■常靜鋒

筆者最近參加了靖江市初中數(shù)學(xué)青年教師教學(xué)基本功大賽。在筆試環(huán)節(jié)，有這樣一道幾何證明題：請(qǐng)用直接證明的方法求證對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形。即：

已知：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓。

圖1

筆者由于經(jīng)常參加所在市初中數(shù)學(xué)試卷的調(diào)研、命題，所以，對(duì)于初中數(shù)學(xué)解題，還是比較自信的。看到這樣的問題，筆者首先想到了反證法。

如圖2，過A、B、C三點(diǎn)作⊙O，假設(shè)點(diǎn)D不在⊙O上，則點(diǎn)D可能在⊙O內(nèi)或在⊙O外。

圖2

假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，連接并延長(zhǎng)BD必與⊙O相交。設(shè)交點(diǎn)為D′，連接AD′、BD′，則必有∠AD′C+ ∠ABC=180°，因?yàn)椤螦D′B＜∠ADB，∠CD′B＜∠CDB，所以∠AD′C＜∠ADC，所以∠ADC+∠ABC＞180°，這與“∠A+∠C=180°”矛盾，說明點(diǎn)D不可能在⊙O內(nèi)。同樣可證明點(diǎn)D不可能在⊙O外，故點(diǎn)D只能在⊙O上，即四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓。

我們知道，一個(gè)命題的逆否命題與原命題等價(jià)，而反證法的本質(zhì)就是證明原命題的逆否命題。通常在直接證明比較困難的情況下，用反證法更容易。這道題也可用直接證明的方法，但是，參加比賽的教師中居然沒有一位教師能夠直接證明出來?？荚嚱Y(jié)束后，數(shù)學(xué)教研員給我們進(jìn)行了講解：

由于∠A+∠C=180°，而四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，所以∠A+∠C=∠B+∠D。

（1）若∠A=∠B，則∠C=∠D，有四邊形ABCD是等腰梯形，且AB//CD（如圖3）。作AB的垂直平分線l1，l1必然垂直平分CD，作AD的垂直平分線l2，l2交直線l1于點(diǎn)O，連接AO、BO、CO、DO，則有AO=BO=CO=DO，所以四邊形ABCD一定有外接圓。

圖3

（2）若∠A≠∠B，不妨設(shè)∠A＞∠B，由∠A+∠C=∠B+∠D，有∠A-∠D=∠B-∠C。

如圖4，分別在∠A、∠B內(nèi)作射線AG、BG，使得∠1=∠D、∠2=∠C，兩條射線相交于點(diǎn)G，且分別與CD相交于點(diǎn)E、點(diǎn)F。

圖4

如果點(diǎn)G恰好在CD邊上（即E、F、G三點(diǎn)重合），則有GA=GB=GC=GD，那么四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓。

如果點(diǎn)G不在CD邊上，分別作AD、BC的垂直平分線l3、l4相交于點(diǎn)O，所以O(shè)A=OD，OB=OC。

因?yàn)椤?=∠D、∠2=∠C，所以EA=ED、FB=FC，故OE平分∠GEF，OF平分∠EFG，所以在△EFG中，點(diǎn)O必在∠G的角平分線上。

而∠A-∠D=∠B-∠C，即∠3=∠4，所以AG=BG，所以直線GO垂直平分AB，即OA=OB，所以O(shè)A=OB=OC=OD。故以O(shè)點(diǎn)為圓心、OA長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)，即四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓。

筆者驚嘆道：“原來這道題還可以這樣證明?。　憋@然，直接證明的方法仍然基于初中幾何知識(shí)。筆者在享受這道題直接證明方法的同時(shí)，也產(chǎn)生了一種深深的自責(zé)，不禁想起裴光亞先生在《青年教師的專業(yè)成長(zhǎng)》中的一段話：“不論你具備什么樣的學(xué)歷，畢業(yè)于哪個(gè)院校，如果沒有進(jìn)取的愿望，沒有人生意義的追求，沒有理想，沒有對(duì)教師使命的崇高理解，你的水平都將向同一個(gè)層次聚焦，這個(gè)層次便是中學(xué)。沿著阻力最小的方向，這是一個(gè)極限的過程。若以中學(xué)水平為極限，當(dāng)你以高學(xué)歷為起點(diǎn)時(shí),這將是一個(gè)單調(diào)下降的過程。”這段文字好像就是筆者的自畫像。

筆者反思自己的教學(xué)生涯，無非就是備課、上課、批改作業(yè)、輔導(dǎo)學(xué)生應(yīng)試，有時(shí)還會(huì)為自己擅長(zhǎng)解中考題，教的學(xué)生考高分而沾沾自喜。殊不知，長(zhǎng)期下去，自己的專業(yè)水平逐漸下降，學(xué)科素養(yǎng)明顯削弱。通過一段時(shí)間的閱讀、實(shí)踐與反思，筆者體會(huì)到，要想成為一名優(yōu)秀的初中數(shù)學(xué)教師，既要腳踏實(shí)地，也要仰望星空；既要有大知識(shí)觀、數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，還要有素質(zhì)教育觀。

數(shù)學(xué)教師要有大知識(shí)觀。例如，在平面幾何中，有許多教材中沒有出現(xiàn)的經(jīng)典定理或結(jié)論，如托勒密定理、梅涅勞斯定理、笛沙格定理、塞瓦定理等，這些定理在教學(xué)中不要求學(xué)生了解，但作為初中數(shù)學(xué)教師，必須了然于心。只有這樣，教學(xué)時(shí)才能胸有成竹。

數(shù)學(xué)教師要有數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。我們都有這樣的體會(huì)：學(xué)生學(xué)習(xí)了高中、大學(xué)內(nèi)容后，總感覺初中教師是不是講錯(cuò)了？以“平行線的定義”為例，初中教材上是這樣描述的：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線。這是基于歐氏幾何的結(jié)論。事實(shí)上，非歐幾何認(rèn)為：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)（交點(diǎn)）。這是由“改進(jìn)”的球面模型得出的基本公設(shè)。我們可以設(shè)想：教師如果有數(shù)學(xué)的高觀點(diǎn)，上課就不會(huì)對(duì)學(xué)生說出“過頭”的話，學(xué)生也不會(huì)認(rèn)為初中教師講錯(cuò)了。數(shù)學(xué)教師不能只研究教材，研究學(xué)生，研究教法，還應(yīng)該多閱讀，與名家對(duì)話，與大師對(duì)話。如了解數(shù)學(xué)的起源在哪里，數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的，數(shù)學(xué)的對(duì)立與統(tǒng)一等。數(shù)學(xué)教師只有通過閱讀，才能感悟數(shù)學(xué)的哲學(xué)意蘊(yùn)，使自己有數(shù)學(xué)哲學(xué)的高觀點(diǎn)。

數(shù)學(xué)教師要有素質(zhì)教育觀。教育不只在于傳授知識(shí)，還應(yīng)該熏陶學(xué)生的精神和情感。比如，本文中的第一個(gè)案例，因?yàn)橹锌荚囶}中不會(huì)出現(xiàn)，所以教學(xué)中不可能涉及。但教師如果課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，作出完整的證明，學(xué)生自然能從中感受到數(shù)學(xué)的奇妙，從而激發(fā)幾何探究的興趣，數(shù)學(xué)的理性精神也會(huì)得到熏陶