劉學(xué)武，李 博，侯亞委，李慶建

(華電重工股份有限公司，北京 100070)

0 引言

索在結(jié)構(gòu)工程中扮演著非常重要的角色，如索道、懸索結(jié)構(gòu)和斜拉結(jié)構(gòu)等中拉索均為非?；钴S的單元[1]。拉索連接節(jié)點(diǎn)在工程應(yīng)用中可分為2種形式：①不滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)，即索與索或索與構(gòu)件之間的連接為“死結(jié)”，不會(huì)產(chǎn)生相對(duì)滑移，如索網(wǎng)結(jié)構(gòu)和索桿結(jié)構(gòu)等節(jié)點(diǎn)；②索在節(jié)點(diǎn)處可產(chǎn)生相對(duì)滑移，如索道中跑車滑輪與索之間可產(chǎn)生相對(duì)滑移。含滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)索結(jié)構(gòu)體系的受力特點(diǎn)為：由某一初始位形釋放結(jié)構(gòu)體系，結(jié)構(gòu)體系在不平衡力系作用下最終達(dá)到平衡狀態(tài)及幾何姿態(tài)，且有時(shí)會(huì)伴有一定的結(jié)構(gòu)位移，受力具有雙重非線性，即索非線性及節(jié)點(diǎn)滑動(dòng)接觸的非線性，受力分析較復(fù)雜，難以精確模擬。

不滑動(dòng)索系結(jié)構(gòu)的分析相對(duì)簡(jiǎn)單，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)索單元進(jìn)行研究，但對(duì)含滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)索結(jié)構(gòu)體系模擬分析方法的研究相對(duì)較少。若采用現(xiàn)有有限元軟件中的接觸算法可得到有效求解，但非常繁瑣。文獻(xiàn)[2]提出一種有效的滑移索單元法，但需求解復(fù)雜的滑移剛度矩陣；文獻(xiàn)[3]建立了一種考慮索滑移算法，但在求解各索段原長(zhǎng)時(shí)采用了不考慮彈性的索長(zhǎng)計(jì)算公式；文獻(xiàn)[4]建立了調(diào)整支點(diǎn)兩側(cè)索力的方法，但增加了滑移處索長(zhǎng)的調(diào)整；文獻(xiàn)[5]提出了在中間節(jié)點(diǎn)處可自由滑動(dòng)的多跨連續(xù)索靜力平衡的算法；文獻(xiàn)[1]通過(guò)虛加溫度荷載方法來(lái)調(diào)整滑輪兩側(cè)索段原長(zhǎng)，使兩側(cè)索力相等，但在求解多滑輪組問(wèn)題時(shí)算法收斂困難；文獻(xiàn)[6]提出一種三節(jié)點(diǎn)摩擦滑移索單元；文獻(xiàn)[7]在處理荷載緩和體系時(shí)，提出了能量搜索法和動(dòng)力松弛法，但只能處理索端張力已知的問(wèn)題。

然而，上述方法并不能考慮在可滑動(dòng)支座處，滑輪或鞍座半徑對(duì)索受力狀態(tài)的影響。Mcdonald等[8]借助索和滑輪相互作用中的4個(gè)獨(dú)立內(nèi)變量建立了一種單元，可模擬索在由1個(gè)鏈桿連接的滑輪上的滑動(dòng)。借鑒該方法，魏建東[9]建立了索在滑輪上滑動(dòng)模擬的滑移索單元，同時(shí)魏建東等[10]建立了滑輪在索上行走分析的索-滑輪單元。本文將上述單元統(tǒng)稱為滑移索單元，其求解方法與常規(guī)有限元法相同，便于應(yīng)用。本文進(jìn)一步對(duì)滑移索單元進(jìn)行探討，構(gòu)建滑移索單元高效求解的延拓牛頓法，給出索結(jié)構(gòu)體系精確分析方法，編制相應(yīng)的有限元分析程序，為實(shí)際工程的設(shè)計(jì)和施工提供可靠分析手段。

1 滑移索單元

滑移索單元[8-10]為一個(gè)平面三節(jié)點(diǎn)單元，3個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為索兩端點(diǎn)I(xI,yI)，J(xJ,yJ)及滑輪中心點(diǎn)K(xK,yK)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)自由度ux，uy，相應(yīng)節(jié)點(diǎn)力分別為Fx，F(xiàn)y。索采用懸鏈線模型，索和滑輪之間可產(chǎn)生相互滑移，設(shè)3個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)、位移和力列陣分別為Xe，ue和Fe。

滑移索單元在給定節(jié)點(diǎn)I，J之間索原長(zhǎng)的情況下，利用4個(gè)內(nèi)變量V1～V4即可確定其幾何形狀，設(shè)其組成內(nèi)變量矢量Ve。

