石金誠 肖勝中

摘 要：研究了二維空間中一類Boussinesq方程組的解對Boussinesq系數(shù)λ的連續(xù)依賴性。首先，通過不式的技巧推導(dǎo)出一些有用的先驗估計，特別是利用Sobolev不等式與微分不等式得到速度梯度的范數(shù)估計。其次，借助于這些估計，推導(dǎo)出解的差的范數(shù)所滿足的微分不等式。最后，通過求解該微分不等式，得到了解對Boussinesq系數(shù)λ的連續(xù)依賴性結(jié)果。

關(guān)鍵詞：Boussinesq方程組;結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性;連續(xù)依賴性;溶解度

中圖分類號：O175.29

文獻標志碼：A

近年來，許多學者開始研究偏微分方程的解對系數(shù)的收斂性或連續(xù)相依性問題，這類問題稱為偏微分方程解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。傳統(tǒng)的穩(wěn)定性主要是研究解對初始數(shù)據(jù)變化的連續(xù)依賴性。然而，越來越多的學者認為連續(xù)依賴性的研究不能只局限于初值條件，還應(yīng)該包含系數(shù)、模型本身的邊界條件等，這也是我們討論的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。因為我們想知道，方程的一個小改變或者系數(shù)的微小變化是否會對方程的解造成巨大影響。在AMES和STRAUGHAN[1]的專著中系統(tǒng)地研究了這種結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。在實際中，無論是數(shù)據(jù)測量還是建立模型的過程中都不可避免地存在誤差，一個微小的誤差是否會導(dǎo)致解的急劇變化，這對后續(xù)研究至關(guān)重要，所以研究解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是有意義的。

多孔介質(zhì)中流體方程組的解的性態(tài)研究已經(jīng)成為數(shù)學與力學領(lǐng)域的熱點問題?，F(xiàn)有的研究主要集中在Brinkman、Darcy和Forchheimer方程組的模型上。NIELD和BEJIAN[2]、STRAUGHAN[3]的書中廣泛地討論了多孔介質(zhì)中的這些模型， 得到多孔介質(zhì)流體方程組在不同條件下的解的性態(tài)。部分學者研究了多孔介質(zhì)中的Brinkman、Darcy、Forchheimer方程以及其他多孔介質(zhì)方程的Saint-Venant原則，例如文獻[4]得到了多孔介質(zhì)中的流體方程組的空間衰減估計結(jié)果。更多的文獻研究了多孔介質(zhì)中的流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性， 得到了一些連續(xù)依賴性與收斂性的結(jié)果（見[5-12]）。特別地，文獻[13-20]取得了一些新的結(jié)果。這些文獻集中研究了Brinkman、Forchheimer、Darcy類方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，對其他類別的非線性方程組，由于非線性項的處理難度大，使得研究它們的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性較少，特別是含有Boussinesq非線性項流體方程組。

在文獻[16]中， 作者研究了三維空間中的一類雙擴散的流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。該方程組由動量守恒方程、能量守恒方程以及溶解度守恒方程組成。在構(gòu)建動量守恒方程的過程中采用了Boussinesq逼近。本文繼續(xù)研究該方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，討論二維空間中的方程組

uit+λujui，j=-p，i+Δui+giT-hiC

uixi=0

Tt+uiT，i=ΔT

Ct+uiC，i=ΔC+Lf（T）-kC （1）

其中：ui表示速度，p表示壓強，T表示溫度以及C表示溶解度。gi（x）和hi（x）表示引力函數(shù)，為了計算方便，假設(shè)gi（x）滿足g≤1以及hi（x）滿足h≤1。f（x）是連續(xù)可微的函數(shù)，Lf（T）為化學平衡項，Δ為拉普拉斯算子， λ、L和k均是大于零的常數(shù)，λ是Boussinesq系數(shù)，L為化學平衡系數(shù)，k為化學反應(yīng)率。在文獻[2-3，21]中均有該方程組的詳細介紹。方程組（1）在Ω×[0，τ]區(qū)域內(nèi)成立，其中Ω是R2中有界單連通的星形區(qū)域，τ是給定的常數(shù)且0≤τ<∞。

