蘇朝浩 張樞健 何永鵬 陳慶軍

(1.華南理工大學建筑學院， 廣州 510630； 2.華南理工大學建筑設計研究院有限公司， 廣州 510630；3.亞熱帶建筑科學國家重點實驗室， 廣州 510630； 4.巴斯大學建筑與土木工程系， 巴斯 BA2 7AY；5.華南理工大學土木與交通學院， 廣州 510630)

0 引 言

在日益普及的建筑數(shù)字化設計語境下，形式的自由與力學法則之間的偏差始終存在且難以避免。如何在兩者之間建構起新的平衡態(tài)以取得形式自由與客觀約束的統(tǒng)一，構成了國際范圍內(nèi)一個熱點的交叉學科研究課題?！皡?shù)化主義者” Patrik Schumacher[1-2]一直在思考著這個問題，他“越來越多地嘗試從自由構造復曲面轉向?qū)で蠼Y構找形的算法”[3]；其他學者也在探索以計算機與結構有限元分析理論為技術手段的結構性能生形的研究方向，旨在創(chuàng)造高性能、高適應性和動態(tài)性的結構系統(tǒng)[4]。

作為建筑的結構——將結構的內(nèi)在力學邏輯以建筑語言的形式表達，是現(xiàn)代建筑的一個重要分支[5]。自2012年開始，國內(nèi)每年一屆的“建筑、結構巔峰對話：結構成就建筑之美”學術會議成為年度盛事。在國內(nèi)設計業(yè)界，學者和設計師們經(jīng)常就如何將數(shù)字化設計推向?qū)嵱?、形態(tài)復雜性與結構性能如何協(xié)同等問題展開了熱烈的討論。這其中結構題材、結構潛能以及結構藝術[6]正在成為日益關注的話題。

將非規(guī)則曲面中的一種特殊類型“極小曲面”[7]作為研究對象，是基于以下幾個方面因素的考慮：第一，極小曲面具有典型性。它具有外觀復雜而多變的混沌狀態(tài)，由一系列的正、反高斯面組成，其實質(zhì)是由數(shù)學方程式控制、蘊含著的一種內(nèi)在秩序。第二，它展示了特殊而新穎的空間形式動力和藝術狀態(tài)。一個毫無內(nèi)、外邊界可言的“蟲洞”彌漫著神秘的混沌空間魅力，同時呈現(xiàn)著一種內(nèi)在的邏輯美感——數(shù)學之美[8]。第三，它極度輕薄，趨同于高性能的薄壁結構形式，存在高難度的制造技術挑戰(zhàn)性。

復雜的形與內(nèi)在的力，如何建立起有效的協(xié)同關系，構成了問題的本質(zhì)：力與形的關系分析及建構[9]。因此，將結合一個實驗性的異規(guī)薄殼體案例——《云間玲瓏》[10](圖1、2)，重點從力與形的關系分析、力與形的關系建構兩方面闡述數(shù)學模型向力學模型轉化的探索過程。此極薄結構的板厚度僅為1.5 mm，約為球體直徑的1/5 000。目前關于極薄空間結構的設計思路文獻很少，如何實現(xiàn)合理、安全的構型是研究的關鍵。

圖1 極小曲面作品——《云間玲瓏》在2019—2020廣州國際燈光節(jié)上展出Fig.1 A minimal surface work Yunjian Linglong on display at Guangzhou International Lighting Festival in 2019-2020

圖2 極小曲面作品——《云間玲瓏》呈現(xiàn)的輕薄結構藝術與混沌美學形態(tài)Fig.2 The light and thin structure art and chaotic aesthetic form presented by the work minimal surface Yunjian Linglong

1 力與形的關系分析

1.1 異規(guī)空間抵抗作用

空間結構的概念或定義雖然因人而異，然而基本特性主要包括兩點：形態(tài)抵抗和空間抵抗[11]?？臻g抵抗來自于立體構件布置所帶來的空間的結構抵抗。單個懸索、拱利用了拉、壓力進行力的傳遞，但索膜結構、穹頂結構等空間抵抗作用是與單個拱、懸索等形態(tài)抵抗完全不同性質(zhì)的性能轉變。雖然結構形態(tài)包括了幾何形態(tài)，然而實質(zhì)上是“力學上的形態(tài)”，即由平衡形狀與力流、或者由形態(tài)抵抗而聯(lián)想到的“形與力的結合形態(tài)”。因此，要認識和利用結構形態(tài)，關鍵是如何認識和梳理力與形的關系模式[12]。很明顯，單純的拱、索結構原型，已不適應帶有正、反曲率高斯面的極小曲面模型。在空間上互相拉結的曲面單元，更傾向于形成異規(guī)的空間框架體系。該異規(guī)空間體系，有別于笛卡爾正交坐標下的梁-柱結構體系，各個單元是通過空間不同方向的互相約束作用而產(chǎn)生整體空間剛度。因此，適應于極小曲面的結構構型，并非來自平面體系的形態(tài)抵抗作用，而是源自三維的空間抵抗作用，是力與形關系在空間抵抗上的異規(guī)建構。

