方海濤，李明齊，卞 鑫

（1.中國科學(xué)院上海高等研究院，上海 201210；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

0 概述

隨著5G 移動通信、毫米波、MIMO 技術(shù)的發(fā)展，人們對于信號高效率傳輸?shù)男枨笕找嬖黾?，且無線移動通信的應(yīng)用場景越來越復(fù)雜，因此，如何在信號準(zhǔn)確傳輸?shù)耐瑫r更加高效地利用有限的頻譜資源成為近年來的研究熱點(diǎn)。正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）因?yàn)槠漕l譜利用率高、抗頻率選擇性衰落能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，成為當(dāng)前以及未來移動通信的關(guān)鍵技術(shù)之一。在OFDM系統(tǒng)中，信號的傳輸過程受到無線信道環(huán)境衰落和延時等影響，導(dǎo)致產(chǎn)生符號間干擾（Inter Symbol Interference，ISI）。為了有效降低ISI 并提高信號傳輸?shù)臏?zhǔn)確率，需要對信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI）進(jìn)行估計(jì)。

學(xué)者們對OFDM 系統(tǒng)的信道估計(jì)進(jìn)行了大量研究。傳統(tǒng)的信道估計(jì)方法主要基于導(dǎo)頻序列進(jìn)行估計(jì)，過程中需要利用大量導(dǎo)頻，導(dǎo)致系統(tǒng)的頻譜利用率較低［1］。壓縮感知（Compressed Sensing，CS）理論［2］通過信號的稀疏特性，可以利用較少的觀測特征來有效地恢復(fù)出初始信號。同時，由于無線信道具有稀疏性［3］，將其與壓縮感知理論相結(jié)合，可以在導(dǎo)頻信息較少的條件下提高頻譜利用率。

信號重構(gòu)是壓縮感知理論的重要部分，其能夠?qū)⑿盘柕牡途S特征恢復(fù)到高維［4-5］。文獻(xiàn)［6］提出的凸優(yōu)化重構(gòu)算法將信號重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，所需采樣值較少，但是存在復(fù)雜度高、難以在實(shí)際中進(jìn)行應(yīng)用的問題。文獻(xiàn)［7］提出的組合重構(gòu)算法將信號采樣進(jìn)行快速重構(gòu)，但是其存在實(shí)際系統(tǒng)受限和重構(gòu)精確度低的問題。在實(shí)際應(yīng)用中，貪婪迭代類算法得到廣泛應(yīng)用，該類算法相較于文獻(xiàn)［6-7］算法計(jì)算復(fù)雜度較低，且結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)。根據(jù)不同的信號稀疏度條件，貪婪迭代類算法可分為基于信號稀疏度預(yù)知情況和基于信號稀疏度未知情況兩種：基于預(yù)知信號稀疏度的重構(gòu)算法較為常見，如正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法［8］、壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP）算 法［9］、子空間追蹤（Subspace Pursuit，SP）算法［10］等；基于未知信號稀疏度的重構(gòu)算法的典型代表是稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤（Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP）算法［11］。

目前，已有很多研究人員［12-14］對基于上述算法的信道估計(jì)應(yīng)用進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)［15］通過分級方式逐步增加重構(gòu)原子的個數(shù)，并通過回歸追蹤對原子進(jìn)行篩選，但其仍需要信道的稀疏度先驗(yàn)信息，且對于分級步長要求較高。文獻(xiàn)［16-17］提出利用冪函數(shù)控制SAMP 算法迭代步長的自適應(yīng)稀疏信道估計(jì)方法WSStAMP，但該方法在低信噪比時受噪聲影響較大，估計(jì)精度較低。

