陳永明 邵芳芳

最近網(wǎng)傳國(guó)外一個(gè)數(shù)學(xué)教師因堅(jiān)持2+2=4而丟了工作的故事。故事說(shuō)，丹尼上交的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)了“2+2=22”的結(jié)果，女教師威爾斯耐心地給他講解，指出正確答案是“2+2=4”，但丹尼堅(jiān)持認(rèn)為“2+2=22”。后來(lái)孩子的父母竟然到校長(zhǎng)那里投訴，說(shuō)“把偏見(jiàn)硬塞進(jìn)孩子的腦子里”。再后來(lái)，家長(zhǎng)們開(kāi)始在學(xué)校外集體游行示威，高喊著“讓孩子做主！停止踐踏孩子的自信心”的口號(hào)，要求老師給孩子道歉，學(xué)校對(duì)威爾斯作了辭退處理，校長(zhǎng)支付給她經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償：前期的薪水2000元，這一期的薪水2000元，一共是4000元，“既然2+2=22，那么2000+2000應(yīng)該等于22000元！”威爾斯老師反駁說(shuō)，校長(zhǎng)頓時(shí)啞口無(wú)言。

2000+2000應(yīng)該等于幾？究竟是22000，還是4000？這是非常有意思的故事，我們不去討論其中包含的教育、政治制度等問(wèn)題，只討論其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

上面的問(wèn)題涉及了計(jì)數(shù)方法，特別是位值的概念。在當(dāng)今的計(jì)數(shù)系統(tǒng)中，數(shù)字寫(xiě)在不同的位置上表示不同的值是計(jì)數(shù)法的一個(gè)重要特征，人們對(duì)這一特征習(xí)以為常，不以為然，其實(shí)位值是一個(gè)很不容易理解的東西。

當(dāng)今的計(jì)數(shù)系統(tǒng)有三個(gè)特征。

第一個(gè)特征是記數(shù)符號(hào)，也就是數(shù)字，現(xiàn)今世界通用的記數(shù)符號(hào)是阿拉伯?dāng)?shù)字。歷史上曾出現(xiàn)過(guò)多種數(shù)的表示方法，如古埃及的象形文字、古巴比倫的楔形文字、古希臘的阿提卡數(shù)字、古羅馬的羅馬數(shù)字、古印度的婆羅門(mén)數(shù)字、瑪雅文化的貝形符號(hào)數(shù)字等，當(dāng)然還有中國(guó)的漢字?jǐn)?shù)字。這些文字或者數(shù)字，有的由于使用不便，早已被淘汰;而阿拉伯?dāng)?shù)字通用范圍廣，使用方便，一直沿用至今。特別需要指出的是，阿拉伯?dāng)?shù)字是古代印度人發(fā)明的。阿拉伯人在古代世界扮演了運(yùn)輸大隊(duì)長(zhǎng)的角色，他們把印度數(shù)字帶到了歐洲，歐洲人張冠李戴，以為這套數(shù)字是阿拉伯人發(fā)明的，把它叫作阿拉伯?dāng)?shù)字。

第二個(gè)特征是進(jìn)位制，我們現(xiàn)在基本上都用十進(jìn)制，據(jù)說(shuō)，這是因?yàn)槿擞惺畟€(gè)手指的緣故。在歷史上，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)五進(jìn)制、二十進(jìn)制（法國(guó)人、印第安人、中南美土著人、西伯利亞土著人）等，或許他們?cè)跀?shù)數(shù)的時(shí)候，只用一只手，或者用十個(gè)腳趾一起幫忙。還有六十進(jìn)制（巴比倫人），現(xiàn)今角度單位度、分、秒還是他們的“遺產(chǎn)”。也有十二進(jìn)制（英國(guó)人、羅馬人），如1打=12只，1英尺=12英寸……我國(guó)使用過(guò)十六進(jìn)制，在重量計(jì)算時(shí)，1斤=16兩。當(dāng)然，眾所周知，在計(jì)算機(jī)里用的是二進(jìn)制。

