徐精誠(chéng)， 連增增， 董佳琪， 岳哲

(河南理工大學(xué)測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院， 焦作 454000)

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)在進(jìn)行短基線相對(duì)定位時(shí)，主要面臨如下三大誤差源的干擾：與衛(wèi)星端有關(guān)的誤差，如衛(wèi)星星歷誤差、衛(wèi)星鐘差；與傳輸路徑有關(guān)的誤差，如電離層及對(duì)流層延遲誤差；與接收機(jī)有關(guān)的誤差，如接收機(jī)鐘差等。上述誤差基本可以通過(guò)差分技術(shù)和模型改正進(jìn)行削弱和消除[1]，但受測(cè)站周圍環(huán)境影響因素較大的多路徑誤差無(wú)法通過(guò)此類方法消除，成為制約GNSS定位精度的主要因素之一[2]。因此，削弱多路徑誤差在衛(wèi)星相對(duì)定位中的影響，對(duì)于提高GNSS定位精度具有重要意義。

但多路徑誤差是一種非平穩(wěn)的隨機(jī)誤差，易受周圍環(huán)境影響，削弱難度較大。對(duì)此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開(kāi)了大量的研究[3-5]。目前，削弱多路徑誤差的方式主要有三類：①選擇合適的站址，避免附近有大面積水域和高層建筑物；②對(duì)接收機(jī)的硬件方面進(jìn)行改進(jìn)，主要有特殊天線法、窄相關(guān)、多徑消除(multipath eliminating technology，MET)和多徑估計(jì)延遲鎖相環(huán)(multipath estimation delay lock loop，MEDLL)等技術(shù)[6]；③對(duì)數(shù)據(jù)的后處理方法進(jìn)行研究，主要分為基于恒星日濾波改正模型和頻域?yàn)V波法兩類[7]。其中基于恒星日濾波改正模型主要是利用衛(wèi)星具有周日重復(fù)這一特性，通過(guò)單歷元算法解算靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)提取多路徑誤差序列，校正后續(xù)相鄰時(shí)間段誤差。但隨著時(shí)間的推移，多路徑效應(yīng)的重復(fù)性也在不斷降低。而頻域?yàn)V波算法主要分為經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[8](empirical mode decomposition，EMD)和小波變換[9](wavelet transform，WT)方法及其相應(yīng)改進(jìn)算法[10-11]。

不同于其他系統(tǒng)，北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Beidou satellites navigation system，BDS)采用多星座設(shè)計(jì)，增加了GEO(geostationary earth orbit)和IGSO(inclined geosynchronous orbit)兩種高軌衛(wèi)星，能增加觀測(cè)時(shí)段的有效衛(wèi)星數(shù)，有利于提高區(qū)域定位精度[12]。當(dāng)這兩種衛(wèi)星參與高精度載波定位時(shí)，會(huì)對(duì)定位模型的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響，從而導(dǎo)致BDS與其他系統(tǒng)的多路徑效應(yīng)特征存在著差異性[13]。因此，眾多學(xué)者對(duì)如何削弱BDS多路徑效應(yīng)，進(jìn)行了大量研究。Song等[14]提出一種基于小波分解的GEO衛(wèi)星多路徑誤差校正方法，有效改正了GEO衛(wèi)星的多路徑誤差；謝秉辰等[15]利用小波分解對(duì)多路徑相關(guān)周期性誤差進(jìn)行降噪處理，提高了北斗變形監(jiān)測(cè)的精度；楊威等[16]針對(duì)BDS星座特點(diǎn)，提出一種基于恒星日濾波與小波分解結(jié)合的BDS多路徑削弱方法，提高了BDS定位精度。然而，小波方法也存在無(wú)法分解信號(hào)的高頻頻段的局限性。

針對(duì)BDS系統(tǒng)星座特性，現(xiàn)提出一種小波包(wavelet packet，WPT)分解重構(gòu)算法來(lái)削弱BDS多路徑誤差。該算法基于小波包分解重構(gòu)原理來(lái)提取多路徑誤差序列，通過(guò)分解尺度空間和小波空間進(jìn)一步細(xì)化信號(hào)的高頻部分，彌補(bǔ)小波方法無(wú)法提取信號(hào)高頻部分多路徑誤差的缺陷；再利用提取的多路徑誤差序列對(duì)后續(xù)相鄰天的BDS坐標(biāo)序列進(jìn)行改正，從而實(shí)現(xiàn)BDS多路徑誤差的削弱。

1 WPT算法原理及降噪步驟

1.1 WPT分解重構(gòu)原理

WPT分解和重構(gòu)原理[17]如下。

(1)

小波包分解表示為

(2)

小波包重構(gòu)表示為

(3)

