張 浩，何漢輝，肖定邦，曾承志，吳學(xué)忠

（1.國防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；2.唐智科技湖南發(fā)展有限公司，長沙 410007）

0 引言

微機電系統(tǒng)（Micro Electro Mechanical Systems，MEMS）陀螺儀是一種角速度傳感器，具有體積小、質(zhì)量小、成本低、功耗低等優(yōu)點[1]。隨著智能無人系統(tǒng)、微型衛(wèi)星、制導(dǎo)彈藥等領(lǐng)域的發(fā)展，國防現(xiàn)代化的需要對高性能的微機電系統(tǒng)陀螺儀提出了迫切需求。目前，典型的高性能微機電系統(tǒng)陀螺儀按照結(jié)構(gòu)形式可分為四質(zhì)量塊式、環(huán)形及嵌套環(huán)式、微半球式等。其中，環(huán)形陀螺是平面全對稱結(jié)構(gòu)，加工魯棒性好，性能潛力較高，采用成熟的平面加工工藝，可批量化加工，制造成本更低，是目前最具潛力的微機電系統(tǒng)陀螺儀方案之一[2]。同時，環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀的性能受到了加工工藝、結(jié)構(gòu)設(shè)計等多種因素的限制。

提高微機電系統(tǒng)陀螺儀的性能，很重要的一點是要提高陀螺諧振子的品質(zhì)因數(shù)（Q值），Q值是衡量每個振蕩周期諧振器能量損失的指標。微機電系統(tǒng)陀螺儀中存在不同的能量損耗機制，包括熱彈性阻尼、空氣阻尼、支撐損耗和表面損耗等。對于真空封裝的硅基環(huán)形陀螺儀來說，熱彈性阻尼是其主要的損耗機制[3]。對微機械諧振器熱彈性阻尼的研究引起學(xué)者們的極大關(guān)注。Zener[4]最早建立了熱彈性阻尼的理論模型，考慮了梁的彎曲厚度方向的熱流動。Lifshitz等[5]對Zener模型進行了改進，采用了復(fù)雜的溫度場，并給出了矩形截面梁諧振器的熱彈性阻尼的具體表達式。Wong等[6]基于Zener模型提出了具有矩形截面的環(huán)形諧振結(jié)構(gòu)面內(nèi)彎曲模態(tài)的熱彈性阻尼解析解。

為了提高微機電系統(tǒng)陀螺儀的理論品質(zhì)因數(shù)，通常采用優(yōu)化諧振結(jié)構(gòu)幾何形狀以及尺寸的方法以減小熱彈性阻尼。Candler等[7]通過實驗發(fā)現(xiàn)：在諧振梁結(jié)構(gòu)中開槽會影響熱彈性品質(zhì)因數(shù)，開槽的作用是擾亂橫跨梁的熱流，從而改變能量耗散的過程。研究表明，開槽可以獲得比Zener理論預(yù)測的更高的品質(zhì)因數(shù)，但在高頻條件下，開槽也可能使品質(zhì)因數(shù)減小。Hossain等[8]通過有限元方法研究了高Q值環(huán)形諧振器的熱彈性阻尼機制，考慮了環(huán)的尺寸以及支撐梁的尺寸形狀對熱彈性阻尼的影響，最后對環(huán)上挖隔熱槽的影響也進行了研究。結(jié)果表明，隔熱槽對于Q值較低的諧振器能夠提高Q值，但對于高Q值諧振器可能會降低Q值，并且沒有研究槽的具體尺寸參數(shù)和分布方式對Q值的影響。

本文在環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀的外環(huán)上添加隔熱槽結(jié)構(gòu)，對環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀隔熱槽參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計，利用有限元分析軟件COMSOL Multiphysics對陀螺儀的諧振頻率、熱彈性品質(zhì)因數(shù)進行了仿真分析，并利用仿真結(jié)果計算了陀螺儀的等效質(zhì)量、機械熱噪聲等性能參數(shù)，從而對槽的大小、數(shù)量、位置等變化對陀螺儀性能參數(shù)的影響規(guī)律進行研究，以指導(dǎo)隔熱槽結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，得到性能提升的環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀。