1.2 從均質(zhì)向集聚的層次化秩序轉化

形象地講，極小曲面呈現(xiàn)的肥皂泡沫和海綿體的形態(tài)特征具有均質(zhì)性。但對于扭曲、輕薄的異規(guī)曲面而言，這種均質(zhì)性對于形成整體空間剛度和傳力路徑卻非常不利。而且由于極度輕薄，導致單元體面外剛度缺失，壓力狀態(tài)下局部容易失穩(wěn)。由均質(zhì)向集聚進行變形，以形成力流的層次化傳遞路徑，是一個重要的思路。通過集聚以進行剛度的重新分配，可形成樹狀結構層次，主干和枝丫各自分工；另外，集聚對于增加單元的面外剛度也起到了積極作用，從而提升結構強度和穩(wěn)定性。

1.3 數(shù)學模型向力學模型的變形轉化

極小曲面由數(shù)學算法生成，是純粹的幾何模型，而不是一個物理環(huán)境中的力學模型。在力學工況下，純幾何模型需要向力學模型進行變形和轉化。因此，生成極小曲面的算法中需考慮這種轉化的可能性和可操作性，使得極小曲面單元處于一個動態(tài)可調(diào)度的狀態(tài)，并按照一定的力學建構規(guī)則進行變形和重構，適應反復調(diào)控、評估、優(yōu)化的過程需求，最終達成力與形的關系統(tǒng)一。

2 力與形的關系建構

2.1 由均質(zhì)泡沫向整體空間管狀框架轉化

基于異規(guī)空間抵抗作用、從均質(zhì)向集聚的層次轉化思想，力與形的關系建構，可以從基本形的生形算法切入，調(diào)適和優(yōu)化算法，將均質(zhì)泡沫向管狀體進行集聚，形成樹狀結構的主干層次和傳力路徑，同時通過結構計算進行性能驗證。

2.1.1基本算法

采用由Panagiotis Michalatos研發(fā)的Millipede插件工具進行生形[13](軟件平臺為Rhino及插件Grasshopper)。它的生成邏輯是：首先，在一個空間范圍內(nèi)，布滿很多的點，然后根據(jù)表達式計算出的這些點的值，判斷這些值是否大于零，并將點分成大于零和不小于零兩個部分；第二，確認以上兩個部分中相互離得比較近的點，即是零附近的點，然后將這些點取出來，將它們聯(lián)合成面；最后，便是用一個方形拼接來近似描述目標曲面，再將網(wǎng)格劃分后的面進行平滑處理，即可得到目標曲面。在生形程序中通過調(diào)用不同的數(shù)學方程，可生成不同種類的“泡沫”單元(圖3、4)。圖3中，在數(shù)學領域中，極小曲面由數(shù)學算法生成。極小曲面是平均曲率等于零的曲面，即是滿足特定約束的條件，達到穩(wěn)定的表面積最小的曲面。

a—f(x,y,z)=zcos x-cos y; b—f(x,y,z)=cos x+cos y+cos z; c—f(x,y,z)=sin xsin ysin z+sin xcos ycos z+cos xsin ycos z+cos xcos ysin z; d—f(x,y,z)=cos xsin y+cos ysin z+cos zsin x; e—f(x,y,z)=(4cos xcos y+cos ycos z+cos zcos x-3cos xcos ycos z)/2.4; f—f(x,y,z)=cos xcos y+cos ycos z+cos zcos x-cos xcos ycos z; g—f(x,y,z)=1.1(sin xcos 2xcos ysin z+sin 2ycos zsin x+sin 2zcos xsin y)-0.2(cos 2xcos 2y+cos 2ycos 2z+cos 2zcos 2x)+0.4(cos 2y+cos 2z+cos 2x)。圖3 不同函數(shù)約束生成的極小曲面形態(tài)Fig.3 Minimal surface forms generated by different functional constraints

圖4 利用Millipede插件進行極小曲面設計的程序流程Fig.4 The program flow for minimal surfaces designed by Millipede plug-in

