陶龍,趙妍

(皖南醫(yī)學(xué)院 公共基礎(chǔ)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

人類發(fā)展的歷史上伴隨著諸多和傳染病抗?fàn)幍氖吕?數(shù)學(xué)家通過(guò)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)提出了依靠數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定性和定量研究。其中影響最深遠(yuǎn)的則是Kermack和Mckendrick共同提出的傳染病倉(cāng)室模型[1],并以此為依據(jù)揭開(kāi)了17世紀(jì)橫行歐洲的黑死病的客觀規(guī)律。時(shí)至今日,數(shù)學(xué)家們借助于倉(cāng)室模型得到了一系列關(guān)于傳染病的豐碩成果[2－4]。文獻(xiàn)[5]研究了一類具有非線性傳染概率的病毒倉(cāng)室模型,文章通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù),證明了模型的地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的存在唯一性以及全局收斂性。然而美中不足的是,大部分傳染病模型只考慮了連續(xù)的免疫過(guò)程,即只建立了連續(xù)的微分方程來(lái)進(jìn)行病毒傳染的研究,這是不夠準(zhǔn)確的。病毒傳染的初期,人們還沒(méi)有意識(shí)到病毒感染的相關(guān)問(wèn)題,導(dǎo)致人們沒(méi)有及時(shí)治療甚至是忽略了治療。而經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,當(dāng)人們意識(shí)到問(wèn)題的嚴(yán)重性,便會(huì)突然加大免疫治療的力度,導(dǎo)致病毒數(shù)量發(fā)生跳躍性的改變。因此整個(gè)病毒治療的過(guò)程其實(shí)更接近于一個(gè)非連續(xù)的變化過(guò)程。類似的非連續(xù)模型研究也廣泛地應(yīng)用于力學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)和生物學(xué)領(lǐng)域[6－8]。此外,文獻(xiàn)[5]假設(shè)病毒感染能力是無(wú)限大的,而現(xiàn)實(shí)中已被感染的個(gè)體單位時(shí)間內(nèi)接觸其它個(gè)體的能力是有限的。因此病毒的傳染率不可能隨著被感染個(gè)體的規(guī)模的無(wú)限增大而增大,應(yīng)是逐漸趨向于一個(gè)飽和狀態(tài)的過(guò)程?；谝陨峡紤],本文創(chuàng)立如下模型,以更適應(yīng)現(xiàn)實(shí)中的傳播規(guī)律。

1 模型的描述

我們提出如下的微分方程模型:

其中:h(I)是非連續(xù)免疫項(xiàng),表示感染體免疫的能力,α1f(I)為暫時(shí)的免疫概率,且有α1＞0,f連續(xù)可微,f′≥0,f(0)＝1;(S,I,R)的初值為;模型(1)的基本再生數(shù)[5]為:

為了保證模型的一般性,故提出假設(shè)1:

假設(shè)1h(I)＝φ(I)I,φ:R＋→R＋的非單減函數(shù),且在函數(shù)的每一個(gè)緊致區(qū)間內(nèi)至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn)。

由于(1)式的右端存在非連續(xù)項(xiàng)h(I),故經(jīng)典的微分方程理論不能在這里應(yīng)用。為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們引入Filippov解[9]。Filippov解考慮的是這樣的一類非連續(xù)微分方程:

若向量函數(shù)(S(t),I(t),R(t)),t∈(0,T],T∈(0,∞]在[0,T)的任何子區(qū)間[t1,t2]上都是絕對(duì)連續(xù)的,且對(duì)幾乎所有的t∈(0,T],(S(t),I(t),R(t))都滿足下面的微分包含:

其中m(t)滿足如下條件:

1)m(t)是除[0,T)內(nèi)一系列零測(cè)度集以外的,由(S(t),I(t),R(t))唯一確定的測(cè)度函數(shù);

2)m(t)存在當(dāng)且僅當(dāng)(S(t),I(t),R(t))對(duì)所有的t∈(0,＋∞)都連續(xù)可微。

2 平衡點(diǎn)的存在唯一性

2.1 解的正定性和有界性

下面將證明模型(1)平衡點(diǎn)的存在唯一性,在證明之前我們需要說(shuō)明模型滿足初值條件的解具有正定性和有界性,故提出下面的引理1:

引理1若假設(shè)1成立,如果(S(t),I(t),R(t))是模型(1)滿足初值條件(S(0),I(0),R(0))＝(S0,I0,R0)∈R3

＋的解,則(S,I,R),t∈(0,T)是有界的。

2.2 平衡點(diǎn)的存在唯一性

因此,對(duì)于平衡點(diǎn)的存在唯一性有如下結(jié)論:

引理2 若R0＞1,則微分包含(6)式存在唯一正解且有:

一、當(dāng)代雕塑觀念的變異性和先鋒觀，直接依附本體語(yǔ)言方可“撥苗助長(zhǎng)”。除了意識(shí)高度和品質(zhì)境界以及形態(tài)外，最直接的“快感”，通過(guò)具有阻斷力和顛覆性的媒材來(lái)完成思考的更移。

證明：∵R0＞1,∴g(0)＞φ(0)＞0,又函數(shù)g(I)是單調(diào)遞減的函數(shù),φ(I)是關(guān)于I的非單減函數(shù)。此外,g(I)≤0當(dāng)且僅當(dāng):

則集合{I:g(I)≥φ(I＋),I＞0}有界,

3 有限時(shí)間的全局收斂性

為了證明模型(1)的全局收斂性,我們先做以下假設(shè):

假設(shè)2 若R0＞1,則φ(I)在I*處會(huì)有一跳躍間斷點(diǎn),同時(shí)I*是由引理2唯一確定的正解且:由假設(shè)2可定義:θ＝min{φ＋(I*)－ξ*,ξ*－φ－(I*)}＞0。

定理1若假設(shè)1和 假設(shè)2均成立,模型(1)的解都將在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于地方平衡點(diǎn)E*＝(S*,I*,R*),即當(dāng)t＞t*時(shí),有(S,I,R)＝(S*,I*,R*),t∈(0,＋∞)。其中:

最后我們來(lái)證明模型(1)在有限時(shí)間內(nèi)也全局收斂于無(wú)病平衡點(diǎn)。由于假設(shè)1假定了h(I)在I＝0處是連續(xù)的,因此不滿足模型無(wú)病平衡點(diǎn)是非連續(xù)的條件。故需如下假設(shè):

假設(shè)3若h:R＋→R＋是非單調(diào)的遞減函數(shù),且在可行區(qū)域的每一個(gè)緊致區(qū)間內(nèi)至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn),同時(shí)h(0)＝0但在I＝0處不連續(xù)。

定理2若假設(shè)3成立,當(dāng)R0＜1時(shí),模型(1)所有滿足初值條件的解都將在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于無(wú)病平衡點(diǎn):

4 Matlab數(shù)值模擬仿真

4.1 地方病平衡點(diǎn)的全局收斂性

通過(guò)圖1發(fā)現(xiàn):S,I,R的節(jié)點(diǎn)各自在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的免疫治療后趨向平衡狀態(tài)。

圖1 地方平衡點(diǎn)的變化趨勢(shì)圖

4.2 無(wú)病平衡點(diǎn)的全局收斂性

利用軟件編程得到如圖2結(jié)果。

通過(guò)圖2發(fā)現(xiàn):S,R節(jié)點(diǎn)在各自經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的治療后到達(dá)平衡狀態(tài),已感染的I類節(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的治療后變?yōu)?。

圖2 無(wú)病平衡點(diǎn)的變化趨勢(shì)圖

5 結(jié)論

5.1 通過(guò)對(duì)非連續(xù)治療的傳染病模型研究,發(fā)現(xiàn)滿足模型初值條件的所有解都能夠在有限時(shí)間內(nèi)趨于平衡點(diǎn),有限時(shí)間穩(wěn)定這一點(diǎn)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義,因?yàn)橐呀?jīng)感染病毒的個(gè)體和感染疾病的患者都希望知道自己的病情能否被治愈,或者希望知道病情將會(huì)在何時(shí)穩(wěn)定或被治愈。

5.2 數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文理論推導(dǎo)結(jié)果的正確性和可行性,同時(shí)也說(shuō)明利用微分包含的相關(guān)知識(shí)可以較好地解決具有非連續(xù)性免疫治療策略的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,由此可將非連續(xù)的想法推廣到其他動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域中[13－15],通過(guò)建立更加符合現(xiàn)實(shí)變化規(guī)律的微分方程,從而得到更加符合實(shí)際生活情況的結(jié)果。