1 熱彈性阻尼

熱彈性阻尼廣泛存在于彈性固體結(jié)構(gòu)發(fā)生諧振時。當諧振結(jié)構(gòu)變形時，固體的應(yīng)力場與溫度場產(chǎn)生耦合，即固體的機械模態(tài)與熱力學(xué)模態(tài)發(fā)生耦合，壓縮變形的區(qū)域溫度較高，拉伸變形的區(qū)域溫度較低，從而產(chǎn)生溫度梯度，熱量從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域進行傳導(dǎo)，導(dǎo)致部分機械能以熱量的形式耗散，這種過程被稱為熱彈性弛豫。對于橫截面為矩形的Euler-Bernoulli梁，只考慮結(jié)構(gòu)振動方向的一維熱流動，則結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)方程為[9]

式（1）中，Cp為材料的比熱，ρ為密度，E為楊氏模量，α為熱膨脹系數(shù)，T0為梁的平衡溫度，k為熱傳導(dǎo)率，υ為泊松比，e為結(jié)構(gòu)的體應(yīng)變，Δ為Laplacian算子。

對于橫截面為矩形的Euler-Bernoulli梁，結(jié)構(gòu)發(fā)生彎曲振動時的運動方程可表示為[6]

式（2）中，A為橫截面積， M（Y， T）為結(jié)構(gòu)受到的彎矩。除了通常的彈性彎矩外，還包括了梁截面溫度分布影響的熱彈性彎矩。對于彎曲變形且橫截面為矩形的梁而言，幾乎所有弛豫發(fā)生在彎曲方向，98.6%的熱弛豫通過主熱力學(xué)模態(tài)實現(xiàn)[4]。只考慮主熱力學(xué)模態(tài)的熱弛豫，根據(jù)熱邊界條件聯(lián)立式（1）和式（2）可解得梁的熱彈性阻尼為

式（3）中，QTED為熱彈性品質(zhì)因數(shù)，f0為諧振頻率，fRelax為熱弛豫頻率，f0／fRelax稱為歸一化頻率。式（4）中，b為發(fā)生熱流的梁的厚度。當梁上有隔熱槽時，梁上的熱傳導(dǎo)不連續(xù)，振動產(chǎn)生的熱流被隔熱槽所擾亂，振動時機械模態(tài)與不同頻率的熱力學(xué)模態(tài)相互耦合，減少了與主熱力學(xué)模態(tài)的耦合，導(dǎo)致熱彈性阻尼的變化，從而影響諧振梁的品質(zhì)因數(shù)。對于環(huán)形結(jié)構(gòu)的面內(nèi)彎曲模態(tài)來說，上述分析方法同樣可以用于其熱彈性阻尼的分析[6]，但理論計算方法無法得到結(jié)構(gòu)中的熱量分布情況，且對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，一維模型的計算誤差較大，需要進一步拓展為三維熱彈性阻尼模型。因此，為得到更為準確的熱彈性阻尼值及熱量分布，本文采用有限元仿真方法對帶有隔熱槽的環(huán)形結(jié)構(gòu)進行熱彈性阻尼分析。

2 微機電系統(tǒng)陀螺儀的基本結(jié)構(gòu)和性能參數(shù)

2.1 工作原理與基本結(jié)構(gòu)

本文研究的環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀是一種平面全對稱的振動式陀螺儀，其工作原理是利用哥氏力效應(yīng)實現(xiàn)對角速度的檢測，激勵和檢測方式通常采用靜電激勵和電容檢測。當陀螺受到外界激勵時，諧振結(jié)構(gòu)被激發(fā)出驅(qū)動模態(tài)，在驅(qū)動方向面內(nèi)保持恒幅振動，波峰處環(huán)內(nèi)側(cè)被壓縮，溫度升高，環(huán)外側(cè)被拉伸，溫度降低，熱流方向由壁厚方向向外；而波谷處則相反，熱流方向由外向內(nèi)。當角速度輸入時，諧振結(jié)構(gòu)上所有運動微元均受到哥氏力作用，從而激發(fā)出檢測模態(tài)，檢測模態(tài)與驅(qū)動模態(tài)為同一階模態(tài)的簡并模態(tài)。檢測模態(tài)振動的幅值與輸入角速度的大小成正比，通過檢測其振幅即可算出角速度的大小。