十進(jìn)制和人的十個(gè)手指有關(guān)，在數(shù)數(shù)的起步階段使用手指幫忙是很自然的，因此它有其優(yōu)點(diǎn)。但平心而論，它的缺點(diǎn)也不少，特別在“分”的時(shí)候。譬如，要把1件東西分給兩個(gè)人，十進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制都可以，但是要分給3個(gè)人、4個(gè)人、6個(gè)人，十二進(jìn)制、六十進(jìn)制就有它的優(yōu)勢(shì)了。六十進(jìn)制還可以方便地分給5個(gè)人，因?yàn)?0的約數(shù)有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30，在分的時(shí)候特別方便，這就容易體會(huì)刻畫(huà)角度的度分秒制為什么至今不變。至于十六進(jìn)制，可以對(duì)分、對(duì)分、對(duì)分再對(duì)分，這就容易體會(huì)我國(guó)用十六進(jìn)制作為斤兩換算的依據(jù)。

前兩個(gè)特征比較容易理解。第三個(gè)特征，也是最重要的特征是位值制，就是寫(xiě)在不同位置上的數(shù)字代表不同的數(shù)量。位值制的發(fā)明意義非常重大，它是古人摸索了幾千年才找到的寶貴財(cái)富。古人在計(jì)數(shù)時(shí)，一開(kāi)始，就是扳手指，或者用實(shí)物（譬如小石子）代數(shù)。譬如我們?cè)扔?顆小石子代表數(shù)1，2顆小石子就代表數(shù)2，10顆小石子代表數(shù)10，11顆小石子代表數(shù)11，18顆小石子代表數(shù)18……這真叫“一是一，二是二”。這個(gè)階段只有一個(gè)數(shù)字“1”，別的數(shù)字是把1重疊使用得到的。本文開(kāi)始故事里的丹尼就是用這種重疊法，不過(guò)他是把兩個(gè)“2”重疊起來(lái)。這個(gè)階段的特點(diǎn)有兩個(gè)：首先是“一是一”（這是基礎(chǔ)數(shù)字），其次是使用“重疊法”表示大一點(diǎn)的數(shù)。

隨著物質(zhì)的豐富，打到的獵物多了，這種計(jì)數(shù)方法的缺點(diǎn)慢慢地顯現(xiàn)出來(lái)。有個(gè)故事說(shuō)，某小孩學(xué)數(shù)，先學(xué)了“一”，第二天學(xué)了“二”，第三天學(xué)了“三”，他說(shuō)學(xué)數(shù)很容易，我都會(huì)了。既然“一、二、三”是用橫條重疊，“四”肯定也是啦！就以為“四”就是四橫，“五”就是五橫。這個(gè)孩子的名字叫萬(wàn)百千，為了寫(xiě)“萬(wàn)”這個(gè)姓，一橫、兩橫、三橫……把這個(gè)孩子折磨得死去活來(lái)。

于是，計(jì)數(shù)法來(lái)了一次改進(jìn)，進(jìn)入“大數(shù)符號(hào)”的階段。

用一種東西代表更大的數(shù)，譬如1根小樹(shù)枝代表10，那么11就用1根小樹(shù)枝和1顆小石子表示。這根小樹(shù)枝就是一個(gè)大數(shù)符號(hào)。在這個(gè)“以一當(dāng)十、百、千……”的階段，除了1這個(gè)數(shù)字外，創(chuàng)造了新的符號(hào)代表較大的數(shù)，譬如羅馬人用V（大拇指和食指分開(kāi)呈現(xiàn)的“虎口”狀）代表5，X（一正一反的兩個(gè)虎口）代表10，L代表50，C代表100，M代表1000，把新符號(hào)和原先的符號(hào)1重疊使用。

現(xiàn)在有的鐘表上的刻度還用羅馬數(shù)字。一、二、三就記為Ⅰ（1根豎棒）、Ⅱ（2根豎棒）、Ⅲ（3根豎棒）。五記為V，六則是虎口Ⅵ（豎棒在右），七、八當(dāng)然是Ⅶ和Ⅷ（豎棒在右）。我們注意到，幾個(gè)符號(hào)之間還是用重疊的方法。

為什么沒(méi)有提到四和九？按理九應(yīng)該是虎口V的右邊放4根豎棒，這樣做的話，顯得有點(diǎn)煩瑣。羅馬人創(chuàng)造了扣除法，就是把小的數(shù)放在大數(shù)的左面，表示從大數(shù)里扣除這個(gè)小數(shù)。4就是5-1，他們?cè)赩的左邊放1根豎棒，即用Ⅳ來(lái)表示。同樣的，在X左邊放1根豎棒，表示10-1=9，這是扣除法。

