以及一些相關(guān)的函數(shù)簡寫為gi,fi,φi,wi.

2 主要結(jié)果

下面將根據(jù)控制目標對系統(tǒng) (1)設(shè)計一個自適應(yīng)神經(jīng)預(yù)設(shè)性能有限時間H∞跟蹤控制器.

首先,給出一系列坐標變換

第1步.選擇Lyapunov 函數(shù)為

其中,β1＞0 為設(shè)計參數(shù).考慮式 (13)和式 (14),對V1求導(dǎo),可得

因為函數(shù) Φ1中包含有未知連續(xù)函數(shù),所以這里使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其進行估計.根據(jù)式 (5),有

利用引理1 和引理3,有

λ1＞0為設(shè)計參數(shù).

將式 (21)代入式 (19)并整理,有

其中,h＞0 是一個設(shè)計參數(shù).則式 (22)能夠改寫為

為了使后面的推導(dǎo)更易于表達,將式(16)改寫為

第i(2≤i ≤n-1)步.選擇Lyapunov 函數(shù)為

βi＞0為設(shè)計參數(shù).

根據(jù)式 (14),式 (27),式 (28)及引理2,易有式 (29)～(34)成立.

因為式 (30)～(34)的證明過程是容易的,限于篇幅,此處省略.

根據(jù)引理2 與式 (14),有

因此,式 (31)～(34)能夠改寫為

下面分別對式 (40)中一些項進行處理.根據(jù)式 (36)及引理1,易得

類似地,根據(jù)式(37)～(39)及引理1,可得

將式 (41)～(45)代入式 (40)并整理,有

因為 Φi為未知連續(xù)函數(shù),所以利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其進行估計.類似于式 (20)和式 (21),利用引理1、引理3 和式 (5),有

λi＞0為設(shè)計參數(shù).

將式 (47)代入式 (46),有

第n步.選擇新的Lyapunov 函數(shù)為

其中,

βn＞0為設(shè)計參數(shù);ε ＞0 為實數(shù).

注 2.特別地,在Lyapunov 函數(shù)選擇中加入ε是為了確保Vn＞0恒成立,其目的是為了便于證明H∞性能指標.它只是一個輔助參數(shù),并不參與最終控制器的設(shè)計,因此其具體值并不需要知道.

類似于第i步,有

因為 Φn中包含未知項,根據(jù)引理1,可得

其中,λn＞0 為設(shè)計參數(shù).

將式 (55)代入式 (54)并整理,式 (54)能夠改寫為

由此可得最終的控制律u和自適應(yīng)律為

至此,本文的主要結(jié)果可給出如下:

定理1.對于滿足假設(shè)1 和假設(shè)2 的p規(guī)范型非線性系統(tǒng) (1),如果初始條件滿足|e1(0)|＜α(0),并且控制律和自適應(yīng)律按照式 (23),(48),(57)和式 (24),(49),(58)來選取,則系統(tǒng) (1)滿足:1)跟蹤誤差e1(t)能夠被預(yù)先給定的有限時間性能函數(shù)α(t)約束,且在一個預(yù)先給定的停息時間Tf內(nèi)收斂到平衡點的一個預(yù)先給定的鄰域內(nèi),并且該停息時間Tf與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān);2)所有信號是實際有限時間穩(wěn)定的;3)外部擾動對系統(tǒng)的影響能夠被H∞性能抑制.

證明.定理1 的證明過程分為以下3 個部分.

1)跟蹤誤差e1(t)滿足預(yù)設(shè)性能指標的證明

選擇系統(tǒng)總的Lyapunov 函數(shù)為

因為V1≥0,V2≥0,···,Vn-1≥0 并且Vn＞0,易知V ＞0恒成立.根據(jù)式 (26),式 (29)及式 (53),有

考慮式(61)和式(62)并選擇ζ=min{c/2,h},有

應(yīng)該指出,當|e1(0)|的值較大時,只需要增大設(shè)計參數(shù)α0而不需要改變αTf,即可滿足條件|e1(0)|＜α(0).

2)系統(tǒng)所有信號均為實際有限時間穩(wěn)定的證明

由于e1(t)能夠在有限時間內(nèi)收斂到給定的界中,易知等所有的系統(tǒng)信號是實際有限時間穩(wěn)定的.因此,這里詳細的證明過程省略.

3)系統(tǒng)(1)滿足H∞性能指標的證明

為了驗證該系統(tǒng)滿足H∞性能指標,定義一個輔助函數(shù)如下

根據(jù)式(62)和(65)式,不等式(66)成立.

因為V＞0 且Θ有界,因此必存在一個常數(shù)τ使得

對式(67)兩邊積分,可得

接下來,利用反證法驗證 F(t)＞0.假設(shè) F(t)≤0,則V(t)滿足

這與V ＞0矛盾.則F＞0成立.即

根據(jù)式(71),易有

注3.本文的設(shè)計方法能夠使得系統(tǒng)在有界穩(wěn)定的情況下滿足H∞性能指標.

3 仿真研究

本節(jié)給出兩個仿真例子驗證所提方法的有效性和優(yōu)越性.