式中：h(·)為低通濾波器；g(·)為高通濾波器；k、l為分解層數(shù)；h、g為濾波器系數(shù),h與尺度函數(shù)有關(guān),g與小波函數(shù)有關(guān)。以一個(gè)3層小波包分解為例，如圖1所示。

圖1 3層小波包分解結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of three-layer WPT decomposition

S0,0為分解前的原始信號(hào)，由原始信號(hào)逐級(jí)分解，層層遞進(jìn)，得到各子信號(hào)。下面的Sj,i表示第j層(尺度數(shù))第i個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分解信號(hào)。信號(hào)S經(jīng)過(guò)j層小波包分解后可以表示為

S=Sj,0+Sj,1+…+Sj,2j-2+Sj,2j-1

(4)

按照?qǐng)D1所示方式進(jìn)行分解，信號(hào)在第j層小波包分解后，得到2j個(gè)特征信號(hào)，每個(gè)特征信號(hào)與相應(yīng)頻率段相匹配。由于原信號(hào)包含的有效信息集中在某幾個(gè)子頻帶，所以必須對(duì)子頻帶進(jìn)行篩選。保留有效成分集中的信息頻帶，對(duì)混合頻帶進(jìn)行濾波處理，噪聲頻帶舍棄，重構(gòu)信號(hào)后，得到干凈的多路徑誤差序列。與傳統(tǒng)方法相比，WPT算法能夠細(xì)化信號(hào)的高頻部分，通過(guò)互相關(guān)系數(shù)大小來(lái)抑制噪聲，同時(shí)保留有效信號(hào)不丟失，提高信號(hào)的降噪效果。

1.2 互相關(guān)分析

互相關(guān)系數(shù)是衡量?jī)山M隨機(jī)信號(hào)在頻域內(nèi)相關(guān)性的指標(biāo)，各子頻帶xi(t)和原信號(hào)x(t)的互相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式為

(5)

式(5)中：cov[x(t),xi(t)]為x(t)、xi(t)的協(xié)方差。

以各子頻帶與原信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)為依據(jù)，如果二者間的互相關(guān)系數(shù)越大，則子頻帶中含原信號(hào)的有效成分越多。一般認(rèn)為[18]，當(dāng)0≤R≤0.1時(shí)，表示兩種信號(hào)弱相關(guān)；當(dāng)0.1≤R≤0.5時(shí)，表示兩種信號(hào)實(shí)相關(guān)；當(dāng)0.5≤R≤1，表示兩種信號(hào)強(qiáng)相關(guān)。因此，可以按照互相關(guān)系數(shù)的大小來(lái)確定各子頻帶的性質(zhì)。若0.5≤R[x(t),xi(t)]≤1，代表子頻帶是有效信息成分占主導(dǎo)的信息頻帶，予以保留；若0.1≤R[x(t),xi(t)]≤0.5，代表子頻帶中既含有信息成分，也包含噪聲成分，可通過(guò)軟閾值降噪手段進(jìn)行處理；若0≤R[x(t),xi(t)]≤0.1，代表子頻帶是噪聲成分占主導(dǎo)的噪聲頻帶，有效信息成分較少，直接舍棄。

圖2 WPT算法降噪流程Fig.2 WPT of noise reduction process

1.3 小波閾值降噪原理

對(duì)于多路徑誤差這類隨機(jī)非平穩(wěn)信號(hào)，常用軟閾值和硬閾值濾波方法進(jìn)行降噪。

軟閾值函數(shù)定義為

(6)

硬閾值函數(shù)定義為

(7)

1.4 WPT降噪及BDS多路徑誤差削弱流程

WPT算法降噪流程如圖2所示，削弱BDS多路徑誤差的具體步驟如下。

(1)BDS原始坐標(biāo)序列x(t)通過(guò)小波包分解成若干個(gè)子頻帶。

(2)利用兩個(gè)指標(biāo)M1=0.1和M2=0.5，將子頻帶細(xì)化分為噪聲頻帶、混合頻帶、信息頻帶三類。

(3)多路徑誤差主要集中在信息頻帶和混合頻帶“干凈”部分，所以舍棄噪聲頻帶，利用軟閾值濾波對(duì)于混合頻帶進(jìn)行處理，得到的 “干凈”信息與信息頻帶進(jìn)行重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)BDS坐標(biāo)序列降噪。

(4)將降噪后的BDS坐標(biāo)序列x′(t)作為多路徑誤差改正模型。

(5)利用x′(t)改正后續(xù)相鄰天的BDS坐標(biāo)序列，即實(shí)現(xiàn)BDS多路徑誤差削弱。

2 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

設(shè)含噪聲的模擬數(shù)據(jù)模型為

ut=xt+et

(8)