給定的邊界條件為

ui（x，t）=0，Tn+k1T=g（x，t），Cn+k2C=h（x，t），（x，t）∈Ω×[0，τ]（2）

其中，k1、k2是大于零的常數(shù)。此外，初始條件為

ui（x，0）=ui0（x），T（x，0）=T0（x），

C（x，0）=C0（x），x∈Ω（3）

首先給出一些關(guān)于速度、溫度以及溶解度的先驗估計，借助這些先驗估計，得到解對Boussinesq系數(shù)λ的連續(xù)依賴性結(jié)果。文獻[16]中得到的是局部的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性結(jié)果（在某個時間內(nèi)存在）。本文中所考慮的邊界條件已改變，在推導(dǎo)速度的梯度估計過程中所用到的微分不等式不一樣，最終得到方程組解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性結(jié)果。與文獻[22]相比，本文在考慮對Boussinesq系數(shù)λ的連續(xù)依賴性的過程中需要用到∫Ωu2dx的界，而在[22]中僅能得到∫t0∫Ωu2dxdη的界。如何得到∫Ωu2dx界是本文研究的最大難點。按照[22]中所提供方法是無法得到的，而本研究較好地克服了這一困難。

文中采取以下符號約定，用逗號表示求偏導(dǎo)，用，i表示對xi求偏導(dǎo)，如： u，i表示為uxi，重復(fù)指標表示求和，ui，i=∑2i=1uixi，ui，jui，j=∑2i，j=1uixj2，‖·‖p表示Lp范數(shù)。

1 先驗估計

在本節(jié)中將推導(dǎo)出一些有用的引理。

引理1 對于速度的梯度，有如下估計：

∫Ωui，jui，jdx≤（n1（t））12（∫Ωui，tui，tdx）12+

TMΩ12（n1（t））12+CMΩ12（n1（t））12（4）

其中：TM、CM是大于零的常數(shù)，n1（t）是單調(diào)遞增且大于零的函數(shù)， Ω是Ω的體積。

證明 在方程組（1）的第1個方程兩邊同時乘以ui，并且在Ω上積分，由散度定理和式（2），可得

∫Ωui，tuidx=-∫Ωui，jui，jdx+∫ΩgiuiTdx-∫ΩhiuiCdx（5）

對于式（5），由Schwarz不等式，可得

∫Ωui，jui，jdx≤（∫Ωui，tui，tdx）12（∫Ωuiuidx）12+（∫ΩT2dx）12（∫Ωuiuidx）12+（∫ΩC2dx）12（∫Ωuiuidx）12 （6）

運用[22]中的式（4）、（5）和（18）的結(jié)果，可知

sup[0，τ]‖T‖≤TM（7）

sup[0，τ]‖C‖≤CM（8）

∫Ωuiuidx≤n1（t）（9）

其中：TM、CM是大于零的常數(shù)，n1（t）是單調(diào)遞增且大于零的函數(shù)。

聯(lián)合式（6）～（9），可得

∫Ωui，jui，jdx≤（n1（t））12（∫Ωui，tui，tdx）12+TMΩ12（n1（t））12+CMΩ12（n1（t））12

引理2 對于速度ui，有如下估計：

ddt∫Ωui，tui，tdx≤λ2r2（∫Ωui，tui，tdx）32（n1（t））12+n2（t）∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx（10）

