浙江省安吉縣孝豐高級中學(xué) (313300) 黃 鋒

當(dāng)代世界著名數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎的獲得者M·F·阿蒂亞曾經(jīng)提出:要處理復(fù)雜性驟增的數(shù)學(xué)問題，就必須建立和發(fā)展相應(yīng)的抽象數(shù)學(xué)概念.而任何概念的形成都要經(jīng)歷抽象到科學(xué)抽象再到數(shù)學(xué)抽象三個過程，那么從抽象到數(shù)學(xué)抽象如何在教學(xué)中落實到位呢？筆者以《函數(shù)的單調(diào)性》第一課為例，談?wù)勅绾卧诟拍钫n教學(xué)中落實“數(shù)學(xué)抽象”這一核心素養(yǎng)的實踐與思考．

1.數(shù)學(xué)抽象的抽象過程

數(shù)學(xué)的概念和形式都呈現(xiàn)出高度的抽象性，對于高度抽象化的數(shù)學(xué)概念的引入，一定從生活中真實的事物出發(fā)[1]．教科書中函數(shù)單調(diào)性的引入雖然是以具體函數(shù)的圖像形象的切入，但是它的高度抽象，學(xué)生很難理解．因此在教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷這個抽象過程，通過思考、討論、探究，理解單調(diào)性的含義、感受“任意”的思想．筆者認(rèn)為“函數(shù)單調(diào)性”從抽象到數(shù)學(xué)抽象的抽象過程需要經(jīng)歷三個步驟．

1.1 抽象的具體化生成了抽象的定性化

函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，因此我們可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得對客觀世界中事物變化規(guī)律的認(rèn)識，通過研究函數(shù)值隨自變量值的變化規(guī)律，可以獲得函數(shù)所刻畫的現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.

教學(xué)片段1創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

觀察下列圖片，回答如下問題：

圖1

問題1 你能結(jié)合天氣預(yù)報給我的好朋友一些建議嗎？

問題2 如果把時間設(shè)為x，最高氣溫設(shè)為y，y是x的函數(shù)嗎？

問題3 如果y是x的函數(shù)，那么函數(shù)圖像反映了哪些變化規(guī)律？

設(shè)計意圖：以生活實例為情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過問題2，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過程，培養(yǎng)學(xué)生建模意識，通過問題3，讓學(xué)生直觀感知圖像“上升(下降).

教學(xué)片段2對比分析 定性刻畫

觀察下列函數(shù)圖像，回答如下問題：

問題4 比較圖2和圖3，它們函數(shù)圖像分別具有什么樣的變化趨勢？

圖2

圖3

生：圖2特點是函數(shù)圖像從左到右保持上升趨勢，圖3特點是圖像從左到右有升也有降.

問題5 圖2對應(yīng)的函數(shù)圖像“從左到右保持上升趨勢”，這一不變性是函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

師：從左到右函數(shù)值有什么變化呢？

生：增大.

師：函數(shù)值隨著誰的變化而增大呢?

生：y隨著x的增大而增大(減小).

師：在初中，我們把這樣的性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性.

問題6 對比圖3和圖4，這兩個函數(shù)具有什么樣的共同特點？

圖4

生：圖像都是有升也有降.

師：還有嗎？

生：都是在某一段上上升或下降.

師：非常好！嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f，在某個區(qū)間上函數(shù)圖像保持上升或下降.

師：從圖3和圖4的共同特點，我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性是一個局部的概念，即“在某個區(qū)間上函數(shù)圖像保持上升或下降”.

設(shè)計意圖：學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過函數(shù)的單調(diào)性，采用描述“y隨著x的增大而增大(減小)”這就是我們從函數(shù)圖像上看到的函數(shù)的變化趨勢，即變化中的不變性，所以學(xué)生借助于初中的經(jīng)驗還是能夠說出這種規(guī)律的教學(xué).

教學(xué)片段1和2，使學(xué)生感受研究函數(shù)性質(zhì)的必要性，結(jié)合初中所學(xué)，從而做到數(shù)學(xué)抽象的抽象的具體化生成了抽象的定性化.

1.2 抽象的定性化促進了抽象的定量化

從函數(shù)圖像觀察到的函數(shù)單調(diào)性是“定性”的，需要進一步進行“定量化”，即用“定量”的方法對這一性質(zhì)準(zhǔn)確刻畫.

教學(xué)片段3具體實例 定量分析

問題7 我們以f(x)=x2為例，你能從函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系出發(fā)說出圖5中點A的兩個坐標(biāo)的意義嗎？

圖5

生：1.02為自變量取1.01時的函數(shù)值.

問題8 我們以f(x)=x2為例，你是理解“y隨著x的增大而增大(減小)”的？你能說說它的數(shù)量特征是什么嗎？

通過幾何畫板(如圖6)，在y軸右側(cè)的沿x增大的方向拖動點A，讓學(xué)生觀察點A的坐標(biāo)變化，引導(dǎo)他們得出函數(shù)值的變化規(guī)律：函數(shù)值隨自變量的增大而增大.