式(8)中：et為正態(tài)白噪聲序列；xt為原始信號(hào)；ut為含噪信號(hào)；t為時(shí)間。

構(gòu)成的模擬信號(hào)模型為

(9)

2.1 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

本文構(gòu)建的仿真信號(hào)模型如式(9)所示，仿真數(shù)據(jù)的采樣間隔為1 s，樣本數(shù)為8 000，在原始模擬信號(hào)中分別加入服從正態(tài)分布N(0,0.502)、N(0,1.002)、N(0,1.502)、N(0,2.002)、N(0,2.502)、N(0,3.002)的6組高斯白噪聲數(shù)據(jù)。為了定量說(shuō)明本文提出WPT算法的降噪效果，選定了3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：信噪比(signal noise ratio，SNR)、互相關(guān)系數(shù)R、均方根誤差(root mean square error，RMSE)，計(jì)算公式為

圖3 不同降噪算法降噪效果對(duì)比Fig.3 Comparison of noise reduction effects of different noise reduction methods

(10)

(11)

(12)

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文WPT算法的有效性，分別應(yīng)用EMD、WT、WPT 3種算法對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行降噪處理。統(tǒng)計(jì)在不同噪聲水平下，經(jīng)3種算法降噪后信號(hào)信噪比、互相關(guān)系數(shù)、均方根誤差的值，如表1所示。為了對(duì)比不同算法的降噪性能，給出et服從N(0,2.002)時(shí)，三種算法的降噪效果如圖3所示。

由表1可知，隨著噪聲水平的增加，3種算法的SNR和R在不斷地增大，RMSE在不斷地減小，但不同的算法呈現(xiàn)不同的降噪效果。在噪聲水平較低時(shí)，三種算法的互相關(guān)系數(shù)R都趨近于1，SNR值和RMSE值都大致相同。此時(shí)，三種算法的降噪效果大致相同。但隨著噪聲水平的不斷增加，WPT算法的SNR和R要大于EMD算法和WT算法，RMSE要遠(yuǎn)小于EMD算法和WT算法。此時(shí)，WPT算法的降噪效果要優(yōu)于EMD算法和WT算法。從圖3可以看出，同一噪聲水平下，WPT算法處理后的仿真信號(hào)更加平滑，所含噪聲量更少。

從上述分析來(lái)看，WPT算法的整體降噪效果要優(yōu)于EMD算法和WT算法。說(shuō)明本文提出的WPT算法具有較好的降噪效果，可以用于BDS多路徑誤差的削弱。

表1 不同降噪算法降噪效果統(tǒng)計(jì)Table 1 Noise reduction effect statistics of different noise reduction algorithms

3 BDS實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文WPT算法的有效性，在仿真實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證。本實(shí)驗(yàn)選用河南理工大學(xué)測(cè)繪學(xué)院樓頂南方CORS站和國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室樓頂華測(cè)CORS站的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，接收機(jī)類型分別為N0-ANT1和CHC P5。衛(wèi)星截止高度角設(shè)為5°，基線長(zhǎng)度為368.70 m，采集時(shí)間自2021年7月04日0時(shí)—2021年7月6日24時(shí)，采樣間隔為30 s。實(shí)驗(yàn)場(chǎng)所周圍環(huán)境如圖4所示，數(shù)據(jù)處理策略如表2所示。

圖4 試驗(yàn)站周圍環(huán)境Fig.4 Surrounding environment of the test station

表2 數(shù)據(jù)處理策略Table 2 Data processing strategy

以南方CORS站作為基準(zhǔn)站，華測(cè)CORS站作為試驗(yàn)站，3 d靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)RTKLIB軟件的RTKPOST后處理模塊進(jìn)行處理，得到試驗(yàn)站三維坐標(biāo)序列。通過(guò)短基線載波雙差解算可以對(duì)電離層延遲、對(duì)流層折射、衛(wèi)星和接收機(jī)鐘差等誤差進(jìn)行有效的消除，因此，認(rèn)為此時(shí)得到的試驗(yàn)站坐標(biāo)序列中主要存在隨機(jī)噪聲誤差與多路徑誤差。為了清晰直觀的表示連續(xù)3 d的坐標(biāo)序列趨勢(shì)對(duì)比，將3 d的坐標(biāo)序列繪制于同一圖中，如圖5所示(將第2天與第3天的N、E、U方向的坐標(biāo)序列分別依次增加4 mm和8 mm)。3 d之間坐標(biāo)序列的相關(guān)系數(shù)，如表3所示。

圖5 3 d BDS不同方向坐標(biāo)序列Fig.5 Day1～Day3 coordinate sequence of BDS in different directions