2.1.2算法調(diào)適形成管狀體

通過基本算法得到的泡沫模式較為均質(zhì)，即使是通過調(diào)整計算周期得到不同密度形態(tài)，也難以形成理想的力學模型。因此，基本算法須要改進：將空間內(nèi)的點變成可移動、可操控的點，對這些點進行重新分布(圖5)，由均質(zhì)向集聚模式轉化，促使片狀單元向管狀體逐步轉化(圖6)，而這些管狀體通過正、反曲率的高斯曲面又連成一個整體空間管狀框架(圖5～7)。此過程中，由于轉化程度的不同，會形成形態(tài)各異的管狀體。

圖5 在生形程序中調(diào)整控制點以生成管狀物Fig.5 Adjusting the control points in the generative procedure to generate pipes

a—隨機生成控制點； b—原始狀態(tài)； c—均質(zhì)泡沫狀態(tài)； d—初步形成“管狀物”中間狀態(tài)； e—形成較多“管狀物”狀態(tài)。圖6 由均質(zhì)泡沫狀向管狀集聚狀態(tài)轉化的過程Fig.6 Processes of transformation from the homogeneous foam state to the tubular agglomeration state

圖7 整體空間管狀框架模型與3D打印模型Fig.7 The tubular frame model of the overall space and the 3D printing model

2.1.3形態(tài)轉化的結構性能評估

將上述轉化過程的各個狀態(tài)輸入到結構計算軟件中進行有限元分析計算。結構分析采用有限元軟件ABAQUS軟件，用殼單元(SR3)模擬鋁片，鋁材的密度為2.7 g/mm3, 彈性模量為69 GPa, 泊松比為0.3，施加均布荷載為材料自身重力，邊界條件為約束地面接觸界面的三個方向的平動自由度。由圖8計算結果可得出：

a—狀態(tài)； b—應力分布； c—應力矢量； d—變形。圖8 由均質(zhì)泡沫狀態(tài)到管狀集聚狀態(tài)的過程及結構性能驗證Fig.8 Processes and structural performance verification from the homogeneous foam state to the tubular agglomeration state

1)由泡沫狀向管狀物轉化的過程，應力集中的現(xiàn)象在逐漸減弱；應力集中的位置由頂部、末端位置轉向根部，可見內(nèi)部大懸挑的狀態(tài)在逐漸減??；應力的峰值級數(shù)由10 MPa減小為0.1 MPa，應力的分布也趨向于更加平均。

2)力流逐漸呈現(xiàn)清晰、便捷的特征，應力矢量圖逐漸呈現(xiàn)由枝丫—主干—地面進行傳遞的樹狀傳力模式。

3)最大位移數(shù)值呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢，由峰值1 246 mm下降為18.8 mm；應力集中的區(qū)域數(shù)量由2片逐漸減少為零?？梢?，局部的結構剛度和結構合理性在逐漸得到強化。

2.2 形成環(huán)箍效應和構型

輕薄的極小曲面單元，在重力荷載作用下，容易因屈曲而破壞，穩(wěn)定性差。然而，將這些輕薄的面圍成一個桶狀體，卻能起到柱子的作用。利用環(huán)箍效應生成類桶狀體，可大大提升薄壁構件的承載力和穩(wěn)定性。一方面，提取模型中若干組規(guī)則狀和異規(guī)桶狀物進行力學計算，雖然不是嚴格意義上的桶狀體，應力分布會受到扭曲的干擾，但是通過觀察計算結果可清晰看到環(huán)向和豎向上主應力的傳遞路徑(圖9)，環(huán)箍的作用依然有效?？梢姡h(huán)箍效應概念及原理的引入，對提升薄壁構件的抵抗變形能力和穩(wěn)定性非常關鍵。豎向剛度的不足，通過水平環(huán)向的約束加以彌補，是一種空間抵抗的力學模式。因此，主干上的極小曲面體，可通過生形程序向桶狀體構型進行轉化，形成封閉狀的形態(tài)，讓內(nèi)力從開放式的末梢向封閉狀的枝干流動起來，并有效地傳遞到底部的基礎。

圖9 各種形狀桶狀體的環(huán)箍效應分析結果Fig.9 Analysis results for the hoop effect of barrels with various shapes

2.3 利用正、反高斯曲率形態(tài)的拉結作用

集聚狀態(tài)下的管狀物之間，由一系列具有正、反高斯曲率的面單元進行拉結。力學上，正交方向上的正、反曲率疊加形態(tài)跟海帕殼體，也稱馬鞍面殼體，)的形態(tài)特征契合。

