陳樺劍，韋煜明

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006）

0 引言

數(shù)學(xué)模型是描述傳染病的重要工具。許多數(shù)學(xué)模型提供研究傳染病傳播的根本機(jī)制，并提出傳染病的控制策略。[1]值得注意的是，Measles、Mumps、Gonorrhea和HIV/AIDS等傳染病是在異質(zhì)人群中傳播的。為了描述上述疾病在異質(zhì)人群中的傳播，學(xué)者們提出多群組傳染病模型。[2]一個(gè)異質(zhì)人群可以通過(guò)傳播方式、接觸模式、地理分布劃分為幾個(gè)同質(zhì)群組，使得群組內(nèi)部和群組之間的相互作用可以分別建立模型。最早的多群組傳染病模型之一是由Lajmanovich和Yorke根據(jù)Gonorrhea的傳播提出的。[3]從那時(shí)起多群組傳染病模型的成果逐漸呈現(xiàn)在世人面前。[4–8]

實(shí)際上，自然界中存在多種噪聲，如白噪聲和電報(bào)噪聲。確定性傳染病模型無(wú)法準(zhǔn)確描述這些噪聲對(duì)傳染病傳播的影響。因此，傳染病模型中的參數(shù)并不是確定的常數(shù)，而是隨著環(huán)境中的連續(xù)擾動(dòng)而圍繞著某些均值擾動(dòng)。為了更好地揭示環(huán)境白噪聲的影響，學(xué)者們將參數(shù)擾動(dòng)引入傳染病模型中，[9–12]例如Cao等人對(duì)兩群組的SIRS傳染病模型中的疾病傳播率βkk進(jìn)行擾動(dòng)，[13]得到了模型（1）:

模型（1）各參數(shù)含義如下：Λk是表示在第k(k=1,2)個(gè)群組的人口輸入常率，βkj表示Sk和Ij(j=1,2)間的有效接觸率，μk表示在第k個(gè)群組中S、I、R各倉(cāng)室中的自然死亡率，γk為第k個(gè)群組中染病個(gè)體的恢復(fù)率，ηk為第k個(gè)群組中免疫者失去免疫后重新變?yōu)橐赘姓叩谋嚷剩羕則表示第k個(gè)群組中染病個(gè)體的因病死亡率。假設(shè)參數(shù)γk、ηk和αk是非負(fù)的,而Λk、μk和βkj是正的，特別地,Bk表示相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),σk是白噪聲強(qiáng)度，k,j=1,2。

除了白噪聲之外，電報(bào)噪聲對(duì)傳染病模型也有影響。例如，傳染病模型中的有效接觸率βkj在不同的季節(jié)影響下有很大的不同。學(xué)者們通常使用有限狀態(tài)空間中連續(xù)時(shí)間的Markov鏈模擬環(huán)境狀態(tài)的隨機(jī)切換。[14–17]連續(xù)時(shí)間Markov鏈通過(guò)Markov狀態(tài)切換得到傳染病模型中主要參數(shù)的變化。對(duì)于人類而言，研究疾病的有效傳播率βkj受到環(huán)境波動(dòng)影響比研究其他參數(shù)更有意義。因此，Liu和Jiang提出了一個(gè)帶標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和Markov切換的多群組隨機(jī)SIS傳染病模型，只對(duì)倉(cāng)室Sk和Ij間的疾病有效傳播率βkj進(jìn)行擾動(dòng)：[18]

其中，有效傳播率βkj是一個(gè)同質(zhì)連續(xù)時(shí)間Markov鏈{r(t),t≥0}在一個(gè)代表不同環(huán)境的有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}中取得的，Markov鏈{r(t),t≥0}是由轉(zhuǎn)移速率矩陣Γ=(δij)N×N產(chǎn)生的。

其中，△t>0表示一個(gè)小的時(shí)間間隔，δij表示從狀態(tài)i切換到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移速率，δij≥0，當(dāng)i≠j時(shí)，有成立。對(duì)?l∈S，βkj(l)均為正常數(shù)。

受到模型（1）和模型（2）的啟發(fā)，筆者提出一項(xiàng)具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和Markov切換機(jī)制的隨機(jī)多群組SIR傳染病模型：

模型（3）中各參數(shù)的意義與模型（1）和模型（2）保持一致。沿用Liu和Jiang的設(shè)定，本文假設(shè)Markov鏈?zhǔn)遣豢杉s的，也就意味著系統(tǒng)可以從一個(gè)機(jī)制切換到另一個(gè)機(jī)制。[18]對(duì)于?i,j∈S，存在有限數(shù)i1,i2,…,il∈S使得δi,i1,δi1,i2,…,δil,j>0，根據(jù)有限狀態(tài)的馬爾科夫理論，可以推斷其擁有遍歷性質(zhì)。注意到?？偸菗碛幸粋€(gè)平凡特征值，由于Markov鏈?zhǔn)遣豢杉s的，因此rank(Γ)=N-1。在上述條件下，Markov鏈擁有唯一一個(gè)平穩(wěn)概率分布π=(π1,π2,…,πN)∈R1×N。此外，這個(gè)平穩(wěn)分布可通過(guò)求πΓ=0確定，服從于且πi>0,?i∈S。

定義Rd+={x=(x1,x2,…,xd)∈Rd:xi>0,1≤i≤d}。令表示一個(gè)帶參考族{Ft}t≥0的完備概率空間，并且滿足一般條件：{Ft}t≥0單調(diào)遞增右連續(xù)，且F0包含所有零測(cè)集。對(duì)任意的常數(shù)列{g(i):i∈S}，定義。系統(tǒng)（3）前兩個(gè)方程均與R無(wú)關(guān)，為了方便，下文僅對(duì)模型（4）進(jìn)行討論。