上述算法在信道估計(jì)中存在尋徑估計(jì)過度或估計(jì)錯誤的問題。同時，考慮到實(shí)際通信模型主要基于均勻?qū)ьl（如3GPP、5G 廣播等），現(xiàn)有壓縮感知信道估計(jì)研究主要是基于非均勻?qū)ьl，因此，對壓縮感知信道估計(jì)進(jìn)行改進(jìn)，使其適用于基于均勻?qū)ьl的實(shí)際通信環(huán)境具有重要意義。本文提出一種基于離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）尋徑的OMP 信道估計(jì)方法。利用DFT 尋徑來抑制由噪聲導(dǎo)致的不理想原子，以對OMP 算法重構(gòu)過程中的原子進(jìn)行篩選，解決傳統(tǒng)重構(gòu)算法在信道估計(jì)中存在的選徑多估和錯估問題。在此基礎(chǔ)上，引入一種殘差變化控制方法對信道稀疏度進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)。

1 系統(tǒng)模型

1.1 壓縮感知

根據(jù)CS 理論可知，若信號本身具有稀疏性或在某個變換基下具有稀疏性，以少量的觀測值就能有效恢復(fù)原始信號［1］。

設(shè)信號x是N維的離散時間信號，該信號通過一個N×N變換基矩陣和一個稀疏向量相乘獲得，則信號x可表示為：

其中：s為加權(quán)系數(shù)向量；ΨN×N為變換基矩陣。若向量s中非0 元素個數(shù)為K，且滿足K?N，則稱信號x在Ψ域內(nèi)是稀疏的，稀疏度為K。

為了實(shí)現(xiàn)信號降維，即將N維信號減少到M維（M小于N），需要一個M×N的測量矩陣對原信號進(jìn)行降維操作，從而獲得包含信號x大部分信息的測量向量y：

其中：Φ為M×N維的測量矩陣。因?yàn)樾盘杧在Ψ域內(nèi)是稀疏的，所以測量矩陣Φ和變換基矩陣Ψ相乘可以得到M×N維矩陣Θ，其稱為恢復(fù)矩陣。因?yàn)樾枰鶕?jù)已知的測量值和恢復(fù)矩陣信息恢復(fù)原信號，所以恢復(fù)矩陣需要滿足等距約束性（Restricted Isometry Property，RIP），如下：

矩陣Φ滿足K 階RIP 特性，即可從s中恢復(fù)原信號。其中表示L2 范數(shù)。為對式（1）進(jìn)行求解，研究人員提出了多種信號重構(gòu)算法［18-20］。

1.2 OFDM 稀疏信道模型

假設(shè)OFDM 系統(tǒng)的子載波數(shù)目為N。在發(fā)送端，輸入的比特流經(jīng)過編碼、調(diào)制、子載波映射、導(dǎo)頻插入等操作后得到頻域發(fā)送信號X(k)，k=0，1，…，N-1。令導(dǎo)頻個數(shù)為P，信道長度為L，則接收信號可表示為：

其中：X表示主對角線為X(k)（k=0，1，…，N-1）的對角矩陣；y=[y(0)，y(1)，···，y(N-1)]T為接收信號；H=[H(0)，H(1)，···，H(N-1)]T為信道頻域響應(yīng)采樣；n為復(fù)加性高斯白噪聲；W為N×N維傅里葉變換矩陣的前L列。W表示如下：

其中：XP為從N個子載波位置中選擇出的P個導(dǎo)頻位置，令S為N維單位矩陣中選擇出的與導(dǎo)頻位置對應(yīng)的P行，則XP=SXST，WP=SW。從yP、XP、WP中估計(jì)h為稀疏信號重構(gòu)問題，同時，在小間隔均勻?qū)ьl條件下恢復(fù)矩陣滿足等距約束性，不同導(dǎo)頻間隔下測量矩陣的相關(guān)性如圖1 所示。

圖1 不同導(dǎo)頻間隔下測量矩陣的相關(guān)性Fig.1 Correlation of measurement matrix under different pilot intervals

2 基于DFT 尋徑的壓縮感知信道估計(jì)

2.1 傳統(tǒng)DFT 信道估計(jì)算法

傳統(tǒng)的DFT 信道估計(jì)算法主要是基于LS 信道估計(jì)、時頻域變換、降噪處理等信號處理過程來提高信道估計(jì)的性能。傳統(tǒng)的DFT 信道估計(jì)算法步驟如下：