例1.為了驗證本文控制方法的有效性,考慮文獻 [27]中的系統(tǒng).不同的是,在系統(tǒng)中加入了非嚴格反饋項f1(x)以及外部擾動項w1(t)和w2(t).系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述如下:

從圖1 和圖2 可知,即使被控系統(tǒng)初始狀態(tài)不同并且存在外部擾動,系統(tǒng)的跟蹤誤差e1(t)仍能被有限時間性能函數(shù)α(t)約束,并在給定的停息時間 0.6 s 內(nèi)收斂到給定的區(qū)間 (-0.01,0.01);且系統(tǒng)輸出y(t)能夠在給定時間內(nèi)跟蹤上信號yd(t),驗證了本文控制方法的有效性.

圖1 跟蹤誤差e1Fig.1 Tracking errore1

圖2 系統(tǒng)輸出y跟蹤效果Fig.2 Tracking effects of the system outputy

例2.為了驗證本文控制方法的實用性和優(yōu)越性,采用文獻 [22]中的機械臂系統(tǒng).不同的是,一個較大的外部擾動w1(t)被加入到該系統(tǒng)中.這里將本文控制方法與文獻 [22]的方法進行對比研究.系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述如下:

其中,J=3.287,r=2.3126,g=9.8,D=18.6918,F=24.25;w1(t)=5e-0.5tcos(5πt)和w2(t)=0.5e-0.5t×sin(4πt)為系統(tǒng)外部擾動.這些參數(shù)的具體物理意義見文獻 [28].為了能夠與文獻 [22]的方法進行比較,這里考慮鎮(zhèn)定問題,即e1=x1.選擇設(shè)計參數(shù)k=1;λ1=λ2=1;α0=0.8;αTf=0.03;=1.2;h=1;β1=β2=1;Tf=0.5;自適應(yīng)參數(shù)的初始值=0.5;初始狀態(tài)選擇為x(0)=[0.4,0.8]T;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的選擇與系統(tǒng)S1相似.根據(jù)定理1 及文獻 [22]分別得到兩種方法對應(yīng)的控制器進行仿真.當沒有外部擾動時,仿真結(jié)果如圖3～5所示.圖3 給出了兩種不同控制方法所得到的狀態(tài)x1曲線;圖4 給出本文控制輸入u曲線,圖5 為文獻 [22]的控制輸入u曲線.類似地,當外部擾動存在時,保持兩種方法的控制器不變,仿真結(jié)果如圖6～8 所示.從圖3～5 可知,比起文獻 [22],本文控制方法收斂速度更快,并且控制器的抖震現(xiàn)象較輕.因此,本文控制方法更實用.根據(jù)圖6～8 可知,即使系統(tǒng)存在較大的外部擾動,本文方法仍能使被控系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能,而文獻[22]的控制方法則受到了很大的影響.但是應(yīng)該說明的是,本文方法使被控系統(tǒng)具有更快收斂速度的同時,會需要較大的控制輸入信號.

圖3 無外部擾動時狀態(tài)x1Fig.3 Statex1 without external disturbance

圖4 無外部擾動時本文的控制輸入uFig.4 Control inputuof this paper without external disturbance

圖5 無外部擾動時文獻 [22]的控制輸入uFig.5 Control inputuof [22] without external disturbance

圖6 存在外部擾動時狀態(tài)x1Fig.6 Statex1 with external disturbance

為了驗證本文控制方法在高頻變化的擾動下仍能保證較好的控制性能,這里將擾動w1(t)改為信噪比為10.8306 dB的高斯白噪聲信號.仍考慮鎮(zhèn)定問題.設(shè)計參數(shù)與初始條件等均不變.對應(yīng)的仿真結(jié)果如圖9 和圖10.圖9 為狀態(tài)x1曲線;圖10 為外部擾動w1(t)曲線.從圖9 可知,即使對于高頻變化的外部擾動,本文控制方法仍有較好的控制性能.

圖7 存在外部擾動時本文的控制輸入uFig.7 Control inputuof this paper with external disturbance

圖8 存在外部擾動時文獻 [22]的控制輸入uFig.8 Control inputuof [22] with external disturbance

圖9 白噪聲擾動下的狀態(tài)x1Fig.9 Statex1 with white noise disturbance

圖10 外部擾動w1(t)Fig.10 External disturbancew1(t)

4 結(jié)論

本文主要研究了一類帶有外部擾動的非嚴格反饋p規(guī)范型非線性系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能有限時間H∞跟蹤控制問題.針對一類p規(guī)范型非線性系統(tǒng)提出了一種新的預(yù)設(shè)性能控制設(shè)計方法.并在此方法的基礎(chǔ)上,結(jié)合加冪積分技術(shù)、H∞控制方法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)技術(shù),設(shè)計了自適應(yīng)神經(jīng)預(yù)設(shè)性能有限時間H∞跟蹤控制器.該方法避免了預(yù)設(shè)性能的共性問題.所設(shè)計的控制器能夠保證系統(tǒng)的跟蹤誤差被約束在有限時間性能函數(shù) (-α(t),α(t))內(nèi).并能夠在預(yù)先給定的停息時間內(nèi)收斂到平衡點的一個預(yù)先給定的鄰域內(nèi),且該停息時間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān).同時,外部擾動對系統(tǒng)的影響能夠被抑制.