2.3.1拱+懸索疊加的力學機制

物理法則上，力總是尋找最有利的形態(tài)抵抗路線傳遞：在兩個對角線的方向上形成拱傳力與懸索傳力疊加機制和空間抵抗作用[14]，當一軸向上受壓而產(chǎn)生變形并傾向塌陷時，則在另一軸向上會產(chǎn)生拉應力來阻止此現(xiàn)象的發(fā)生。

試驗中，對是否添加正、反高斯曲率面單元的兩種管狀物框架進行結構分析和對比(圖10)。位移圖表明：添加正、反高斯曲率面單元后的整體剛度得到明顯加強，位移值由332 mm減小為158.2 mm；應力矢量圖表明:最小主應力和最大主應力的傳力路徑呈現(xiàn)出清晰的拱+懸索疊加的傳力機制。

a—缺失正、反高斯曲率面位移； b—添加正、反高斯曲率面位移； c—應力矢量分布； d—海帕殼體力學機制。圖10 正、反高斯曲率面單元對管狀框架的拉結作用Fig.10 The drawing effect of positive and negative Gaussian curvature surface elements on the tubular frames

為進一步評估這種形態(tài)的拉結作用，選了三個模型對其進行力學性能的對比分析。模型分別為B1、B2、B3，模型不同之處在于其與地面接觸的管狀體分別是1個、2個和3個，并加入了水平荷載進行多工況的力學計算和分析?？紤]到該構型的非對稱性，在結構分析過程中考慮豎向、水平x及水平y(tǒng)三種方向的荷載工況。荷載施加方式在相應方向上施加指定幅值的加速度。具體如下：

1)工況1：豎向加速度az=-g；2)工況2：水平x方向加速度ax=-g;3)工況3：水平y(tǒng)方向加速度ay=-g;其中，g為重力加速度。

圖11～13中給出了模型在重力作用及x向或y向水平作用下的應力云。可以看出：在重力荷載作用下，B3的應力分布比較均勻，結構各部分都較好地參與了受力，最大應力較B1和B2有較大下降。在x向或y向水平荷載作用下，三者的位移值差異不大，拉結形態(tài)對于抵抗水平荷載的作用較為明顯，表現(xiàn)出良好的結構剛度和穩(wěn)定性。

a—B1; b—B2; c—B3。圖11 重力荷載作用下應力云Fig.11 Contours of stress under the gravity load

a—B1; b—B2; c—B3。圖12 水平向(x向)荷載作用下應力云Fig.12 Contours of stress under the horizontal load(in the x direction)

a—B1; b—B2; c—B3。圖13 水平向(y向)荷載作用下應力云Fig.13 Contours of stress under the horizontal load(in the y direction)

2.3.2管狀框架與拉結形態(tài)間的權衡和空間調(diào)度

一方面，管狀物通過泡沫狀單元之間的拉結作用進行傳力和連接成為一個整體；另一方面，整體剛度可在管狀物與泡沫單元之間進行調(diào)配，從而實現(xiàn)集聚與離散兩種空間形態(tài)之間的比例分配，實現(xiàn)空間多樣性和適應性的調(diào)度。

目前如何利用正、反高斯曲率形成管狀框架和拉結形態(tài)尚未有很好的計算機自動判斷算法，只能通過人工完成。

3 制作和建造

數(shù)字建構的過程中，形式的“生成”與物質(zhì)化的“建造”需通過數(shù)字技術結合起來[15]。超薄、非規(guī)則、大尺度和高度復雜這幾個因素，是極小曲面制作和建造方面無法回避的難題和挑戰(zhàn)。面向?qū)嶋H應用層面，一種兼顧效率性和經(jīng)濟性的制作方法顯得尤為重要。

3.1 “先剖分后組合”的擬合方法

由于異規(guī)曲面無法展開為平面，因此，在制作上存在著諸多困難，尤其是對于單元數(shù)量龐大的情況，鑄模、鍛造、捶打等傳統(tǒng)的制作工藝已經(jīng)變得很不經(jīng)濟和適用。

3.1.1擬合原理

首先，將不可展開為平面的異規(guī)曲面剖分為有限數(shù)量的單元，當單元數(shù)量足夠大，即趨同于曲面；其次將這些有限數(shù)量的單元進行平面化處理(也稱拍平)，目的是方便采用計算機數(shù)字控制機床進行高效的平面化加工和量化生產(chǎn)；最終，將平面單元進行彎曲拼裝以擬合目標曲面。