1 全局正解的存在唯一性

本節(jié)證明模型（4）全局正解的存在性。

定理1對(duì)于任意初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈×S，系統(tǒng)（4）存在一個(gè)唯一正解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))，此正解以概率1保持在×S中，換言之，即

證明：由系統(tǒng)（4）可知，系統(tǒng)（4）中的系數(shù)滿足局部的Lipschitz條件，對(duì)于給定的初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈×S，系統(tǒng)（4）存在一個(gè)局部解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))，?t∈[-τ,τe]，其中τe是爆破時(shí)間。

只有證τe=+∞，a.s.，才能說(shuō)明解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))是全局的。

令m0≥0充分大，使得Sk(0)，Ik(0)(k=1,2,…,n)均在區(qū)間中。對(duì)任意整數(shù)m≥m0，定義一個(gè)停時(shí)：

τm=inf{t∈[0，τe)：min{Sk(t)，Ik(t)，k=1，2，…，n}≤或max{Sk(t)，Ik(t)，k=1，2，…，n}≥m}

本文定義inf?=∞（?表示空集）。根據(jù)停時(shí)的定義可知，當(dāng)m→∞，τm是單調(diào)遞增的，記，因此τ∞≤τe，a.s.若τ∞=+∞，a.s.，則τe=+∞，a.s.，說(shuō)明解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))是全局的。

下面利用反證法證明。假設(shè)τ∞<+∞，則存在兩個(gè)正常數(shù)T和ε∈(0,1)，使得P{τ∞≤T}>ε。因此，存在m1≤m0，使得P{τm≤T}>ε，?m≤m1。

一方面，?t≤tm，對(duì)于任意k(k=1,2,…,n)均有

可得

另一方面，?t≤tm，對(duì)于任意k(k=1,2,…,n)均有

可得

定義一個(gè)C2函數(shù)，

顯然，函數(shù)u-1-lnu≥0,?u>0是非負(fù)的，對(duì)C2函數(shù)V應(yīng)用Ito?公式，可獲得

其中，

K是一個(gè)正常數(shù)。余下的證明與Dalal等證明類似，[19]故在此忽略。

由此可以證得：系統(tǒng)（4）存在一個(gè)唯一正解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))，此正解以概率1保持在×S中。

注意1:對(duì)任意初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈×S，模型（4）存在一個(gè)唯一正解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))∈×S，因此

是系統(tǒng)（4）的一個(gè)正不變集。

2 傳染病的滅絕與持久

本節(jié)討論具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和Markov切換機(jī)制的隨機(jī)多群組SIR傳染病模型（4）滅絕與持久的充分條件。

2.1 傳染病的滅絕

定理2假設(shè)是不可約的，令(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))∈×S是傳染病模型（4）帶初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈?！洹罶的一個(gè)解。如果下列任意一個(gè)條件成立：

則傳染病Ik(k=1,2,…,n)依概率以1滅絕，即=0,a.s.,k=1,2,…,n。

其中，

情況1：當(dāng)條件（i）成立,有

因而,

對(duì)（6）兩邊從0到t積分，并除以t

因此,

對(duì)（8）兩邊從0到t積分，并除以t，得到

2.2 傳染病的持久

本小節(jié)給出傳染病持久的充分條件。

定義假設(shè)存在一個(gè)正常數(shù)c，如果>c>0,a.s.,(k=1,2,…,n)，則稱x(t)持久。

定理3假設(shè)是不可約的,(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))∈×S是傳染病模型（4）帶初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈?！洹罶的 一 個(gè)解。當(dāng)，且時(shí)，傳染病Ik(k=1,2,…,n)將持久存在。

證明：定義一個(gè)函數(shù)V1(I1,I2,…,In)=，運(yùn)用Ito?公式，得到

其中，

另一方面，定義V2(I1)=-I1，得到

其中

綜合考慮，定義

從而

結(jié)合強(qiáng)大數(shù)定律，將（10）式從0到t積分，并除以t，得到

對(duì)（11）式進(jìn)行變換，有

其中

?。?2）式下極限,可以得到

當(dāng)定理3中的條件成立時(shí)，有

由此，我們可以推斷疾病I1將滅絕。

類似地，我們也可以得到

其中

因此，傳染病Ik(k=1,2,…,n)將持久存在，定理3得證。

3 模型實(shí)例

在本節(jié)中提供兩個(gè)例子證實(shí)上述證明結(jié)果。為了簡(jiǎn)便，此時(shí)取S={1,2}，k,j=1,2，討論兩個(gè)群組之間的傳染病傳播情況。

例1參考文獻(xiàn)[21]有如下取值:

Case 1.

滿足定理2中的條件（i）,此時(shí)傳染病依概率以1滅絕。

Case 2.

滿足定理2中的條件（ii），此時(shí)傳染病依概率以1滅絕。

例2取值如下:

且

滿足定理3中的條件，此時(shí)傳染病持久存在。

4 結(jié)論

本文研究一項(xiàng)具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和Markov切換機(jī)制的隨機(jī)多群組SIR傳染病模型。通過(guò)構(gòu)建Lyapunov函數(shù)和運(yùn)用隨機(jī)分析學(xué)理論，討論了模型的全局正解的存在唯一性。其次，文中建立了傳染病滅絕和持久的充分條件：

如果下列任意一個(gè)條件成立，

則傳染病Ik(k=1,2,…,n)依概率以1滅絕。

最后，文章用例子驗(yàn)證理論研究的合理性。