步驟1通過LS 估計(jì)得到導(dǎo)頻位置的CFR：

其中：Yp(k)表示第p個子載波上的接收導(dǎo)頻信號；Xp(k)表示第p個子載波上的發(fā)送導(dǎo)頻信號；Wp(k)表示第p個子載波上的頻域噪聲信號。

步驟2對LS 估計(jì)得到的導(dǎo)頻CFR 進(jìn)行N 點(diǎn)IDFT 變換到時域，得到時域CIR：

由于CIR 的長度小于CP 的長度，因此對CIR 僅保留前循環(huán)前綴長度的采樣點(diǎn)，將其余部分視為噪聲并置零，最后將其補(bǔ)零至N 點(diǎn)，即：

其中：NCP表示CP 的長度；N表示子載波總數(shù)。

步驟3利用時域補(bǔ)零等效于頻域內(nèi)插信號處理的原理，獲得全部N個子載波的CFR：

2.2 基于閾值降噪的DFT 信道尋徑算法

傳統(tǒng)的信道估計(jì)算法將循環(huán)前綴長度以外的噪聲置零，從而消除噪聲。但是，由于循環(huán)前綴內(nèi)仍然含有噪聲，因此基于DFT 的信道估計(jì)算法的性能仍有待提升。本文提出一種基于閾值降噪的DFT信道尋徑算法，以處理循環(huán)前綴內(nèi)的噪聲。算法流程如圖2 所示。

圖2 基于閾值降噪的DFT 尋徑算法流程Fig.2 Procedure of DFT path searching algorithm based on threshold noise reduction

基于閾值降噪的DFT 信道尋徑算法步驟為：首先，對LS 估計(jì)得到的信道頻域響應(yīng)通過傅里葉反變換為時域響應(yīng)；然后，提取循環(huán)前綴以外的樣本能量均值以及循環(huán)前綴以內(nèi)的樣本能量均值，通過自定義加權(quán)系數(shù)來獲得最終的閾值；最后，對于循環(huán)前綴以內(nèi)的樣本，將大于閾值的樣本保留，小于閾值的樣本置零，同時令循環(huán)前綴以外的樣本置零。

DFT 信道尋徑算法閾值的計(jì)算方法如下：

1）對循環(huán)前綴以外的噪聲求均值：

2）求得循環(huán)前綴以內(nèi)的樣本能量的均值：

3）通過加權(quán)系數(shù)a來確定閾值的取值：

對由LS 估計(jì)得到的CIR，有：

2.3 基于DFT 尋徑的OMP 信道估計(jì)

基于DFT 尋徑的OMP（DFT-OMP）信道估計(jì)算法的原理為：將基于閾值降噪的DFT 信道尋徑算法作為先驗(yàn)，對傳統(tǒng)OMP 重構(gòu)算法的處理流程進(jìn)行優(yōu)化，將信道沖擊響應(yīng)中的非零徑區(qū)域作為OMP 重構(gòu)算法中的原子預(yù)選并進(jìn)行優(yōu)化，從而提高重構(gòu)性能。算法流程如圖3 所示，其中，虛線箭頭為沒有交集情況下的流程。

圖3 DFT-OMP 算法流程Fig.3 Procedure of DFT-OMP algorithm

DFT-OMP 信道估計(jì)算法步驟如下：

輸入信號y，恢復(fù)矩陣T，迭代次數(shù)m，信道徑預(yù)選集P

輸出信號估計(jì)值

初始化殘差矢量rn=y，增量矩陣A，時延矢量τtap，估計(jì)信道h∧，迭代變量t

步驟1更新迭代變量t=t+1，計(jì)算恢復(fù)矩陣的列向量和殘差的投影系數(shù)內(nèi)積值，p=|THrn|。

步驟2在信道徑預(yù)選集合P中選擇最大投影位置Ppos=max{p}，并將對應(yīng)位置的恢復(fù)矩陣列放入增量矩陣中，A=[A T(：，Ppos)]，并對恢復(fù)矩陣已投影矢量置零。