本文研究的隔熱槽結(jié)構(gòu)微機電系統(tǒng)陀螺儀由中間支撐錨點、外環(huán)以及錨點和外環(huán)之間的8對諧振梁組成，工作在橢圓簡并模態(tài)，驅(qū)動模態(tài)與檢測模態(tài)之間的角度為45°，其基本結(jié)構(gòu)及工作模態(tài)示意圖如圖1所示。隔熱槽結(jié)構(gòu)設(shè)置在外環(huán)上，貫穿了整個結(jié)構(gòu)，為了使驅(qū)動模態(tài)和檢測模態(tài)頻率裂解最小，整體結(jié)構(gòu)應(yīng)當滿足1／8對稱的條件[10]。因此，槽在外環(huán)上均勻分布，且數(shù)量應(yīng)當為8的倍數(shù)。

圖1 環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀的基本結(jié)構(gòu)和工作模Fig.1 Basic structure and operating mode of the ring MEMS gyroscope

2.2 微機電系統(tǒng)陀螺儀的性能參數(shù)

在進行結(jié)構(gòu)設(shè)計時，除了諧振頻率f0和Q值以外，陀螺儀的等效質(zhì)量meff和諧振結(jié)構(gòu)本身的機械熱噪聲Ωmech也是關(guān)鍵參數(shù)。固體波動陀螺的等效質(zhì)量與工作模態(tài)的振型有關(guān)，環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀屬于固體波動陀螺，其等效質(zhì)量meff和機械熱噪聲Ωmech的計算公式如下[11-12]

式（5）中，?x、?y、?z為 Descartes坐標表示的振型函數(shù)，它們可以由COMSOL模態(tài)分析仿真結(jié)果處理得到[10]。式（6）中，kB為Boltzmann常數(shù)，T為陀螺儀的工作溫度，n為陀螺儀的振動模態(tài)階次，Ag為陀螺儀的角度增益，這幾個參數(shù)無法在結(jié)構(gòu)設(shè)計中進行優(yōu)化；keff為等效剛度；x0為振動位移，此參數(shù)由后期陀螺儀的測控電路進行控制，暫時定為x0=2μm。由式（6）可知，陀螺儀的機械熱噪聲主要與Q值、等效剛度keff和等效質(zhì)量meff有關(guān)。隔熱槽結(jié)構(gòu)能夠提升微機電系統(tǒng)陀螺儀的Q值，但同時也減小了其等效剛度和等效質(zhì)量，因此在進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的同時，需要權(quán)衡Q值與等效質(zhì)量和機械熱噪聲之間的關(guān)系。

2.3 仿真參數(shù)及有效性驗證

本次仿真采用的軟件為有限元仿真軟件COMSOL Multiphysics，仿真步驟如下：首先利用Solidworks建立參數(shù)化模型，利用 COMSOL軟件的livelink for Solidworks接口將模型導(dǎo)入COMSOL中，設(shè)置材料為（111）晶向單晶硅材料，在錨點處設(shè)置固定約束，對整體結(jié)構(gòu)劃分網(wǎng)格，利用熱彈性模塊對環(huán)形結(jié)構(gòu)進行特征頻率研究，得出其溫度分布、模態(tài)振型和模態(tài)位移，同時計算出其諧振頻率和熱彈性品質(zhì)因數(shù)。COMSOL軟件內(nèi)置與MATLAB軟件的接口，即COMSOL with MATLAB模塊，諧振子的等效質(zhì)量、機械熱噪聲等參數(shù)可以由MATLAB調(diào)用COMSOL的仿真數(shù)據(jù)計算得到。仿真中的材料屬性如表1所示。

表1 仿真中的材料屬性Table 1 Parameters in simulation

為了驗證仿真模型的有效性，首先仿真了半徑為3mm的諧振環(huán)（不含諧振梁）的熱彈性品質(zhì)因數(shù)QTED。其中，發(fā)生熱流動的梁的厚度即環(huán)的壁厚b變化區(qū)間為40μm～120μm，步長設(shè)置為5μm。根據(jù)式（3）繪制出熱彈性品質(zhì)因數(shù)QTED與歸一化頻率f0／fRelax的理論關(guān)系曲線（Zener曲線），并將仿真數(shù)據(jù)點與Zener曲線繪制到同一幅圖中進行對比，結(jié)果如圖2所示。

