史 諾,劉 瓊,楊曉龍 ,李 篤

(西安航空學(xué)院 a.機械工程學(xué)院；b.計算機學(xué)院，西安 710077)

0 引言

往復(fù)擺動是常見的運動形式，目前應(yīng)用較多的機構(gòu)是連桿機構(gòu)和凸輪機構(gòu)。在高速運動條件下，連桿機構(gòu)的慣性力不易平衡，且一般只能近似實現(xiàn)給定運動規(guī)律；凸輪機構(gòu)往往需要借助于彈簧來形成力的封閉，額外的動載荷會導(dǎo)致沖擊、噪聲增大，影響運動特性[1]。齒輪機構(gòu)的動載平衡、傳動精確，但是單純采用圓柱齒輪的機械機構(gòu)很難生成復(fù)雜的運動規(guī)律，非圓齒輪是一種瞬時傳動比按一定規(guī)律變化的機械零件[2]，將其作為一種函數(shù)發(fā)生裝置運用在輪系當(dāng)中[3-4]，可以生成往復(fù)擺動規(guī)律，且具有較為優(yōu)良的動力學(xué)特性。

戴威駿[5]采用三個非圓齒輪與三個圓柱齒輪構(gòu)成定軸輪系，可以輸出規(guī)律的變速擺動，實現(xiàn)了無游梁式抽氣機的平穩(wěn)換向；劉永平等[6]構(gòu)建了行星輪系使輸出端做往復(fù)擺動運動，實現(xiàn)了抽油機的機械式換向，在此結(jié)構(gòu)中，非圓齒輪采用的是橢圓齒輪，通過改變橢圓齒輪的偏心率實現(xiàn)運動規(guī)律的調(diào)節(jié)；章偉[7]利用行星輪系構(gòu)造了織機打緯機構(gòu)，打緯揺軸的運動學(xué)性能達(dá)到了理想狀態(tài)，在該機構(gòu)中，兩對嚙合的齒輪均采用了非圓齒輪，機構(gòu)的設(shè)計難度較大。

上述研究對于非圓齒輪往復(fù)擺動機構(gòu)的設(shè)計奠定了一定的理論基礎(chǔ)并提供了典型范式，為了進(jìn)一步降低設(shè)計難度，本文通過反求設(shè)計方法構(gòu)建W-W型非圓齒輪行星輪系，其分析過程簡單，設(shè)計結(jié)果可靠。

1 往復(fù)擺動原理

圖1為一個典型的W-W型非圓齒輪行星輪系，由行星架及4個齒輪構(gòu)成，行星架H是輸入端，其轉(zhuǎn)速恒定，轉(zhuǎn)角為φH，非圓齒輪1、2、3、4構(gòu)成了外嚙合的齒輪副G12、G34，其中齒輪1固定不動、齒輪2與3同軸相連，齒輪4是輸出端，其轉(zhuǎn)角為φ4，對非圓齒輪行星輪系采用速度矢量圖的方式進(jìn)行運動分析[8-9]。

(a)初始時刻

從理論上來講，圓柱齒輪是非圓齒輪的一種特殊形式，若齒輪副G12與齒輪副G34之一為圓柱齒輪副，另一個為非圓齒輪副，則每對齒輪副嚙合點K、M之間的相對位置變化規(guī)律就會更明確，設(shè)計非圓齒輪行星輪系的難度就大為降低，因此選定齒輪1、2為圓柱齒輪，3、4為非圓齒輪，后文中對輪系的運動分析在此條件下進(jìn)行。

2 運動分析及反求步驟

非圓齒輪往復(fù)擺動機構(gòu)設(shè)計要解決的關(guān)鍵問題是：在根據(jù)實際工況確定輸出運動規(guī)律以及根據(jù)實際傳動空間確定大致幾何尺寸的約束條件下，反求出非圓齒輪3、4的節(jié)曲線。

2.1 運動分析

對行星輪系采用反轉(zhuǎn)法進(jìn)行分析，即對整個機構(gòu)施加旋轉(zhuǎn)運動，其轉(zhuǎn)速為-dφH/dt，則行星架H是靜止的，行星輪系轉(zhuǎn)化成為定軸輪系[10]，在定軸輪系中可忽略行星架H，如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)化輪系結(jié)構(gòu)示意圖

(1)

(2)

在原有行星輪系中，齒輪1是固定不動的，故

(3)

(4)

式中，i4H是原有行星輪系的整體傳動比。

(5)

根據(jù)式(4)、式(5)，整理可得：

(6)