步驟3最小二乘估計(jì)。

步驟4更新殘差矢量，更新延遲矢量τtap=[τtapPpos]。

步驟5若迭代變量t小于預(yù)設(shè)迭代次數(shù)，或者殘差變化大于設(shè)定精度ε，則返回步驟2；否則，退出迭代。

殘差變化精度ε的計(jì)算公式如下：

其中：rn-1和rn分別表示上一次的殘差與更新殘差。為了更好地控制殘差變化精度，ε的取值范圍為0.01≤ε≤0.1。

傳統(tǒng)OMP 算法在原子預(yù)選階段選取內(nèi)積最大的原子作為重構(gòu)原子，如果在預(yù)選過程中出現(xiàn)錯誤原子，則會降低算法的重構(gòu)精度，影響重構(gòu)效率。為了提高重構(gòu)精度，本文所提算法在原子預(yù)選后，通過引入由基于閾值降噪的DFT 信道尋徑得到的信道預(yù)選先驗(yàn)集來控制原子選擇范圍，可保證在一定先驗(yàn)條件下，所選擇原子與重構(gòu)原子具有較大的相關(guān)性，即預(yù)選原子更適用于重構(gòu)。同時，通過比較上一個殘差和當(dāng)前殘差的幅值變化程度來控制重構(gòu)估計(jì)的信道路徑個數(shù)，從而提高信道估計(jì)的精度。

3 仿真結(jié)果與分析

本文利用MATLAB 軟件對算法進(jìn)行仿真及性能評估，實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置如表1 所示。

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置Table 1 Experimental parameters setting

本文利用均方誤差（Mean Square Error，MSE）驗(yàn)證DFT-OMP算法的信道估計(jì)效果。均方誤差定義如下：

3.1 均方誤差性能比較

在導(dǎo)頻間隔為10 時，DFT 算 法、OMP 算 法、SAMP 算法、WSStAMP［18］算法、本文DFT-OMP 算法的信道估計(jì)均方誤差結(jié)果如圖4 所示，為保持一致性，OMP 算法和DFT-OMP 算法的迭代次數(shù)均為8。從圖4 可以看出：在相同信噪比條件下，DFT-OMP 算法的MSE 性能均優(yōu)于對比算法；WSStAMP 算法在SAMP 算法的基礎(chǔ)上調(diào)整迭代時步長的收斂，具有更好的估計(jì)性能，但是WSStAMP 算法在低信噪比下易受噪聲影響，DFT-OMP 算法相較于WSStAMP算法約有0.5 dB 的性能增益。

圖4 不同算法的MSE 性能比較Fig.4 Comparison of MSE performance of different algorithms

3.2 導(dǎo)頻個數(shù)對算法性能的影響

圖5 所示為DFT-OMP 算法與傳統(tǒng)OMP 算法的均方誤差性能對比。從圖5 可以看出：在相同導(dǎo)頻條件下，DFT-OMP 算法的MSE 性能明顯優(yōu)于OMP算法；在不同導(dǎo)頻間隔下，隨著導(dǎo)頻間隔P的增大，算法的估計(jì)性能逐漸降低，當(dāng)導(dǎo)頻間隔為12 時，DFT-OMP 算法在低信噪比時有更好的估計(jì)性能，相對OMP 約有4 dB 的性能增益，高信噪比時MSE 變化平緩，總體上仍優(yōu)于OMP 算法，這是由于DFTOMP 算法通過DFT 尋徑對原子進(jìn)行預(yù)選，在重構(gòu)時減少噪聲對重構(gòu)原子選取的影響，同時利用殘差變化對OMP 算法的迭代次數(shù)進(jìn)行控制，保證算法迭代具有自適應(yīng)性和魯棒性。

