田 鑫，王琛琛，周明磊，王 劍

（北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，北京 100044）

0 引言

數(shù)字控制系統(tǒng)是一個(gè)內(nèi)部既含有連續(xù)時(shí)間信號(hào)又含有離散時(shí)間信號(hào)的混合系統(tǒng)，系統(tǒng)中的連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)分別通過(guò)采樣器與保持器進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換。如果系統(tǒng)中所有采樣器、保持器都以相同的周期同時(shí)動(dòng)作，則稱(chēng)這樣的系統(tǒng)為單采樣率系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為單率系統(tǒng)。如果系統(tǒng)中含有兩個(gè)及以上有著不同工作周期的采樣器與保持器，稱(chēng)這樣的系統(tǒng)為多采樣率控制系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為多率系統(tǒng)[1]。

隨著數(shù)字控制技術(shù)的發(fā)展，多采樣率控制已被廣泛應(yīng)用于自動(dòng)化制造、信號(hào)處理、航天航空以及機(jī)器人控制等領(lǐng)域。對(duì)于多采樣率控制的研究也已經(jīng)持續(xù)多年，并且產(chǎn)生了一系列成果：Kranc[2]提出了開(kāi)關(guān)分解法，在頻域獲得了多采樣率系統(tǒng)的等效脈沖傳遞函數(shù)模型；Jury等[3]證明了對(duì)于周期時(shí)變的離散時(shí)間系統(tǒng)，如果從那些等于其周期整數(shù)倍的采樣時(shí)刻來(lái)看，是時(shí)不變的；Kalman等[4]采用狀態(tài)空間方法描述了多采樣率系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上經(jīng)Araki等[5]、Godbout等[6]的逐漸發(fā)展，利用 “提升”技術(shù)獲得多率系統(tǒng)的等效單采樣率狀態(tài)空間模型漸漸成為對(duì)多率系統(tǒng)的主要分析方法。

在大功率的牽引傳動(dòng)控制系統(tǒng)中，為了提升電流環(huán)的動(dòng)態(tài)性能，已有文獻(xiàn)結(jié)合多采樣率控制提出了一些高性能的控制算法[7-10]。然而，大多數(shù)文獻(xiàn)只是將單采樣率控制下的控制算法拓展到多采樣率下，對(duì)多采樣率控制下系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、特性等理論分析不足，多采樣率控制下電流環(huán)的設(shè)計(jì)存在較大挑戰(zhàn)。

本文對(duì)多采樣率牽引傳動(dòng)控制系統(tǒng)中的電流環(huán)進(jìn)行了分析。首先介紹了多采樣率控制下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，然后運(yùn)用 “提升（Lifting）”技術(shù)分別獲得了理想情況下多采樣率控制下負(fù)載與電流調(diào)節(jié)器的狀態(tài)空間模型，進(jìn)而建立了系統(tǒng)電流環(huán)的等效單采樣率閉環(huán)狀態(tài)空間模型。為了使理論模型更加準(zhǔn)確，分析了多采樣率下系統(tǒng)電流閉環(huán)中的延時(shí)以及延時(shí)的影響并完善了系統(tǒng)模型。最后，利用Matlab／Simulink仿真驗(yàn)證了本文所建立理論模型的正確性。

1 多采樣率系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.1 永磁同步電機(jī)連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程

在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，可以得到永磁同步電機(jī)的電壓方程

式（1）中，ud、 uq分別為定子 d軸、q軸的電壓，id、iq分別為定子d軸、q軸的電流，Rs為定子電阻，ωs為電角速度，Ls為電機(jī)的定子電感，ψf為永磁體磁鏈，ωsψf為永磁體反電勢(shì)。由于永磁體產(chǎn)生的反電勢(shì)ωsψf與定子電流無(wú)關(guān)，在磁鏈估計(jì)準(zhǔn)確時(shí)可以被完全補(bǔ)償，因此將式（1）中永磁體反電勢(shì)項(xiàng)ωsψf忽略，可以得到狀態(tài)方程

由式（2）可以獲得永磁同步電機(jī)的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型

1.2 電流環(huán)結(jié)構(gòu)

考慮到忽略永磁體反電勢(shì)項(xiàng)后的永磁同步電機(jī)狀態(tài)空間模型與三相對(duì)稱(chēng)阻感負(fù)載的狀態(tài)空間模型是相同的，因此本文所研究的多采樣率牽引控制系統(tǒng)中的電流環(huán)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 電流環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of current loop structure

圖2 系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of system

圖2中，r（t）為參考輸入， 在本系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)d軸、 q 軸指令電流； GPI（s）、 G（s）分別為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下PI控制器與負(fù)載的連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)。對(duì)于上述系統(tǒng)而言，從負(fù)載的角度分析，系統(tǒng)屬于輸出多采樣率系統(tǒng)，N為系統(tǒng)的輸出采樣重?cái)?shù)[10]。