圖6

設(shè)計意圖：上述程序?qū)崿F(xiàn)將函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上“圖像上升”這一不變性轉(zhuǎn)化為“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”的數(shù)量描述.盡管仍是“定性刻畫”，但是它離用精確的數(shù)量關(guān)系進行“定量刻畫”已經(jīng)近一步了.

問題9：“x增大了”怎么用符號語言表示？“對應(yīng)的函數(shù)值y增大”又該如何表示呢？我們以f(x)=x2為例，認(rèn)真填寫表格，你給出具體定量描述嗎？

…123456…f(x)=x2……

生：當(dāng)x從1增大到2時，則f(x)從1增大到4，當(dāng)x從2增大到3時，則f(x)從4增大到9，當(dāng)x從3增大到4時，則f(x)從9增大到16，當(dāng)x從4增大到5時，則f(x)從16增大到25，當(dāng)x從5增大到6時，則f(x)從25增大到36.

問題10 這種函數(shù)值隨自變量的增大而增大的變化過程能寫的完嗎？

生：不能，因為在區(qū)間(0,+∞)中自變量為實數(shù)，有無數(shù)個.

問題11 你能借助當(dāng)從5增大到6，歸納出上述具體例子的共同特點嗎？

師：當(dāng)x從1增大到2時，則f(x)=x2從1增大4，我們用不等式如何描述？

生：當(dāng)1<2時,f(1)

師：以此類推，當(dāng)x從2增大到3，當(dāng)x從3增大到4，當(dāng)x從4增大到5，當(dāng)x從5增大到6，我們可以得到f(2)

生：只要x1

設(shè)計意圖：當(dāng)把函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性聚焦在“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”后，學(xué)生對“定量刻畫”函數(shù)性質(zhì)的必要性與數(shù)學(xué)意義該有所體驗.但如何用數(shù)量關(guān)系精確刻畫這種定量關(guān)系，對學(xué)生來說還是很抽象的，因此設(shè)計時由具體到一般，讓學(xué)生逐步生成這種定量關(guān)系.

1.3 抽象的定量化推動了抽象的符號化

教學(xué)片段4精準(zhǔn)定量 生成符號

問題12 當(dāng)x1

生：如圖7，我們知道不可以取某些特殊數(shù).

圖7

問題13 你覺得更嚴(yán)格的表達應(yīng)該是怎樣的？

學(xué)生小組討論

生：任取x1，x2.

師：你能精確的描述這種不等關(guān)系嗎？

生：任取x1，x2∈(0,+∞)，當(dāng)x1

師生共同歸納：在定義域D的某個區(qū)間I上任意取的兩個數(shù)x1,x2，當(dāng)x1

設(shè)計意圖：這個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點、難點，其核心是通過具體到抽象的過程，讓學(xué)生學(xué)會用嚴(yán)格的語言符號刻畫函數(shù)的單調(diào)性，通過問題串，設(shè)法讓學(xué)生體會“任意”，引導(dǎo)他們符號語言表達，從而初步做到抽象的定量化到抽象的符號化.

教學(xué)片段5類比探究 抽象定義

問題14 類比增函數(shù)的探究方法，探究函數(shù)在區(qū)間上隨著的增大而減??？

問題15 我們應(yīng)該如何類比探究呢？

生：只需要在函數(shù)圖像上任取兩個點比較它們自變量和函數(shù)值的大小即可.

師：下面請大家通過幾何畫板上在函數(shù)圖像上任取兩個點比較它們自變量和函數(shù)值的大小它們有何關(guān)系？

探究完成后老師引導(dǎo)學(xué)生完成下列問題：

(1)學(xué)生用符號語言描述y隨x的增大而減小：________________.

(2)學(xué)生類比增函數(shù)定義得出減函數(shù)的定義：________________.

師生共同歸納：在定義域D的某個區(qū)間I上任意取的兩個數(shù)x1,x2，當(dāng)x1f(x2)，我們稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.

設(shè)計意圖：設(shè)計讓學(xué)生體會“類比”方法的作用，問題15幫助學(xué)生找到類比探究方向，同時通過學(xué)生在電腦上用幾何畫板探究，再次體會“任意……都……”的含義，進而歸納抽象出減函數(shù)的定義.

教學(xué)片段6概念辨析 鞏固新知

辨析1：若定義在區(qū)間[-2,3]的函數(shù)f(x)滿足f(-2)

辨析2：函數(shù)在區(qū)間(1,3) 和[3,5]都是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間 (1,5]上一定也是增函數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：通過三個辨析讓學(xué)生再次體會“任意……都……”的含義，加深學(xué)生對定義的理解，通過辨析2、3體會正因為單調(diào)性強調(diào)“任意……都……”從而導(dǎo)致了單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)這一特征，通過辨析3讓學(xué)生對初中三大函數(shù)單調(diào)性有了完整的認(rèn)識.