對(duì)于滑移索單元，通過(guò)直接建立節(jié)點(diǎn)力和位移的增量方程來(lái)推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃囕^困難。文獻(xiàn)[8-10]通過(guò)內(nèi)變量建立單元節(jié)點(diǎn)力和位移之間的關(guān)系，進(jìn)而可獲得單元?jiǎng)偠染仃嚕茖?dǎo)基本過(guò)程如下。

1)選擇單元內(nèi)變量Ve。

4)聯(lián)立單元節(jié)點(diǎn)力和位移分別與內(nèi)變量之間的增量方程，得到單元增量控制方程ΔFe=KeΔue及切線剛度矩陣Ke=MN。

實(shí)際工程索結(jié)構(gòu)中存在的滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的滑移索單元類型可分為3種：①滑移索單元Ⅰ型 索懸掛在滑輪上；②滑移索單元Ⅱ型 滑輪在索上行走；③滑移索單元Ⅲ型 索與滑輪在側(cè)面接觸。

滑移索單元Ⅰ型內(nèi)變量和節(jié)點(diǎn)力分別如圖1，2所示?；扑鲉卧裥?個(gè)內(nèi)變量的物理意義分別為[8-10]：V1為左索段在滑輪脫離點(diǎn)A處的張力，V2為從豎直方向逆時(shí)針繞滑輪中心點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)到左索段脫離點(diǎn)A的角度，V3為從豎直方向順時(shí)針繞滑輪中心點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)到右索段脫離點(diǎn)B的角度，V4為左索段節(jié)點(diǎn)I，A之間無(wú)應(yīng)力原長(zhǎng)。這些內(nèi)變量的選擇不是唯一的，但利用其推導(dǎo)的公式形式最為簡(jiǎn)單。

圖1 滑移索單元Ⅰ型內(nèi)變量

圖2 滑移索單元Ⅰ型節(jié)點(diǎn)力

滑移索單元Ⅱ型內(nèi)變量和節(jié)點(diǎn)力分別如圖3，4所示?；扑鲉卧蛐?個(gè)內(nèi)變量物理意義分別為[8-10]：V1為左索段在滑輪脫離點(diǎn)A處的張力；V2為從豎直方向順時(shí)針繞滑輪中心點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)到左索段脫離點(diǎn)A的角度，V3為從豎直方向逆時(shí)針繞滑輪中心點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)到右索段脫離點(diǎn)B的角度，V4為左索段節(jié)點(diǎn)I，A之間無(wú)應(yīng)力原長(zhǎng)。

圖3 滑移索單元Ⅱ型內(nèi)變量

圖4 滑移索單元Ⅱ型節(jié)點(diǎn)力

滑移索單元Ⅲ型內(nèi)變量如圖5所示?；扑鲉卧笮?個(gè)內(nèi)變量的物理意義分別為[8-10]：V1為下索段在滑輪脫離點(diǎn)A處的張力，V2為從水平方向順時(shí)針繞滑輪中心點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)到下索段脫離點(diǎn)A的角度，V3為從水平方向逆時(shí)針繞滑輪中心點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)到上索段脫離點(diǎn)B的角度，V4為下索段節(jié)點(diǎn)I，A之間無(wú)應(yīng)力原長(zhǎng)。

圖5 滑移索單元Ⅲ型內(nèi)變量

3類單元異同如下。

1)不同點(diǎn) ①描述的物理現(xiàn)象不同，其中滑移索單元Ⅰ型描述的是索在滑輪上的滑移，滑移索單元Ⅱ型描述的是滑輪在索上的行走，滑移索單元Ⅲ型描述的是索在滑輪一側(cè)滑移；②三類單元中表述內(nèi)變量的坐標(biāo)系不同。

2)相同點(diǎn) ①單元構(gòu)成相同，都是由1個(gè)滑輪和1段索組成；②單元受力機(jī)理相同，都是描述了索與滑輪之間的相互摩擦滑移；③從數(shù)學(xué)計(jì)算上來(lái)說(shuō)，3類單元相同，具有通用性。

以下對(duì)3類單元通用性進(jìn)行研究。取1段索懸掛在1個(gè)滑輪上的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)體系(見(jiàn)圖1)，索兩端和滑輪中心點(diǎn)固定，3個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為I(-22，0)，J(22，0)，K(0，15)。索原長(zhǎng)Lu=53.15m，截面面積A=2.0×10-4m2，彈性模量E=2.0×1011N/m2，索重w=50N/m；滑輪重G=0，半徑r=0，摩擦效率e=1.0。采用3類單元確定體系平衡狀態(tài)，結(jié)果如表1所示。