這個(gè)階段，增加了幾個(gè)大數(shù)的符號(hào)，即“以一當(dāng)十、百”等，再用“重疊法”“扣除法”，的確可以把所有的整數(shù)都表示出來(lái)。但后來(lái)人們發(fā)覺(jué)還是不方便，首先是太復(fù)雜，譬如2021應(yīng)該怎樣表示呢？其次是一會(huì)兒左減、一會(huì)兒右加，容易混淆。譬如19，記為XⅠX，應(yīng)該是先把中間一個(gè)Ⅰ和最后一個(gè)符號(hào)X結(jié)合“Ⅸ（9=10-1）”，然后再和左邊第一個(gè)符號(hào)X結(jié)合 “XⅠX（10+9=19）”。如果一不小心，可能會(huì)弄錯(cuò)。

另一撥原始人計(jì)數(shù)的辦法有點(diǎn)別致，他們是這樣做的：先在地上挖了個(gè)坑（標(biāo)記為一號(hào)坑），在這個(gè)坑里放1顆小石子代表1，2顆小石子代表2……等10顆小石子滿了，在地上再挖二號(hào)坑，在這個(gè)二號(hào)坑里放1顆小石子，同時(shí)把一號(hào)坑里的10顆小石子全部撤去，這就表示10了。再在一號(hào)坑里放1顆小石子，2顆小石子……滿10以后，在二號(hào)坑里放入1顆小石子的同時(shí)撤去一號(hào)坑里的全部石子，這就是20……

同樣是1顆小石子，放在一號(hào)坑里和放在二號(hào)坑里代表的數(shù)量是不一樣的。這種計(jì)數(shù)法，就是位值制。前面故事里丹尼認(rèn)為“2+2=22”，他不知道“22”里的兩個(gè)“2”在不同的數(shù)位上所代表的意義不同。右面的代表2，左面的代表20！

位值制的產(chǎn)生是非常艱難的，羅馬人曾經(jīng)稱霸世界，但是他們沒(méi)有用位值制，和現(xiàn)今的位值制相比，羅馬人的計(jì)數(shù)法是多么麻煩?。?/p>

位值制，最早是由中國(guó)人發(fā)明的。追溯到商代（約公元前16、17世紀(jì)至公元前1045年左右），我國(guó)就已經(jīng)在使用十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法了。英國(guó)著名科學(xué)史家李·約瑟博士曾推斷：在“印度數(shù)字”的背后，位值制早已在中國(guó)存在了兩千年，這是中華民族的驕傲。

總結(jié)一下，現(xiàn)今的計(jì)數(shù)法，主流是以阿拉伯?dāng)?shù)字表示的十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法。

本文的最后，順便談一下零的問(wèn)題。零的發(fā)明和使用被稱為人類(lèi)偉大的發(fā)現(xiàn)之一，也是一個(gè)飛躍！

大多數(shù)學(xué)史家認(rèn)為0是印度人發(fā)明的。古印度人大約在公元前3世紀(jì)，掌握了數(shù)字符號(hào)1到9，但此時(shí)還不知道“0”，直到約公元5世紀(jì)，也即1到9數(shù)字符號(hào)發(fā)明之后的一千多年后，“0”這個(gè)符號(hào)才出現(xiàn)。請(qǐng)注意，是一千多年后！

你看，古人知道數(shù)字已經(jīng)幾千年，已經(jīng)會(huì)算圓周率，知道[2]，但是今天的幾歲小毛孩都知道的0，那時(shí)的大學(xué)者就是不知道，豈不怪哉！

但據(jù)李·約瑟博士的考證，“0”產(chǎn)生于中印文化，是中國(guó)人首先使用的位值制促進(jìn)了零的出現(xiàn)，印度是在中國(guó)算籌和位值制的影響下才創(chuàng)造出“0”的。我們老祖宗的數(shù)字是用算籌擺放出來(lái)的，在要用0表示的場(chǎng)合，用空位來(lái)代替（流傳到現(xiàn)代的珠算，就是用空位表示0）。但數(shù)字中的空位，很容易引發(fā)錯(cuò)誤，所以很自然地有人把銅錢(qián)擺在空位上。從本質(zhì)上說(shuō)，我們的祖先已經(jīng)理解0的意義了。因此，即使說(shuō)印度人首先使用了0這個(gè)符號(hào)，也應(yīng)該是在中國(guó)算籌和位值制的影響下才創(chuàng)造出來(lái)的，李·約瑟博士的話是有道理的。

（1.上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院? ?200235 2.上海市田林中學(xué)? ?200233）