圖5 不同導(dǎo)頻間隔下的MSE 性能比較Fig.5 Comparison of MSE performance under different pilot intervals

3.3 迭代次數(shù)對算法性能的影響

在實(shí)際應(yīng)用中，過多的迭代會帶來信道估計(jì)的冗余，從而影響信道估計(jì)性能。圖6 所示為DFTOMP 算法與OMP 算法在不同迭代次數(shù)下的性能對比。從圖6 可以看出：OMP 算法依賴于信號稀疏度的先驗(yàn)信息，隨著迭代次數(shù)的增加，算法估計(jì)性能降低；隨著迭代次數(shù)的增加，DFT-OMP 算法的估計(jì)性能明顯優(yōu)于OMP 算法，原因是DFT-OMP 信道估計(jì)算法引入殘差變化控制，避免引入無關(guān)重構(gòu)原子，保證在較大的迭代次數(shù)下也能較好地進(jìn)行信道估計(jì)；DFT-OMP 算法在較高信噪比時逼近理想徑（已知徑位置）下的信道估計(jì)性能。

圖6 不同迭代次數(shù)下的MSE 性能比較Fig.6 Comparison of MSE performance under different iterations

3.4 閾值對算法性能的影響

在SNR 為28 dB 時，不同閾值下DFT-OMP 算法的MSE 性能如圖7 所示。從圖7 可以看出：閾值選取對算法性能有一定影響，且在不同導(dǎo)頻間隔下，性能變化基本保持一致；當(dāng)閾值選取較大時，去除的原子中可能存在重構(gòu)所需的原子，從而導(dǎo)致估計(jì)性能下降；當(dāng)閾值較小時（α<0.2），噪聲原子可能影響重構(gòu)原子的選取，從而影響估計(jì)性能；當(dāng)閾值設(shè)置為0.2 時算法能取得較好的估計(jì)性能。

圖7 不同閾值下的MSE 性能比較Fig.7 Comparison of MSE performance under different thresholds

表2 所示為4 種算法在不同導(dǎo)頻間隔下的運(yùn)算時間比較，仿真硬件參數(shù)為Intel i7-4710HQ，CPU 為2.50 GHz，RAM 為4.00 GB，Microsoft Windows 10 操作系統(tǒng)。從表2 可以看出：DFT-OMP 算法在計(jì)算復(fù)雜度上較OMP 算法有少量提升；SAMP 算法相較于OMP 算法復(fù)雜度明顯提高；WSStAMP 算法通過冪函數(shù)來選取步長，降低了SAMP 算法的復(fù)雜度，但仍高于DFT-OMP 算法。結(jié)合圖4～圖6 以及表2 可以看出，DFT-OMP 算法在犧牲少量運(yùn)算時間的條件下可以有效提高信道估計(jì)性能。

表2 4 種算法在不同導(dǎo)頻間隔下的運(yùn)算時間比較Table 2 Comparison of operation time of four algorithms under different pilot intervals s

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)均勻?qū)ьl條件下壓縮感知信道估計(jì)精度較低的問題，本文提出一種在均勻?qū)ьl下基于DFT 尋徑的OMP 信道估計(jì)算法。在傳統(tǒng)OMP 算法的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一種尋徑先驗(yàn)方法，以對算法中的原子進(jìn)行預(yù)選，通過基于閾值DFT 尋徑的方式來抑制由噪聲導(dǎo)致的不理想原子，從而實(shí)現(xiàn)原子優(yōu)化。同時，引入控制殘差變化精度的方法約束算法迭代，在提高信道估計(jì)性能的同時提升算法的自適應(yīng)性與魯棒性。仿真結(jié)果表明，相較OMP 算法，該算法在較大均勻?qū)ьl的條件下具有更好的估計(jì)性能和更低的算法復(fù)雜度。后續(xù)將運(yùn)用該算法解決實(shí)際通信系統(tǒng)中由虛擬子載波引起的頻譜泄露問題，進(jìn)一步提升算法的估計(jì)性能。