其中：

n2（t）=λ2rTMΩ12（n1（t））12+CMΩ12（n1（t））122+2

證明 由方程組（1）的第1個方程，可得

ddt∫Ωui，tui，tdx=2∫Ωui，tui，ttdx

=2∫Ωui， t（-λujui， j-p， i+ui， jj+giT-hiC）， tdx

=-2∫Ωui，jtui，jtdx-2λ∫Ωui，tuj，tui，jdx+

2∫Ωgiui，tT，tdx-2∫Ωhiui，tC，tdx

≤-2∫Ωui，jtui，jtdx+

2λ（∫Ω（ui，tui，t）2dx）12（∫Ωui，jui，jdx）12+

2∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx（11）

由文獻[22]中的式（20），有如下的二維Sobolev不等式成立：

∫ΩH4dx≤r∫ΩH2dx·∫ΩH2dx（12）

其中，r為大于零的常數(shù)。式（12）中取H=ui，t，有

∫Ω（ui，tui，t）2dx≤r∫Ωui，tui，tdx·∫Ωui，jtui，jtdx（13）

聯(lián)合式（11）和（13），可得

ddt∫Ωui，tui，tdx≤λ2r2∫Ωui，tui，tdx·∫Ωui，jui，jdx+

2∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx （14）

聯(lián)合式（4）和（14），可得

ddt∫Ωui，tui，tdx≤λ2r2（∫Ωui，tui，tdx）32（n1（t））12+

n2（t）∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx

引理3 對于溫度和溶解度，有如下估計：

ddt∫ΩC2，tdx≤12k2∫Ωh2，tds+C2M2∫Ωui，tui，tdx+

Ld2∫ΩT2，tdx+Ld2∫ΩC2，tdx （15）

ddt∫ΩT2，tdx≤12k1∫Ωg2，tds+T2M2∫Ωui，tui，tdx（16）

證明 由散度定理和方程組（1）的第4個方程，可得

ddt∫ΩC2，tdx=2∫ΩC，tC，ttdx

=2∫ΩC，t（-uiC，i+c，ii+Lf（T）-kC），tdx

=2∫ΩC，tΔC，tdx-2∫ΩC，tui，tC，idx-

2∫ΩC，tuiC，itdx+2L∫ΩC，t[f（T）]，tdx-2k∫ΩC，tC，tdx

=-2∫ΩC，jtC，jtdx+2∫ΩC，tC，tnds+2∫ΩC，itui，tCdx+2L∫ΩC，t[f（T）]，tdx-2k∫ΩC，tC，tdx（17）

由于T有界，且f∈C1，則

f′（T）≤d2（18）

其中，d2是大于零的常數(shù)。對于式（17），由Hlder不等式、式（2）和（18），可得

ddt∫ΩC2，tdx≤-2∫ΩC，jtC，jtdx+2∫ΩC，t（-k2C，t+h，t）ds+

2∫ΩC，itui，tCdx+Ld2∫ΩC2，tdx+Ld2∫ΩT2，tdx

≤-2∫ΩC，jtC，jtdx+12k2∫Ωh2，tds+C2M2∫Ωui，tui，tdx+

2∫ΩC，jtC，jtdx+Ld2∫ΩT2，tdx+Ld2∫ΩC2，tdx

=12k2∫Ωh2，tds+C2M2∫Ωui，tui，tdx+

Ld2∫ΩT2，tdx+Ld2∫ΩC2，tdx （19）

同理，可得

ddt∫ΩT2，tdx≤12k1∫Ωg2，tds+T2M2∫Ωui，tui，tdx （20）

引理4 對于能量函數(shù)，有如下估計：

∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx≤n3（t）（21）

其中

n3（t）=k4F（0）+γk3F（0）+γ（e-12k4t-1）k4e-12k4t2-γ

證明 定義能量函數(shù)F（t）如下：

F（t）=∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx

聯(lián)合式（10）、（15）和（16），可得

ddtF（t）≤k3F32（t）+k4F（t）+k5（22）

其中

k3=λ2r2n1（τ）

k4=maxC2M+T2M2+n3（τ），1+Ld2

k5=sup[0，τ]12k2∫Ωh2，tds+12k1∫Ωg2，tds

式（22）可寫為

ddt（F+γ）≤k3（F+γ）32+k4（F+γ） （23）

其中，γ=k5k4。不妨，令F+γ=G，則有

ddtG≤k3G32+k4G （24）

求解式（24），可得

G≤k4G（0）k3G（0）（e-12k4t-1）+k4e-12k4t2（25）

則有

F（t）≤n3（t）

將式（21）代入式（4），可得到如下結(jié)果：

引理5 對于速度的梯度，有如下估計：

∫Ωui，jui，jdx≤n4（t）（26）

其中，n4（t）=（n1（t）n3（t））12+TMΩ12（n1（t））12+CMΩ12（n1（t））12。

2 解對Boussinesq系數(shù)的連續(xù)依賴性

設(shè)（ui，p，T，C）為λ=λ1時式（1）～（3）的解， （ui，p，T，C）為λ=λ2時式（1）～（3）的解。假設(shè)ωi=ui-ui，π=p-p，θ=T-T，S=C-C，λ=λ1-λ2，則（ωi，π，θ，S）滿足下列方程組

ωit+λujui，j+λ2ujωi，j+λ2ui，jωj=-π，i+Δωi+giθ-hiS

ωixi=0

θt+ωiT，i+uiθ，i=Δθ

St+ωiC，i+uiS，i=ΔS+L（f（T）-f（T））-kS? （27）

邊界條件為

ωi=0，θn+k1θ=0，Sn+k2S=0，（x，t）∈Ω×[0，τ]（28）

此外，初始條件為

ωi（x，0）=0，θ（x，0）=0，S（x，0）=0，x∈Ω（29）

將得到以下主要結(jié)果：

定理 設(shè)（ui，p，T，C）為λ=λ1時初邊值問題式（1）～（3）的經(jīng)典解，（ui，p，T，C）為λ=λ2時初邊值問題式（1）～（3）的經(jīng)典解，（ωi，π，θ，S）是這兩個解的差。當λ趨于0時，解（ui，p，T，C）收斂于解（ui，p，T，C）。解的差（ωi，π，θ，S）滿足