從圖5和表3可以看出，相鄰3 d的BDS原始坐標(biāo)序列具有明顯的相關(guān)性。因此，利用衛(wèi)星具有周日重復(fù)性及提取的BDS多路徑誤差序列對(duì)后續(xù)觀測(cè)值進(jìn)行誤差改正。E方向的相關(guān)系數(shù)略低，其原因可能是接收機(jī)E方向較空曠無(wú)遮擋，致使多路徑效應(yīng)較低。

表3 坐標(biāo)序列相關(guān)系數(shù)Table 3 Coordinate sequence correlation coefficient

圖6 第1天不同方向降噪效果Fig.6 Day1 noise reduction effect in different directions

為了驗(yàn)證WPT算法的降噪效果，分別利用EMD、WT和WPT算法對(duì)第1天的BDS原始坐標(biāo)序列進(jìn)行降噪實(shí)驗(yàn)。三種算法的降噪效果對(duì)比，如圖6所示。降噪前后坐標(biāo)序列的RMSE大小，如表4所示。

從圖6中可以看出，WPT算法提取的多路徑誤差序列相較于EMD、WT算法更加平滑，說(shuō)明WPT算法提取的多路徑誤差序列包含的噪聲要少于EMD、WT算法。因此，WPT算法提取多路徑誤差序列的效果要優(yōu)于EMD、WT算法。

從表4中可知，WPT算法濾波后BDS坐標(biāo)序列的RMSE要低于其他兩種算法，說(shuō)明WPT算法相較于EMD和WT算法，能夠更好地去除隨機(jī)噪聲。還有濾波前后，BDS坐標(biāo)序列的RMSE改變量較小，這是因?yàn)樵跀?shù)據(jù)預(yù)處理時(shí)，選用了前向后向?yàn)V波，在一定程度上降低了數(shù)據(jù)的隨機(jī)噪聲，多路徑誤差占據(jù)主導(dǎo)地位。

表4 降噪前后坐標(biāo)序列的RMSETable 4 RMSE of coordinate sequence before and after denoising

圖7 三種算法提取的多路徑誤差序列Fig.7 Multipath error model extracted by three algorithms

EMD、WT、WPT 3種算法提取的3 d N方向多路徑誤差序列，如圖7所示。通過(guò)對(duì)比可知，WPT算法提取的多路徑誤差序列明顯好于WT、EMD算法。在細(xì)節(jié)部分上，相較于其他兩種算法，經(jīng)WPT算法處理后的多路徑誤差序列更加平滑。這表明，WPT算法將高頻的隨機(jī)噪聲去除的比較徹底，提取出的多路徑誤差序列更加干凈。因此，WPT算法要優(yōu)于EMD、WT算法。

濾波后多路徑誤差序列的相關(guān)系數(shù)，如表5所示。由表3和表5對(duì)比可知，WPT算法提取3 d多路徑誤差序列的相關(guān)性高于EMD、WT算法，進(jìn)一步表明，WPT算法能較好地提取多路徑誤差序列。

為了分析本文基于小波包分解重構(gòu)原理提出的WPT算法在削弱多路徑誤差中的效果，利用第1天的多路徑誤差序列來(lái)改正隨后第2天、第3天的原始坐標(biāo)序列。第2天、第3天改正后坐標(biāo)序列的RMSE，如表6所示。

從表6可知，WPT算法的改善效果要優(yōu)于EMD、WT算法。對(duì)比N、E、U 3個(gè)方向的RMSE值和改善效果，第2天整體改善效果要高于第3天，因?yàn)榈?天和第2天的多路徑誤差序列相關(guān)系數(shù)更大。從第2天來(lái)看，U方向上的改正效果最好為83%，N、E方向上分別提升77%、78%。因?yàn)閁方向上多路徑誤差序列相關(guān)性最大，受多路徑效應(yīng)的影響最大，所以多路徑誤差濾除的效果最好。

表5 濾波后多路徑誤差序列的相關(guān)系數(shù)Table 5 Correlation coefficients of multipath error sequence after filtering

表6 多路徑改正模型前后坐標(biāo)序列的RMSE值Table 6 RMSE of coordinate sequences before and after multipath correction model

4 結(jié)論

基于小波包分解重構(gòu)原理提出了一種削弱BDS多路徑誤差的WPT算法，并將其與經(jīng)典的EMD、WT算法進(jìn)行了仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)比較，通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，得出以下結(jié)論。

(1)在仿真實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)比分析WPT算法、EMD算法及WT算法在不同噪聲水平下降噪效果可知，WPT算法的降噪效果要優(yōu)于EMD、WT算法，表明WPT算法可以用于BDS多路徑誤差削弱。

(2) 將WPT算法用于BDS多路徑誤差改正，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，WPT算法對(duì)BDS多路徑誤差的削弱效果優(yōu)于EMD、WT算法，在N、E、U 3個(gè)方向上的精度分別提升77%、78%、83%，有效地提高了BDS的定位精度。