2.數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)反思

搞好概念教學(xué)是實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的落腳點[2]，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的基本形式．因此，概念課教學(xué)中不能忽略概念，把概念課上成習(xí)題課，要注重概念的生成，在概念形成的學(xué)習(xí)中讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)抽象．那么，概念的生成體現(xiàn)在哪些方面呢？我們需要關(guān)注哪些？

2.1客觀原型是引入抽象概念的出發(fā)點

對于數(shù)學(xué)概念來說，它最基本的原型就是生活經(jīng)驗.因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，目的在于強調(diào)數(shù)學(xué)源自生活而又應(yīng)用于生活.基于核心素養(yǎng)，教材的對抽象抽象概念的編寫也是以“生活情境——建立模型——解釋應(yīng)用”.如概率統(tǒng)計中的正態(tài)分布密度函數(shù)是由大數(shù)學(xué)家高斯根據(jù)生活中大量的數(shù)據(jù)抽象出來的數(shù)學(xué)模型，正態(tài)分布密度函數(shù)是一個很好的適用于現(xiàn)實生活中許多事物和現(xiàn)象的概率法則，又比如牛頓依據(jù)蘋果落地這樣一生活事實抽象出萬有引力定律數(shù)學(xué)模型.因此，可以這樣說，生活經(jīng)驗是數(shù)學(xué)抽象發(fā)展的重要載體.

該設(shè)計以形象的函數(shù)圖像為出發(fā)點引出“函數(shù)單調(diào)性”這一抽象數(shù)學(xué)概念，而函數(shù)單調(diào)性的概念是則由于舍棄了其他成分而僅僅著眼于量的關(guān)系的分析獲得了更為普遍的意義，因此函數(shù)單調(diào)性的概念是這些眾多生活經(jīng)驗的共性的提煉.可以說，數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵是從眾多生活經(jīng)驗的諸多性質(zhì)中提煉出其本質(zhì)屬性.

2.2邏輯發(fā)展是滲透數(shù)學(xué)抽象的著力點

數(shù)學(xué)抽象概念的發(fā)展是具有層次性的，它是由低向高逐步發(fā)展的.因此，在教授數(shù)學(xué)抽象概念時，應(yīng)該重視新舊數(shù)學(xué)抽象概念之間的邏輯相關(guān)性[3].使原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識與新學(xué)習(xí)的內(nèi)容相互作用，經(jīng)過 同化和順應(yīng)，逐步完善和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

由初中階段的用“隨著的增大而增大(減小)”來刻畫函數(shù)圖像從左到右的上升(下降)到高中的精確的定量關(guān)系，把這表面上看起來似乎不是特別有關(guān)系的抽象概念有機結(jié)合起來，通過邏輯發(fā)展，建立起薪的理論結(jié)構(gòu).

2.3符號語言是描述抽象概念的核心點

當(dāng)今的數(shù)學(xué)世界是一個優(yōu)美壯觀的符號世界，數(shù)學(xué)符號是在數(shù)學(xué)抽象化的基礎(chǔ)之上由數(shù)學(xué)家們在研 究工作中逐步引入的，并且以此為基礎(chǔ)把數(shù)學(xué)對象的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號的研究[3].在函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)中，通過邏輯發(fā)展，學(xué)生能夠理解“隨著的增大而增大(減小)”來刻畫函數(shù)圖像從左到右，但是用自然語言的表述函數(shù)單調(diào)性的概念顯然使學(xué)生思維不夠清晰和流暢，此時，如果堅持用自然語言來表述的話，勢必導(dǎo)致學(xué)生思維上的紊亂，因此，在數(shù)學(xué)抽象概念教學(xué)中，數(shù)學(xué)符號的引入就顯得尤為重要了.

但是數(shù)學(xué)符號有層次、有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)，其中基本符號是用以表示簡單的抽象概念，由若干基本符號而構(gòu)成的組臺符號，可以之表示較復(fù)雜的抽象概念，通過類比思想，我實現(xiàn)從數(shù)學(xué)的形式化推動了數(shù)學(xué)的符號化，至此我們完整的經(jīng)歷抽象到科學(xué)抽象再到數(shù)學(xué)抽象三個過程，學(xué)生在知識形成過程中逐步體會和理解知識，并能應(yīng)用數(shù)學(xué)語言表達，進而逐步形成抽象思維能力．學(xué)生體會從量變到質(zhì)變的辯證思想，實現(xiàn)概念的飛躍．

總之，數(shù)學(xué)抽象是一個量變到質(zhì)變的過程，在教學(xué)中我們要學(xué)生經(jīng)歷具體化到抽象化在到符號化的生成過程，真正的讓核心素養(yǎng)落到實處.