∫Ωωiωidx+∫Ωθ2dx+∫ΩS2dx≤λ2r8∫t0n5（η）e∫tηn6（ξ）dξdη（30）

其中：n5（t）=[n1（t）+n4（t）]2，n6（t）=λ22r2n4（t）+C2M+T2M2+L2d222k+4。

證明 在方程組（27）第1個方程的兩邊同時乘以ωi，并在Ω上積分，由式（12）和Hlder不等式，可得

12ddt∫Ωωiωidx=-λ∫Ωujui，jωidx-λ2∫Ωujωi，jωidx-λ2∫Ωωjui，jωidx-‖ω‖2+

∫Ωgiθωidx-∫ΩhiSωidx

=λ∫Ωujuiωi，jdx-λ2∫Ωωjui，jωidx-

‖ω‖2+∫Ωgiθωidx-∫ΩhiSωidx

≤λ‖u‖24·‖ω‖+λ2‖ω‖24·‖u‖-‖ω‖2+‖θ‖·‖ω‖+‖S‖·‖ω‖

≤λ2ε1r16（‖u‖2+‖u‖2）2+1ε1‖ω‖2+λ22ε2r4（‖u‖2·

‖ω‖2）+1ε2‖ω‖2-‖ω‖2+

‖θ‖·‖ω‖+‖S‖·‖ω‖（31）

其中，ε1、ε2是大于零的任意常數(shù)。

式（31）取ε1=2，ε2=2，由Hlder不等式、式（9）和（26），可得

ddt∫Ωωiωidx≤λ2r8[n1（t）+n4（t）]2+λ22r2n4（t）‖ω‖2+‖θ‖2+‖S‖2+2‖ω‖2（32）

在方程組（27）第3個方程的兩邊同時乘以2θ，并在Ω上積分，由散度定理和式（28），可得

ddt∫Ωθ2dx=2∫ΩθΔθdx-2∫ΩθωiT，idx-2∫Ωθuiθ，idx

≤-2∫Ωθ，iθ，idx+2∫Ωθ，iωiTdx

≤T2M2∫Ωωiωidx （33）

由Lagrange 中值定理，可得

f（T）-f（T）=θf′（ξ），ξ∈（T，T） （34）

同理，在方程組（27）第4個方程的兩邊同時乘以2S，并在Ω上積分，由散度定理、式（18）、（28）和（34），可得

ddt∫ΩS2dx≤-2∫ΩS，iS，idx+2∫ΩS，iωiCdx+L2d222k∫Ωθ2dx

≤C2M2∫Ωωiωidx+L2d222k∫Ωθ2dx（35）

聯(lián)合式（32）、（33）和（35），可得

ddt（∫Ωωiωidx+∫Ωθ2dx+∫ΩS2dx）≤λ2r8n5（t）+n6（t）（∫Ωωiωidx+∫Ωθ2dx+∫ΩS2dx）（36）

求解式（36），可得

∫Ωωiωidx+∫Ωθ2dx+∫ΩS2dx≤λ2r8∫t0n5（η）e∫tηn6（ξ）dξdη（37）

式（37）表明，當Boussinesq系數(shù)λ趨于0時，解（ui，p，T，C）收斂于解（ui，p，T，C）。

3 結(jié)論

利用微分不等式的技巧推導(dǎo)出∫Ωu2dx的界，進而得到解對Boussinesq系數(shù)λ的連續(xù)依賴性結(jié)果。采用類似的方法，也可以得到解對化學平衡系數(shù)L，化學反應(yīng)率k的連續(xù)依賴性。本文的方法同樣能夠推廣到Brinkman、Forchheimer以及Darcy類方程組上去。但對于邊界系數(shù)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究，由于邊界的復(fù)雜性，文中所提供的方法將不再適用。如何處理邊界項的變化將是研究的難點。此外，本研究考慮的是單一流體方程組，現(xiàn)實生活中可能存在多種混合流體，如何處理多種混合流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性將是后續(xù)研究的重點。

參考文獻：

[1]AMES K A， STRAUGHAN B. Non-standard and improperly posed problems[M]. San Diego： Mathematics in Science and Engineering series， Academic press， 1997.

[2] NIELD D A， BEJIAN A. Convection in porous media[M]. Berlin： Springer， 1992.

[3] STRAUGHAN B. Stability and wave motion in porous media[M]. Berlin： Springer， 2008.

[4] PAYNE L E， SONG J C. Spatial decay in a double diffusive convection problem in Darcy flow[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2007， 330（2）： 864-875.