表1 3類單元索受力狀態(tài)

通過(guò)算例可發(fā)現(xiàn)，3類單元分別求解同一個(gè)結(jié)構(gòu)得到索的受力狀態(tài)一致，只是單元內(nèi)變量結(jié)果不同，這是由3類單元各自內(nèi)變量坐標(biāo)系不同而導(dǎo)致的，說(shuō)明這3類單元具有通用性。因此，在對(duì)索滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行模擬時(shí)可采用其中任意一種單元，只是迭代初值的選擇要與相應(yīng)單元類型內(nèi)變量的坐標(biāo)系相對(duì)應(yīng)。

2 單元求解方法

基于有限單元法，滑移索單元?jiǎng)偠染仃嚭凸?jié)點(diǎn)力的求解方法為：

3)由Ve可得到單元?jiǎng)偠染仃嘖e。

由于牛頓法局部收斂，只有初值與精確值足夠接近時(shí)才會(huì)迭代收斂。研究發(fā)現(xiàn)，內(nèi)變量求解時(shí)其初值的選擇須謹(jǐn)慎，直接影響解的收斂性。為擴(kuò)大初值選擇范圍，構(gòu)造了內(nèi)變量求解的延拓牛頓法，基本思想為：先利用延拓法近似求解1個(gè)內(nèi)變量，以此作為牛頓法的迭代初值進(jìn)行求解，最終獲得收斂解。

延拓牛頓法[11]基本思想為：引入?yún)?shù)t，構(gòu)造1組映射H(x，t)代替單映射F(x)，使得H滿足條件：

H(x0,0)=0，H(x,1)=F(x)

(1)

即當(dāng)t=0時(shí)，H(x0,0)=0的解x0已知；當(dāng)t=1時(shí)，H(x,1)=F(x)=0的解x*即為方程的解。滿足上述條件常用的同倫為：

H(x,t)=F(x)+(t-1)F(x0)

(2)

延拓法迭代求解公式為：

其中，k=1,2,3，…,N-1。

牛頓法迭代求解公式為：

xk+1=xk-F′(xk)-1F(xk)

(4)

其中，k=N,N+1,N+2,…。

聯(lián)立式(3)，(4)即為延拓牛頓法。其中，前面N步(式(3))主要是為求解x*的1個(gè)足夠好的初始近似值xN，然后再用牛頓法(式(4))即可求得x更精確的近似解。

取不同迭代初值時(shí)牛頓法和延拓牛頓法收斂性如表2所示。其中，在采用延拓牛頓法時(shí)N取30，表中延拓牛頓法的迭代次數(shù)與牛頓法的迭代次數(shù)相同。

表2 迭代初值不同時(shí)牛頓法和延拓牛頓法的計(jì)算結(jié)果

從表2對(duì)單元Ⅰ型的算例研究可看出，采用牛頓法求解滑移索單元內(nèi)變量時(shí)，存在一定的局部收斂性，算法不易收斂，而采用延拓牛頓法時(shí)具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和收斂性，且迭代初值選擇的范圍較大。單元 Ⅱ，Ⅲ型的收斂性研究結(jié)果與單元Ⅰ型的收斂情況一致，在此不再贅述。

3 索結(jié)構(gòu)分析方法

基于滑移索單元，可構(gòu)建含滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)索結(jié)構(gòu)體系精確模擬分析方法，其求解過(guò)程和步驟如下。

5)重復(fù)步驟4)，直至誤差‖ΔPn‖≤ε和‖Δun‖≤ε，其中ε為小數(shù)，則求解收斂，即可得到整體結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)。

6)求解過(guò)程中，若整體結(jié)構(gòu)中存在梁、桿和殼等其他單元，其計(jì)算原理可參見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)，在此不再贅述。

上述方法建立的索結(jié)構(gòu)分析程序在求解時(shí)需給出索原長(zhǎng)，但在實(shí)際工程施工和設(shè)計(jì)中往往只給出預(yù)應(yīng)力狀態(tài)下索在控制點(diǎn)的張力或垂度限值，而索原長(zhǎng)未知。因此，在對(duì)索結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí)需首先假定索原長(zhǎng)，然后以指定點(diǎn)的張力和垂度為目標(biāo)變量進(jìn)行迭代求解。

4 工程算例分析

采用上述方法編制了可精確模擬含滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)索結(jié)構(gòu)體系分析的有限元程序，用于實(shí)際工程中該類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和施工過(guò)程分析。

