趙鵬程

(1. 中國煤炭科工集團 太原研究院有限公司， 山西 太原 030006；2. 山西天地煤機裝備有限公司， 山西 太原 030006)

0 引言

在煤礦開采過程中，隨著雨水、附近河流的滲透加上可能發(fā)生的采礦區(qū)與儲水層連通造成的突水現(xiàn)象，大量的積水會聚集在井下，為保障煤礦開采工作的順利進行，必須及時將積水排出[1-3]。煤礦排水系統(tǒng)由電動機、排水水泵、排水管道和井口支撐附件等組成，較常采用的是離心式水泵，在工作過程中，泵源產生的壓力脈動會導致整個管道系統(tǒng)發(fā)生強烈的振動，而泵源脈動頻率與管道本身的固有頻率接近時發(fā)生的共振現(xiàn)象會導致振動故障的發(fā)生，造成管道破裂、泄漏等問題[4-6]。目前針對排水管道系統(tǒng)的研究主要集中在提高排水效率清洗管道水垢以及排水管道的設計方面，對管道故障方面的研究較少。張世斌等[7]利用有限元分析進行了深井排水系統(tǒng)的疲勞壽命研究，建立了排水管路的三維模型并進行了靜載分析和安全性評價。趙福隆等[8]建立了排水管道的有限元模型，基于有限元分析得到了固有頻率和振型，驗證了管道穩(wěn)定性?？軓╋w[9]采用水錘防護理論，建立了波動數(shù)學模型，研究了礦井排水系統(tǒng)中的管路振動問題。現(xiàn)有的文獻對排水管道振動問題的研究方向存在欠缺，因此研究煤礦排水管道系統(tǒng)的振動問題，建立準確的排水管道動力學模型，對煤礦開采工作具有重要的工程應用價值。

1 排水管道系統(tǒng)有限元建模

對于泵源激勵下的礦井排水管道系統(tǒng)研究，需要同時考慮管道橫向彎曲和擺動振動，因此首先推導管道的振動微分方程，并引入反映單元位移狀態(tài)的形函數(shù)構建振動有限元模型，最后通過單元矩陣組集得出礦井排水管道的整體剛度矩陣。

1.1 振動微分方程的構建

本文采用Timoshenko梁單元對管道系統(tǒng)進行有限元離散，其中第k個梁單元示意圖如圖1所示，梁單元有2個節(jié)點(i和j)，每個節(jié)點包含2個自由度，其中wi、θyi、wj和θyj分別表示oxyz局部坐標系下兩節(jié)點的橫向位移和轉角位移，則單元節(jié)點位移向量qe可以定義為：

(1)

圖1 第k個梁單元

第k個Timoshenko梁單元的勢能U和動能T分別為：

(2)

(3)

式中：ρ、l和A分別為單元的密度、長度和截面面積。Iy代表關于oy的截面慣性矩；E和G分別代表楊氏模量和剪切模量，κz代表關于z軸的剪切系數(shù)

(4)

(5)

1.2 引入單元形函數(shù)

為了求解偏微分方程，引入形函數(shù)[11]，具體如下：

假設橫向位移w和轉角位移θy(x)均采用3次多項式進行插值，則有

(6)

(7)

根據(jù)位移邊界條件結合插值多項式[12]，最終可得：

(8)

且Nw1(x)、Nw2(x)、Nw3(x)、Nw4(x)、Nθy1(x)、Nθy2(x)、Nθy3(x)和Nθy4(x)的表達式如下：

(9)

1.3 梁單元的剛度和質量矩陣

將形函數(shù)代入到偏微分運動方程中得到單元質量及剛度矩陣為：

(10)

(11)

利用有限元法對單元矩陣進行組集，最終獲得排水管道的質量矩陣及剛度矩陣，其動力學方程可以表示為：

(12)

式中：M、C和K分別代表整體質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，F(xiàn)u是外激勵向量。

2 管道的固有特性分析

2.1 管道模態(tài)試驗

針對煤礦排水系統(tǒng)，選取一段管道進行研究，試驗臺管道系統(tǒng)的材料是Q345，如圖2所示，管道外徑為32.8 mm，內徑為30 mm，具體參數(shù)如表1所示。為獲取管道固有頻率進行模態(tài)錘擊試驗，用加速度傳感器采集信號。采用多點激勵、單點拾振的方式來進行試驗測試，關于信號采集系統(tǒng)的設置具體如下：設置激勵方向和響應方向，建立每個信號通道與試驗測點的對應關系，其中力錘信號為觸發(fā)信號，為了消除噪聲影響，每組采用兩次平均，得到加速度頻響函數(shù)如圖3所示。

表1 管道材料及幾何參數(shù)

(a) 實驗管道

(b) 仿真管道

圖3 管道系統(tǒng)試驗頻響函數(shù)

2.2 管道模態(tài)分析

基于有限元理論，根據(jù)哈密頓理論和能量原理得到的質量和剛度矩陣進行仿真計算，建立了管道模型，由于實際應用中的排水管道系統(tǒng)一段與泵連接，所以將該段管的邊界調節(jié)設置為一段固支一段自由，計算得到前5階固有頻率和模態(tài)振型，圖4為振型對比圖，與實驗得到的固有頻率對比如表2所示。

fn1試驗仿真fn2試驗仿真fn4試驗仿真fn5試驗仿真

圖4 振型圖對比

由表中數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)，仿真數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)的固有頻率誤差較小，而且振型圖吻合較好，說明所建模型能夠較為準確地反應真實管道的振動狀態(tài)，可以進一步為管道振動的研究提供指導性作用；而且發(fā)現(xiàn)煤礦排水管道的固有頻率均處于低階范圍，應注意避免與泵源發(fā)生共振，避免管道的疲勞故障、管道泄漏等安全隱患。本文電動機的轉速為1 500 r/min，故得泵源頻率fb=n/t=1 500 r/min /60 s=25 Hz。

3 結論

基于鐵木辛柯梁理論建立了礦井排水管道系統(tǒng)的動力學模型，基于哈密頓變分原理得到了排水管道的振動微分方程，由有限元方法得出了質量和剛度矩陣，較全面地考慮了模型的適用性，并通過試驗驗證了模型的有效性。提出了一種煤礦排水管道系統(tǒng)模態(tài)分析的方法，首先對管道進行了實驗，獲得頻響函數(shù)，通過辨識峰值得到了實驗的固有頻率。同時利用有限元方法建立了管道有限元模型，得到仿真的頻率結果，最后結合實驗和仿真驗證了所建模型的正確性，得到了管道系統(tǒng)的固有頻率和振型。本文研究結果對于煤礦排水管道系統(tǒng)的振動故障研究方面具有指導意義。