3.1.2擬合流程

1)網(wǎng)格化和條幅式肋板。將曲面模型進行剖分，網(wǎng)格化為有限數(shù)量的三角網(wǎng)格面，根據(jù)曲面的曲率大小決定剖分單元數(shù)量。條幅式展開即是將具有連續(xù)性的相鄰三角形網(wǎng)格連接為相互獨立的條狀單元，便于拍平在一個平面里面進行計算機數(shù)字控制機床生產(chǎn)(圖14)。

圖14 面向計算機數(shù)字控制機床技術的極小曲面網(wǎng)格化拆分及平面布置Fig.14 Meshing decomposition and the plan layout for minimal surfaces by CNC techniques

2)鏈扣式節(jié)點設計。將三角形單元外邊緣長度進行五等分，并在中間4個分隔點處向外延伸出一定距離的耳板，在耳板范圍內(nèi)預留兩個相距16～18 mm的兩個圓形孔洞(直徑為4 mm)以便鉚釘打入。通過鏈扣式耳板對接構造，一方面在局部產(chǎn)生了剛域和加勁肋，起到了強化面外剛度的作用；另一方面也較為隱秘，達到較好的美觀程度。

3)拍平、布置和切割。將帶有耳板的條幅式單元進行平面展開，拍平為計算機輔助設計平面圖紙進行布置，數(shù)控機床便可將布置好的計算機輔助設計圖紙進行精準切割和量化生產(chǎn)。

4)擬合目標曲面。這個步驟是將上述已經(jīng)平面化生產(chǎn)的條幅式平板進行彎折、拼裝，擬合出目標曲面。首先，進行相鄰三角面交角的標志；第二，根據(jù)交角的大小和材料屬性進行彎曲和彎折；第三，相鄰條幅式單元進行耳板對位，鉚釘連接。以此類推，擬合出目標曲面。

3.2 拼 裝

對高為7.8 m、直徑為7.6 m的大尺度異規(guī)曲面模型進行拼裝，將面臨兩個難題：第一，由于非常輕薄(鋁板厚度只有1.5 mm，厚度約為球體直徑的1/5 000)，整體未成型之前結構剛度低，變形大且容易失穩(wěn)；第二，單元之間的拼接螺絲孔直徑只有4 mm，精準的高空作業(yè)是一個巨大的挑戰(zhàn)?；谶@些問題的考量，最終采用了試裝方案如下：先組裝管狀框架，以產(chǎn)生一定的臨時空間剛度，再以管狀框架為依托，輔助周邊的腳手架進行外圍次級結構的組裝，最后采用吊車或者龍門架進行高空部分的作業(yè)(圖15)。

a—激光切割出條幅式肋板； b—肋板按設計角度彎折； c—肋板之間通過鉚釘縫合； d—部件組裝成型； e—部件組裝-低空作用； f—部件排裝-高空作用； g—整體組裝成型。圖15 制作與拼裝過程Fig.15 Production and assembly processes

4 結束語

通過數(shù)學公式生成的極小曲面，具有特殊的數(shù)學美感與空間藝術感染力，可為建筑創(chuàng)作帶來新穎而豐富的空間題材。在應對實際應用的復雜性層面，將數(shù)學模型向力學模型轉化是問題的本質(zhì)；而力與形的關系分析與數(shù)字建構論證，是解決高度復雜異規(guī)雙曲面殼體現(xiàn)實建造難題的關鍵所在和有效保證。

極小曲面由數(shù)學公式及計算機算法生成，具有特別的數(shù)學美感與藝術狀態(tài)，為建筑空間提供了新穎而豐富的建筑空間創(chuàng)作題材。然而由于其高度形態(tài)復雜以及極致輕薄，對結構設計以及曲面制作技術，構成了高難度的挑戰(zhàn)。從力學的角度切入，在分析力與形的關系原理基礎上，采用定性分析與定量計算相結合的試驗方案，重點探討和論證如何將數(shù)學模型向力學模型轉換的概念和方法。并基于經(jīng)濟性考量，探討如何通過參數(shù)化設計和計算機數(shù)控機床技術的結合，有效地實現(xiàn)對極小曲面進行分解、擬合、制作和拼裝。作為一種量化實驗的演示和技術路線初探，可為建筑參數(shù)化設計與結構力學協(xié)同生形的研究提供實證參考與理論線索，可為針對于極小曲面的結構找形的專業(yè)軟件的面世起積極的催化作用。