[5] FRANCHI F， STRAUGHAN B. Continuous dependence and decay for the Forchheimer equations[J]. Proceedings of The Royal Society A， 2003， 459（2040）： 3195-3202.

[6] PAYNE L E， STRAUGHAN B. Structural stability for the Darcy equations of flow in porous media[J]. Proceedings of The Royal Society A， 1998， 454（1974）： 1691-1698.

[7] LIN C H， PAYNE L E. Structural stability for a Brinkman fluid[J]. Mathmatical Methods in the Applied Sciences， 2007， 30（5）：567-578.

[8] CHEN W H， LIU Y. Structural stability for a Brinkman-Forchheimer type model with temperature dependent solubility[J]. Boundary Value Problems， 2016（2016）： 55.DOI：10.1186/s13661-016-0558-y.

[9] CICHON M， STRAUGHAN B， YANTIR A. On continuous dependence of solutions of dynamic equations [J]. Applied Mathematics and Computation， 2015， 252（3）： 473-483.

[10]MA H P， L IU B. Exact controllability and continuous dependence of fractional neutral integro-differential equations with state dependent delay [J]. Acta Mathematica Scientia（English Series）， 2017， 37（1）： 235-258.

[11]WU H L， REN Y， HU F. Continuous dependence property of BSDE with constraints [J]. Applied Mathematics Letters， 2015， 45： 41-46.

[12]HARFASH A J. Structural stability for two convection models in a reacting fluid with magnetic field effect[J]. Annales Henri-Poincaré， 2014， 15（12）： 2441-2465.

[13]LI Y F， LIN C H. Continuous dependence for the nonhomogeneous Brinkman-Forchheimer equations in a semi-infinite pipe[J]. Applied Mathematics and Computation， 2014， 244（19）： 201-208.

[14]LIU Y， X IAO S Z. Structural stability for the Brinkman fluid interfacing with a Darcy fluid in an unbounded domain [J]. Nonlinear Analysis： Real World Applications， 2018， 42： 308-333.

[15]LIU Y， X IAO S Z， LIN Y W. Continuous dependence for the Brinkman-Forchheimer fluid interfacing with a Darcy fluid in a bounded domain[J]. Mathematics and Computers in Simulation， 2018， 150： 66-82.

[16]LIU Y. Continuous dependence for a thermal convection model with temperature dependent solubility[J]. Applied Mathematics and Computation， 2017， 308（17）： 18-30.

[17]李遠飛. 大尺度海洋大氣動力學三維黏性原始方程對邊界參數(shù)的連續(xù)依賴性[J].吉林大學學報（理學版）， 2019， 57（5）： 1053-1059.

[18]石金誠，肖勝中. 多孔介質(zhì)中的一類雙擴散擾動模型的解的連續(xù)依賴性[J].應(yīng)用數(shù)學和力學， 2020， 41（10）： 1092-1102.

[19]李遠飛，郭連紅. 具有邊界反應(yīng)Brinkman-Forchheimer型多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學學報，2019， 34（3）： 315-324.

[20]李遠飛. 海洋動力學中二維黏性原始方程組解對熱源的收斂性[J]. 應(yīng)用數(shù)學和力學， 2020， 41（3）： 339-352.

[21]CIARLETTA M， STRAUGHAN B， TIBULLO V. Structural stability for a thermal convection model with temperature dependent solubility[J]. Nonlinear Analysis： Real World Applications， 2015， 22（2）： 34-43.

[22]石金誠，李遠飛. 二維空間多孔介質(zhì)中的溶解度與溫度有關(guān)的Boussinesq模型的連續(xù)依賴性[J]. 內(nèi)蒙古師范大學學報（自然科學漢文版）， 2020， 49（6）： 491-496.

（責任編輯：曾 晶）

Structural Stability for a Class of Boussinesq Equations in R2

SHI Jincheng1， XIAO Shengzhong*2

（1.School of Data Science， Guangzhou Huashang College， Guangzhou 511300， China;

2.Scientific Research Office， Guangdong AIB Polytechnic College， Guangzhou 510507， China）

Abstract：

The continuous dependence of solutions on Boussinesq coefficient λ for a class of Boussinesq Equations is studied in two-dimensional space. Firstly， some useful priory estimates are derived by the technique of inequality. Especially， the bound for the norm of the velocity gradient is obtained by using Sobolev inequality and differential inequality. Then， by using these estimates， a differential inequality satisfied by the norm of the differences of the solutions is derived. Finally， by solving the differential inequality， the continuous dependence of Boussinesq coefficient λ is obtained.

Key words：

Boussines equations; structural stability; continuous dependence; solubility