根據(jù)行星輪系的結(jié)構(gòu)構(gòu)型，4個齒輪向徑之間的關(guān)系為：

r1+r2=r3+r4=a

(7)

式中，a為常數(shù)，是齒輪副G12、G34的中心距。

將式(7)代入式(6)可得：

(8)

(9)

又齒輪3的轉(zhuǎn)角滿足的關(guān)系為：

(10)

從而得到了轉(zhuǎn)化機構(gòu)當(dāng)中非圓齒輪3的節(jié)曲線方程為：

(11)

將式(9)代入式(7)，并與式(2)聯(lián)立，得到轉(zhuǎn)化機構(gòu)當(dāng)中非圓齒輪4的節(jié)曲線方程為：

(12)

2.2 反求計算流程

如圖3所示，求解非圓齒輪3、4的節(jié)曲線的主要步驟如下所述：

圖3 非圓齒輪節(jié)曲線繪制流程圖

(1)根據(jù)實際工況要求確定行星架H在一個回轉(zhuǎn)周期內(nèi)非圓齒輪4的轉(zhuǎn)角運動規(guī)律；

(5)對節(jié)曲線進(jìn)行封閉性校核、壓力角校核、根切校核，若符合傳動與制造要求，將步驟(4)獲得的離散點數(shù)據(jù)采用三次樣條插值后繪制出非圓齒輪的節(jié)曲線，若不符合要求，優(yōu)化參數(shù)后從步驟(1)開始重新計算，直至校驗通過。

2.3 設(shè)計實例

設(shè)定在行星架H的一個回轉(zhuǎn)周期內(nèi)，非圓齒輪4往復(fù)等角擺動，其角位移呈簡諧運動規(guī)律，最大轉(zhuǎn)角φ4m為π/3，最大轉(zhuǎn)角φ4m所對應(yīng)的行星架H回轉(zhuǎn)角度φH為π。根據(jù)上述運動要求，則行星輪系的轉(zhuǎn)角關(guān)系為：

(13)

根據(jù)圖3所示的流程，當(dāng)圓柱齒輪1、2均采用模數(shù)為2 mm、齒數(shù)為30的結(jié)構(gòu)參數(shù)，計算得到中心距a為60 mm，此時反求得到的非圓齒輪3、4的節(jié)曲線如圖4所示。

(a)非圓齒輪3的節(jié)曲線 (b)非圓齒輪4的節(jié)曲線

3 齒輪構(gòu)型

對非圓齒輪的范成法加工過程進(jìn)行模擬可以得到包絡(luò)模型，在此基礎(chǔ)上可以生成非圓齒輪的三維實體[11-13]。如圖5所示，在非圓齒輪的中心建立固定坐標(biāo)系XOY，在插齒刀中心建立隨動坐標(biāo)系X0O0Y0，X0軸是插齒刀中心軌跡的切線，Y0軸是插齒刀與非圓齒輪瞬時嚙合點的法線，范成加工過程可以視為插齒刀的節(jié)圓沿著非圓齒輪節(jié)曲線的純滾動，當(dāng)初始嚙合點E滾動至E′時，插齒刀轉(zhuǎn)過的角度為θ，非圓齒輪對應(yīng)的轉(zhuǎn)角為φ，隨動坐標(biāo)系X0O0Y0中的Y0軸與固定坐標(biāo)系XOY的X軸之間的夾角為β。

圖5 非圓齒輪的范成法加工原理

在固定坐標(biāo)系XOY下，插齒刀的中心坐標(biāo)x0、y0可以表示為：

(14)

式中，x、y是非圓齒輪節(jié)曲線上的點坐標(biāo)；rd為插齒刀節(jié)圓半徑。

非圓齒輪節(jié)曲線上的點坐標(biāo)x、y計算公式為：

(15)

式中，r為非圓齒輪的向徑。

隨動坐標(biāo)系X0O0Y0中的Y0軸與固定坐標(biāo)系XOY的X軸之間的角度為β，計算公式為：

(16)

將式(15)、式(16)帶入式(14)，可以求得在固定坐標(biāo)系XOY下，插齒刀的中心坐標(biāo)x0、y0。

將隨動坐標(biāo)系X0O0Y0中插齒刀的齒廓坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至固定坐標(biāo)系XOY中，其計算公式如下：

(17)