2 多采樣率下電流環(huán)建模

對(duì)于一般的多采樣率數(shù)字控制系統(tǒng)，為了簡(jiǎn)化分析，常常使用兩個(gè)假設(shè)：一是假定系統(tǒng)中存在一個(gè)基本采樣周期T，系統(tǒng)中各采樣點(diǎn)的采樣周期都是T的整數(shù)倍；二是同時(shí)性假定，即假定系統(tǒng)中所有采樣開(kāi)關(guān)在同一起始時(shí)刻開(kāi)始采樣。在這兩個(gè)假設(shè)下，可以利用 “提升”技術(shù)得出系統(tǒng)的線(xiàn)性時(shí)不變模型[1]。為了獲得多采樣率下?tīng)恳齻鲃?dòng)系統(tǒng)的電流環(huán)模型，本節(jié)利用 “提升”技術(shù)先分別獲得負(fù)載與電流調(diào)節(jié)器的狀態(tài)空間模型，進(jìn)而推導(dǎo)出電流環(huán)的閉環(huán)模型。

2.1 多采樣率下負(fù)載狀態(tài)空間模型

對(duì)于多采樣率系統(tǒng)，定義系統(tǒng)中所有周期的最小公倍數(shù)T0為系統(tǒng)幀周期，以幀周期分析系統(tǒng)，系統(tǒng)可以看作是線(xiàn)性時(shí)不變的。在本文研究的系統(tǒng)中，易知系統(tǒng)幀周期T0=Ts，并且系統(tǒng)基本采樣周期為ΔT=T0／N。

對(duì)于連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程，可以使用零階保持器對(duì)其進(jìn)行離散化。結(jié)合式（3）所表示的負(fù)載連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型，以幀周期T0進(jìn)行離散化，可以得到單采樣率下系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

考慮多采樣率控制下負(fù)載的離散狀態(tài)空間模型，由于在一個(gè)幀周期內(nèi)負(fù)載的輸入電壓u保持不變，因此多采樣率下負(fù)載的狀態(tài)方程與式（4）中相同。但是對(duì)于負(fù)載的輸出方程而言，由于多采樣率控制，系統(tǒng)在一個(gè)幀周期內(nèi)進(jìn)行了N次等間隔采樣，獲得了更多時(shí)刻的電流采樣值。為了獲得此時(shí)的負(fù)載輸出方程，對(duì)于這N次采樣而言，根據(jù)線(xiàn)性系統(tǒng)理論，可以先得到如下所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

結(jié)合式（4）中負(fù)載的輸出方程與多采樣率下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程（式（5）），并消除中間采樣時(shí)刻的狀態(tài)，可以獲得多采樣率控制下的輸出方程，有

觀察式（6），等號(hào)左側(cè)為對(duì)負(fù)載輸出N次采樣的結(jié)果，等號(hào)右側(cè)為負(fù)載在kT0時(shí)刻的輸入u（kT0）與狀態(tài)x（kT0）的線(xiàn)性組合。此時(shí)利用 “提升”技術(shù)，定義擴(kuò)展輸出變量

則負(fù)載的輸出方程可以寫(xiě)為

綜上，負(fù)載在多采樣率控制下的狀態(tài)空間模型可以表示為

式（9）中，所有變量的采樣周期都是幀周期T0。換言之，通過(guò)這樣的方式獲得了負(fù)載的等效單采樣率狀態(tài)空間模型。

2.2 多采樣率下電流調(diào)節(jié)器狀態(tài)空間方程

在本系統(tǒng)中，電流調(diào)節(jié)器選擇PI控制器?？紤]到由于數(shù)字實(shí)現(xiàn)，實(shí)際電流調(diào)節(jié)器的輸出存在ΔT的采樣計(jì)算延時(shí)[7]，則在連續(xù)域下的PI控制器如圖3所示。

圖3 PI控制器Fig.3 Diagram of PI controller

圖3中， e（s）、 u（s）為 PI控制器輸入、 輸出的拉氏變換，Kp、Ki分別為控制器參數(shù)。為獲得在多采樣率下控制器的狀態(tài)空間模型，先將如圖3所示的PI控制器以基本采樣周期ΔT進(jìn)行離散化，可以獲得離散的狀態(tài)空間方程

