邢國(guó)東,康晴晴

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

首先,讓我們回顧一下寬限相依隨機(jī)變量的概念,此概念是由Wang等[1]給出的。具體定義如下所示。

定義1 首先,一有限隨機(jī)變量集{Xi,1≤i≤n}被稱(chēng)為寬上限相依的(簡(jiǎn)記為WUOD),如果對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x1,…xn,存在一有限實(shí)數(shù)gU(n)使得一有限隨機(jī)變量集{Xi,1≤i≤n}被稱(chēng)為寬下限相依的(簡(jiǎn)記為WLOD),如果對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x1,…xn,存在一有限實(shí)數(shù)gL(n)使得如果{Xi,1≤i≤n}既是WUOD又是WLOD,那么我們稱(chēng){Xi,1≤i≤n}是寬限相依的(簡(jiǎn)記為WOD),而且gU(n)和gL(n)被稱(chēng)為控制系數(shù)。一無(wú)限集被稱(chēng)為WOD,如果每個(gè)有限集都是WOD。

自從WOD的概念被介紹之后,許多相關(guān)的概率理論被建立起來(lái)。例如,Wang等[1]給出了有限時(shí)間段上WOD索賠額下破產(chǎn)概率的一致漸近估計(jì),Shen[2]得到了WOD隨機(jī)序列的Berstein型不等式,Qiu和Chen[3]在一些適中的條件下給出了WOD隨機(jī)變量加權(quán)和的完全收斂和完全矩收斂,等等。

正如Scott[4]所指出的那樣,頻率插值估計(jì)與核密度估計(jì)有著相似的收斂速度但比直方圖估計(jì)的收斂速度快。此外,頻率插值估計(jì)的計(jì)算效果和直方圖的相等。此外,對(duì)于大量的二元數(shù)據(jù)集合,頻率插值估計(jì)計(jì)算的簡(jiǎn)單性和決定確切等概率輪廓精度的便捷性使得頻率插值估計(jì)比具有高精度的核密度估計(jì)更有價(jià)值。因?yàn)轭l率插值估計(jì)具有上述兩個(gè)方面的優(yōu)點(diǎn),所以對(duì)它做進(jìn)一步的研究是有意義的。

近十幾年來(lái),有關(guān)頻率插值估計(jì)的一些結(jié)果已經(jīng)被得到。例如,Carbon等[5]在α－混合過(guò)程下給出了頻率插值估計(jì)的最優(yōu)窗寬(此時(shí)的窗寬使得積分均方誤差達(dá)到漸近最小值)、漸近方差、強(qiáng)相合性及其收斂速度。Carbon等[6]得到了隨機(jī)域下頻率插值估計(jì)的漸近正態(tài)性。Bensaid和Dabo－Niang[7]在連續(xù)隨機(jī)域下給出了頻率插值估計(jì)的積分均方誤差以及強(qiáng)相合的收斂速度。受到上述作者們的啟發(fā),我們將在WOD樣本下通過(guò)一Berstein型指數(shù)不等式探討頻率插值估計(jì)的強(qiáng)相合性。

在本文中,我們總假定C代表了一個(gè)正常數(shù),此數(shù)僅僅由某些給定的數(shù)而定且從文中的一處到另一處可能會(huì)不一樣,窗寬和密度函數(shù)分別被表示為bn和f(x),g(n)＝max{gL(n),gU(n)},只要沒(méi)有作特殊說(shuō)明,所給出的極限都是在n→∞時(shí)得到的。本文的結(jié)構(gòu)如下:第一部分包含了所得到的主要結(jié)果,對(duì)應(yīng)的證明被放在本文的第二部分。

1 主要結(jié)果

為了主要結(jié)果表述的方便,我們需要如下所示的一些假設(shè):

(A1)假設(shè)Xi,{1≤i≤n}是一WOD樣本,其密度函數(shù)為f(x)。

(A2)bn→0。

(A3){τn,n≥1}是一個(gè)正常數(shù)序列,此序列趨向于零并滿足nb2nτ2n/logn→∞。

根據(jù)上述假設(shè),我們可以給出如下所示的主要結(jié)果。

定理1 如果假設(shè)(A1)－(A3)成立且對(duì)于某個(gè)a≥0有g(shù)(n)≤Cna,那么對(duì)于R的緊子集D:

此外,如f(x)對(duì)于x∈R是可微的且對(duì)于某個(gè)M＞0有,那么:

于是:

2 證明

在這一部分,我們將給出主要定理的相關(guān)證明。為此,我們需要如下所示的引理。

引理1 設(shè){Xi,i≥1}是一均值為零且的WOD隨機(jī)變量序列,其中d是一正常數(shù)。令,則對(duì)于任意ε＞0,

證明： 由Shen定理4[2]的證明過(guò)程可知:對(duì)于t＞0有

上述給出的極大矩不等式可用于統(tǒng)計(jì)學(xué)中加權(quán)估計(jì)漸近性質(zhì)的研究,這類(lèi)估計(jì)包括最小二乘估計(jì),非參數(shù)回歸估計(jì)以及非參數(shù)密度估計(jì)等。

基于引理1,我們可以給出定理1的證明,具體過(guò)程如下所述:

證明：注意到D是R的一個(gè)緊子集,不失一般性。我們可以假定D＝[－B,B],其中B是一個(gè)正常數(shù),用D表示區(qū)間(j－1/2)bn,[(j＋1/2)bn),其中j＝－rn,－(rn－1),…,(rn－1),rn且rn＝[B/bn]＋1。因?yàn)?所以:于是,對(duì)于任意的ε＞0,

對(duì)于一給定的j,我們令:

將上述結(jié)果和bn→0,τn→0以及n(bnτn)2(logn)－1→∞聯(lián)合在一起,則對(duì)于任意給定的q＞0和充分大的n可得:

類(lèi)似地,我們也有:

聯(lián)合(7)、(9)和(10)式可得:

通過(guò)在(11)式中取q＝3,(6)式以及nbn→∞,我們得到:

上式意味著在給定的條件下(2)式成立。此外,再應(yīng)用泰勒展開(kāi)式,我們可得(3)式,證畢。