圖2 諧振環(huán)Zener理論曲線與仿真數(shù)據(jù)對比Fig.2 Comparison between Zener theoretical curve and simulation data of the resonant ring

由圖2可知，仿真諧振環(huán)的壁厚b變化得出的QTED數(shù)據(jù)點與Zener曲線變化趨勢擬合較好，驗證了仿真模型的準確性。

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 不含隔熱槽結(jié)構(gòu)的仿真結(jié)果

主要研究了環(huán)形結(jié)構(gòu)外環(huán)上隔熱槽的位置（離中性面的距離d）、槽寬度w、槽長度（用圓心角θ表示）和槽個數(shù)n對陀螺諧振頻率f0、熱彈性品質(zhì)因數(shù)QTED、等效質(zhì)量meff和機械熱噪聲Ωmech的影響規(guī)律，進而對隔熱槽的參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計，得到了較優(yōu)的隔熱槽參數(shù)。

本次仿真采用的環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)如表2所示。

表2 環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Basic structure parameters of the ring MEMS gyroscope

首先通過仿真計算出不含隔熱槽的陀螺儀性能參數(shù)，利用COMSOL熱彈性模塊仿真得到的溫度分布如圖3所示。可以看出，溫度分布主要沿外環(huán)壁厚方向，且變形大的地方溫度變化也大。

圖3 環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀的溫度分布Fig.3 Temperature distribution of the ring MEMS gyroscope

通過仿真結(jié)果計算出的陀螺儀主要性能參數(shù)匯總?cè)绫?所示。

表3 不含隔熱槽結(jié)構(gòu)的陀螺儀性能參數(shù)Table 3 Performance parameters of the gyroscope without thermal isolation slots

3.2 槽的位置對性能參數(shù)的影響規(guī)律

為了研究隔熱槽在外環(huán)上的位置對陀螺儀性能參數(shù)的影響，槽被設(shè)置在結(jié)構(gòu)外環(huán)上，貫穿了整個結(jié)構(gòu)高度，槽長度θ=20°，槽個數(shù)n=8，槽在外環(huán)圓周上均勻分布，槽寬度w=10μm，改變槽離中性面的距離d，中性面以外用負號表示，中性面以內(nèi)用正號表示。仿真計算陀螺儀的諧振頻率f0、熱彈性品質(zhì)因數(shù)QTED、等效質(zhì)量meff和機械熱噪聲Ωmech，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 槽的位置對陀螺儀性能的影響規(guī)律Fig.4 Influence of slot position on the gyroscope performance

由圖4可知，與不含隔熱槽的結(jié)構(gòu)相比，在外環(huán)上設(shè)置隔熱槽對陀螺儀的QTED有較大提升，且降低了陀螺儀的Ωmech。 當槽的位置從外向內(nèi)時，QTED的變化趨勢是先增大后減小，在中性面時值最大；f0和Ωmech的變化趨勢是先減小后增大，在中性面時Ωmech值最??；而meff則呈下降趨勢。綜合以上來看，當槽位于中性面位置時，機械熱噪聲最小，性能提升效果最好。因此，在后續(xù)的仿真中，都將槽的位置設(shè)置在中性面上。