式中，xd、yd是隨動坐標(biāo)系X0O0Y0下插齒刀的齒廓點坐標(biāo)；X、Y是固定坐標(biāo)系XOY下插齒刀的齒廓點坐標(biāo)。

由于在范成過程中插齒刀轉(zhuǎn)角θ對應(yīng)的節(jié)圓弧長與非圓齒輪轉(zhuǎn)角φ對應(yīng)的節(jié)曲線弧長是相等的，故以插齒刀轉(zhuǎn)角θ為自變量，可以計算出非圓齒輪轉(zhuǎn)角φ：

(18)

依據(jù)式(17)計算固定坐標(biāo)系XOY下，不同的非圓齒輪轉(zhuǎn)角φ所對應(yīng)的插齒刀的齒廓點坐標(biāo)，連點成線后即可得出非圓齒輪的包絡(luò)模型，如圖6所示。依據(jù)包絡(luò)模型提取齒廓，并賦予一定的齒寬，可得到非圓齒輪的實體模型。

(a)非圓齒輪3的包絡(luò)模型 (b)非圓齒輪4的包絡(luò)模型

4 虛擬樣機與仿真

在UG NX軟件平臺的裝配模塊中將齒輪1與2、3與4進(jìn)行裝配，齒輪副G12與齒輪副G34構(gòu)建完成后再與機架之間進(jìn)行約束，得到非圓齒輪往復(fù)擺動機構(gòu)的虛擬樣機，如圖7所示，保存模型后切換到運動仿真模塊進(jìn)行分析。

圖7 往復(fù)擺動機構(gòu)的三維模型

設(shè)定行星架的輸入轉(zhuǎn)速為360 °/s，仿真時間為1 s，仿真步數(shù)為1000步，測定非圓齒輪4的輸出轉(zhuǎn)角曲線，并對輸出轉(zhuǎn)角曲線關(guān)于時間進(jìn)行微分處理，得到角速度曲線，將仿真得到的輸出響應(yīng)與理論值進(jìn)行對比，如圖8所示。

(a)角位移曲線

從圖8a可以看出，角位移理論值與仿真值較為接近，在0.5 s時理論值與仿真值均達(dá)到了最大，角位移的理論最大值為60°，仿真最大值為61.792 6°，誤差為2.99%，誤差是由節(jié)曲線的設(shè)計精度造成的，節(jié)曲線是由離散點數(shù)據(jù)經(jīng)過三次樣條插值后擬合得到的，離散點越多，則節(jié)曲線的精度越高，要降低誤差，需要增大節(jié)曲線的數(shù)據(jù)計算量；從圖8b可以看出，角速度的理論值與仿真值的變化趨勢是一致的，說明行星輪系的設(shè)計是正確的，但是角速度仿真值一直是波動狀態(tài)，造成這種現(xiàn)象的主要原因一是每一次輪齒的嚙合均會形成剛性碰撞；二是非圓齒輪傳動過程中的重合度不斷變化。在多重影響因素下整個行星輪系產(chǎn)生了非規(guī)律性的振動，在此激勵下角速度仿真值呈明顯的鋸齒狀。根據(jù)行星輪系運行時的工況，仿真值相對于理論值更能反映出實際狀態(tài)[14]。

5 結(jié)束語

從往復(fù)擺動的運動原理出發(fā)，利用非圓齒輪構(gòu)建W-W型行星輪系，并建立虛擬樣機進(jìn)行了運動分析，可以得到如下結(jié)論：

(1)W-W型非圓齒輪行星輪系中兩個齒輪副嚙合點之間的相對位置變化是產(chǎn)生往復(fù)擺動運動的原因，將其中的一對非圓齒輪副特殊化為圓柱齒輪副，則嚙合點之間的相對位置變化規(guī)律較為明確，大大降低了機構(gòu)的分析與設(shè)計難度。

(2)根據(jù)擺角運動規(guī)律反求非圓齒輪節(jié)曲線，在此基礎(chǔ)上模擬范成加工過程獲取非圓齒輪包絡(luò)模型，提取齒廓并賦予一定的齒寬，可得到非圓齒輪的實體模型。

(3)非圓齒輪往復(fù)擺動機構(gòu)仿真測試輸出的角位移曲線、角速度曲線與理論分析的吻合度較高，在變化趨勢上是一致的。

(4)W-W型非圓齒輪行星輪系不僅可以實現(xiàn)往復(fù)擺動運動而且可以完成擺動—回轉(zhuǎn)運動、間歇旋轉(zhuǎn)運動、間歇擺動等，這就需要將節(jié)曲線表示成分段函數(shù)的形式，再進(jìn)行齒輪構(gòu)型后完成機構(gòu)設(shè)計，其基本分析流程與設(shè)計步驟與本文一致。