1)索道受力狀態(tài)分析 取圖6所示滑動(dòng)索道體系，其中索兩端點(diǎn)A，D固定，2個(gè)滑輪中心點(diǎn)B，C固定，索在滑輪上可滑移。索截面面積A=2.0×10-4m2，彈性模量E=1.9×1011N/m2，索重w=50N/m；滑輪重G=0，半徑r=0.3m，摩擦效率e=1.0。E點(diǎn)作用1個(gè)豎向荷載P，分為P=0，P=5kN 2種情況進(jìn)行討論。將整個(gè)結(jié)構(gòu)劃分為2個(gè)索輪單元Ⅰ型進(jìn)行求解，分析中首先給定索結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)，即首先給出E點(diǎn)初始坐標(biāo)及索原長(zhǎng)。

圖6 滑動(dòng)索道體系(單位：m)

分3種工況進(jìn)行求解：①索原長(zhǎng)為100m時(shí)結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)；②索在A點(diǎn)張力為800N(P=0)和5kN(P=5kN)時(shí)索原長(zhǎng)；③索跨中節(jié)點(diǎn)E垂度為10m(P=0)和13m(P=5kN)時(shí)索原長(zhǎng)。各種工況下的求解結(jié)果如表3，4所示。在此設(shè)P為索道上跑車自重，則在給定索總原長(zhǎng)的基礎(chǔ)上改變其作用點(diǎn)E的位置，即可模擬固結(jié)式跑車在索道上的行走。對(duì)于輪式跑車，可在跑車作用處設(shè)置1個(gè)滑移索單元，跑車自重作用在滑輪上，同時(shí)增加1道牽引索，一端與跑車的滑輪中心相連，另一端連在牽引裝置上，拉動(dòng)牽引索改變跑車滑輪在索道上的位置，即可模擬跑車在索道上的行走。

表3 3種工況下的求解結(jié)果(P=0)

表4 3種工況下的求解結(jié)果(P=5kN)

2)懸索橋主纜受力狀態(tài)分析 取圖7所示懸索橋主纜進(jìn)行分析，其中，纜索截面面積A=0.3m2，彈性模量E=1.9×1011N/m2，索重w=50kN/m；B，C處鞍座重G=0，半徑r=0.5m，假設(shè)纜索與鞍座之間可產(chǎn)生相互滑移，摩擦效率e=1.0。取橋塔剛度足夠大，不考慮加勁梁作用。分析中首先給定纜索初始狀態(tài)，即首先給出E點(diǎn)初始坐標(biāo)及纜索原長(zhǎng)。分3種工況進(jìn)行求解：①纜索原長(zhǎng)為1 500m 時(shí)結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)；②纜索在A點(diǎn)張力為4.5×104kN時(shí)索原長(zhǎng)；③纜索跨中節(jié)點(diǎn)E垂度為80m時(shí)索原長(zhǎng)。求解結(jié)果如表5所示。分析中若將主纜根據(jù)設(shè)計(jì)分成若干索段，按施工方案依次安裝吊索及加勁梁，即可模擬懸索橋在施工過(guò)程中的受力狀態(tài)。

圖7 懸索橋主纜(單位：m)

表5 3種工況下的求解結(jié)果

3)大跨度懸挑索-滑輪結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)分析 取圖8所示索-滑輪體系進(jìn)行分析，其中索截面面積Ac=2.0×10-4m2，彈性模量Ec=1.9×1011N/m2，索重w=50N/m；滑輪半徑r=0.3m，摩擦效率e=1.0。橫梁截面面積A=1.466×10-2m2，慣性矩I=1.059 3×10-3m4，彈性模量E=2.06×1011N/m2。荷載P=10kN，不考慮橫梁自重。分2種工況進(jìn)行求解：①索原長(zhǎng)為65m時(shí)結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)；②索在B點(diǎn)張力為18kN時(shí)索原長(zhǎng)。2種工況下索和橫梁受力狀態(tài)如表6，7所示。

圖8 大跨度懸挑索-滑輪結(jié)構(gòu)體系(單位：m)

表6 2種工況下索受力狀態(tài)

表7 2種工況下橫梁受力狀態(tài)

5 結(jié)語(yǔ)

1)對(duì)可精確模擬索結(jié)構(gòu)中滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)受力特性的滑移索單元進(jìn)行探討，研究表明這3類單元也具有通用性。

2)構(gòu)建了滑移索單元內(nèi)變量求解的延拓牛頓法，能有效提高單元求解的收斂性，并且迭代初值選擇范圍更大。

3)構(gòu)建含滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)索結(jié)構(gòu)體系求解的迭代分析法，編制相應(yīng)的有限元程序，算例分析表明，分析方法和分析程序正確，可用于實(shí)際工程的設(shè)計(jì)和施工分析。