3.3 槽的長度和個數(shù)對性能參數(shù)的影響規(guī)律

接下來研究槽長度θ和槽個數(shù)n對陀螺儀的諧振頻率f0、熱彈性品質(zhì)因數(shù)QTED、等效質(zhì)量meff和機械熱噪聲Ωmech的影響規(guī)律。為了使環(huán)形陀螺儀工作在橢圓簡并模態(tài)且驅(qū)動模態(tài)與檢測模態(tài)間頻率裂解最小，環(huán)形陀螺儀的結(jié)構(gòu)應(yīng)當滿足1／8對稱的條件，因此將槽個數(shù)n分別設(shè)置為8、16、24、32、40和48，設(shè)置槽寬度w=40μm，槽長度θ從小到大變化，直到槽布滿整個外環(huán)，仿真結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，在不同的槽個數(shù)n條件下，隨著槽長度θ的增加，QTED均呈上升趨勢，最終將達到極限， 而 meff均呈下降趨勢。 由圖5（a）～圖 5（c）可知，當槽個數(shù)n為8、16和24時，隨著槽長度θ的增加，Ωmech的變化趨勢是先下降后上升，存在一個最小值。 由圖5（d）～圖5（f）可知， 當槽個數(shù)n為32、40、48時，Ωmech呈下降趨勢，在單層槽布滿整環(huán)時，QTED最大、Ωmech最小。由此可見，在槽個數(shù)n較少時，槽長度θ對陀螺儀性能的提升效果并不是越長越好；當槽個數(shù)n較多時，槽長度θ越長其提升效果越好。

圖5 不同槽個數(shù)n條件下槽長度對陀螺儀性能的影響規(guī)律Fig.5 Influence of slot length on the gyroscope performance with different slot numbers

接下來，將不同槽個數(shù)n條件下Ωmech最小的情形進行綜合比較，結(jié)果匯總?cè)鐖D6所示。

由圖6可知，當槽個數(shù)n≥32時，對QTED的提升效果小于槽個數(shù)較少時，并且Ωmech呈上升趨勢。綜合來看，當槽個數(shù)n=16、槽長度θ=16°時，QTED最大，同時Ωmech最小，此時隔熱槽對環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀的性能提升最大，是較優(yōu)的選擇。

圖6 不同槽個數(shù)條件下最優(yōu)性能對比Fig.6 Comparison of optimal performance with different slot numbers

3.4 槽的寬度對性能參數(shù)的影響規(guī)律

為了分析槽寬度w對性能的影響，在上文研究的基礎(chǔ)上，設(shè)置槽個數(shù)n=16、槽長度θ=16°，仿真計算了槽寬度w從5μm變化到60μm的陀螺儀諧振頻率f0、熱彈性品質(zhì)因數(shù)QTED、等效質(zhì)量meff和機械熱噪聲Ωmech， 仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 槽寬度對陀螺儀性能的影響規(guī)律Fig.7 Influence of slot width on the gyroscope performance

由圖7可知，隨著槽寬度w的增加，f0先上升后下降，QTED呈上升趨勢，當槽寬度w大于40μm時，meff呈下降趨勢，Ωmech呈上升趨勢。 綜合來看，當槽寬度w=40μm時，QTED較大且Ωmech最小，是最優(yōu)的選擇。

綜合以上仿真結(jié)果，設(shè)置單層隔熱槽的槽長度θ=16°、槽寬度w=40μm、槽個數(shù)n=16，位置設(shè)置在外環(huán)中間，通過仿真結(jié)果計算出的陀螺儀主要性能參數(shù)匯總?cè)绫?所示。

表4 優(yōu)化后的陀螺儀主要性能參數(shù)Table 4 Performance parameters of the optimized gyroscope

經(jīng)過單層槽優(yōu)化后，與不含隔熱槽的結(jié)構(gòu)相比，熱彈性品質(zhì)因數(shù)QTED提升了139%，同時機械熱噪聲Ωmech減小了26.9%，綜合性能較好。

4 結(jié)論

本文通過有限元仿真的方法研究了隔熱槽的尺寸以及分布情況對環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀性能參數(shù)的影響規(guī)律，并對環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀單層隔熱槽結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計，得出如下結(jié)論：1）當單層隔熱槽位于環(huán)中性面位置時，對品質(zhì)因數(shù)等性能參數(shù)的提升最大；2）隔熱槽的寬度和長度越大，對品質(zhì)因數(shù)的提升效果越明顯，但對等效質(zhì)量的減少程度較大，在槽個數(shù)較少時，槽長度對陀螺儀機械熱噪聲的提升效果并不是越長越好；3）對于結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)已經(jīng)確定的環(huán)形微機電系統(tǒng)陀螺儀，應(yīng)當根據(jù)其特定的尺寸條件進行分析，找到綜合性能較優(yōu)的隔熱槽參數(shù)。