2.3 系統(tǒng)閉環(huán)模型

結(jié)合式（9）、 式（15）， 可以獲得多采樣率控制下系統(tǒng)電流環(huán)的閉環(huán)模型

3 電流環(huán)延時(shí)分析

數(shù)字延時(shí)在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下可以分為角度延時(shí)與時(shí)間延時(shí)兩部分[11]。在前一節(jié)的推導(dǎo)中，本文只考慮到了數(shù)字延時(shí)的時(shí)間延時(shí)部分，而沒(méi)有考慮到角度延時(shí)的影響，這使得理論模型不夠準(zhǔn)確。在本節(jié)中，首先詳細(xì)分析了多采樣率下電流環(huán)中的延時(shí)環(huán)節(jié)，然后分析了角度延時(shí)對(duì)電流環(huán)的影響，進(jìn)而獲得準(zhǔn)確的多采樣率下的電流環(huán)模型。

3.1 電流環(huán)延時(shí)分析

在本文所應(yīng)用的多采樣率控制中，電流采樣模式如圖4所示。在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期Ts內(nèi)進(jìn)行多次采樣、計(jì)算，PWM環(huán)節(jié)每次更新占空比信號(hào)都采用最近的一次計(jì)算結(jié)果。

圖4 采樣模式示意圖Fig.4 Schematic diagram of sampling mode

在圖4所示的采樣模式下，電流環(huán)的采樣延時(shí)為

同時(shí)，PWM環(huán)節(jié)等效為零階保持器，PWM輸出延時(shí)為

因此在多采樣率控制下，系統(tǒng)電流環(huán)總延時(shí)為

3.2 延時(shí)影響分析

由前述可知，在多采樣率控制下系統(tǒng)電流環(huán)總延時(shí)為T(mén)d，本節(jié)考慮在延遲時(shí)間Td內(nèi)角度延時(shí)對(duì)實(shí)際輸出電壓的影響。根據(jù)復(fù)矢量理論，可以將靜止坐標(biāo)系下和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓矢量用復(fù)矢量的形式表示[12]，相應(yīng)的兩相旋轉(zhuǎn)與三相靜止坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換可以表示成（θe為電壓矢量角度）

假定在一個(gè)完整的開(kāi)關(guān)周期Ts內(nèi)同步旋轉(zhuǎn)速度ωs保持不變，在t0時(shí)刻電流調(diào)節(jié)器輸出電壓指令為此時(shí)的電壓矢量角度為 θe， 則有

圖5為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系示意圖，t0時(shí)刻的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系位置為圖5中的紅色線(xiàn)。由于采樣更新延時(shí)，經(jīng)過(guò)Ts／N長(zhǎng)的時(shí)間后，PWM占空比信號(hào)才更新，此時(shí)的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系位置為圖5中的藍(lán)色線(xiàn)。在接下來(lái)的一個(gè)開(kāi)關(guān)周期Ts內(nèi)，占空比信號(hào)轉(zhuǎn)換為實(shí)際電壓發(fā)出。則在[t0+Ts／N，t0+Ts／N+Ts]時(shí)間段內(nèi)，實(shí)際作用到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上的電壓矢量與電壓指令之間有如下關(guān)系

圖5 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系示意圖Fig.5 Schematic diagram of synchronous rotation coordinate system

實(shí)際作用電壓的平均值可以由下式求得[13]

考慮到上述分析，實(shí)際作用到負(fù)載d軸、q軸上的電壓與指令電壓滿(mǎn)足

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述建立的系統(tǒng)理論模型的正確性，利用Matlab／Simulink建立三相對(duì)稱(chēng)阻感負(fù)載電流環(huán)控制仿真。其中，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Setting of simulation parameters

0時(shí)刻給定d軸電流指令1A、q軸電流指令0A，給定輸出采樣重?cái)?shù)N=2。 比較仿真負(fù)載輸出電流與理論模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程，可以得到如圖6、圖7所示的仿真結(jié)果。

由圖6、圖7可知，理論波形與仿真波形基本吻合。圖6、圖7表明，本文所建立的多采樣率狀態(tài)空間模型是準(zhǔn)確的，能夠反映實(shí)際系統(tǒng)情況。

圖6 N=2時(shí)d軸的電流響應(yīng)圖Fig.6 Diagram of d-axis current response when N=2

圖7 N=2時(shí) q軸的電流響應(yīng)圖Fig.7 Diagram of q-axis current response when N=2

5 結(jié)論

針對(duì)多采樣率牽引傳動(dòng)控制中的電流環(huán)，本文詳細(xì)分析了多采樣率控制下電流環(huán)的結(jié)構(gòu)以及多采樣率下電流環(huán)數(shù)字延時(shí)與延時(shí)的影響，結(jié)合多采樣率 “提升”方法，建立了系統(tǒng)電流閉環(huán)的等效單采樣率狀態(tài)空間模型。最后，通過(guò)Matlab／Simulink仿真驗(yàn)證了本文所建立的數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。仿真結(jié)果表明，本文所建立的多采樣率控制電流環(huán)數(shù)學(xué)模型是分析多采樣率問(wèn)題的一種有效方法，為進(jìn)一步分析多采樣率系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。