李彥梅 劉惠漢 張朝龍, 羅來勁

(1.安慶師范大學(xué)電子工程與智能制造學(xué)院 安慶 246011；2.金陵科技學(xué)院智能科學(xué)與控制工程學(xué)院 南京 211169)

1 引言

鋰離子電池作為一種新型的清潔能源，以其低成本、高能量密度和高安全性等突出特點，被廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備、電動汽車和航空航天領(lǐng)域[1-2]。然而，鋰離子電池頻繁的充放電會導(dǎo)致鋰離子的不斷損失，并提高電池的內(nèi)阻。這些不可逆的電化學(xué)反應(yīng)是導(dǎo)致鋰離子電池老化的主要原因。容量作為電池的關(guān)鍵性能參數(shù)之一，被廣泛用于量化電池的老化程度[3]。當(dāng)電池的最大放電容量衰減至額定容量的 70%～80%時，鋰離子電池就被認(rèn)為達(dá)到了壽命終點(End of life, EOL)而被退役[4]。同時，把當(dāng)前到EOL的電池充放電循環(huán)次數(shù)定義為剩余使用壽命。如果電池在達(dá)到失效閾值后繼續(xù)使用，可能會導(dǎo)致重大損失。因此，為了有效地預(yù)防事故的發(fā)生，必須開發(fā)一種可靠的方法，為電池的更換和維護(hù)提供基本信息[5]。

對鋰離子電池準(zhǔn)確的可用容量估計和剩余壽命預(yù)測是故障預(yù)測和健康管理(Prognostics and health management，PHM)過程中的核心技術(shù)，是需要克服的關(guān)鍵和挑戰(zhàn)性問題。許多學(xué)者都在關(guān)注這個問題，并提出了許多方法。一般來說，這些方法可以分為兩類：數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法[6-13]和基于模型的方法[14-25]。

基于電池的歷史運行數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)驅(qū)動技術(shù)使用智能機(jī)器學(xué)習(xí)算法，將電池外部特征映射至容量衰減來預(yù)測電池容量和剩余使用壽命。例如，循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Recurrent neural network, RNN)[6]、長短期記憶遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Long short-term memory recurrent neural network，LSTM RNN)[7]、支持向量機(jī)(Support vector machine, SVM)[8-9]、相關(guān)向量機(jī)(Relevance vector machine, RVM)[10-11]，高斯過程回歸[12]與自回歸[13]等算法引起了眾多學(xué)者廣泛的興趣并被不斷加以改進(jìn)，以提高預(yù)測精度。然而，數(shù)據(jù)驅(qū)動方法的性能會受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小與精度的嚴(yán)重影響。此外，收集大規(guī)模的電池老化數(shù)據(jù)集還需要大量耗時的循環(huán)充放電測試。

相比與數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法，基于模型的方法簡化了電池復(fù)雜的內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)以反映電池的運行特性，它可以進(jìn)一步分為電化學(xué)模型、等效電路模型和經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀?yán)康為等[14]將簡化的準(zhǔn)二維(P2D)電化學(xué)模型與雙狀態(tài)熱模型結(jié)合，建立電化學(xué)-熱耦合簡化機(jī)理模型，實現(xiàn)了高倍率放電曲線擬合。SADABADI等[15]提出了一種增強型單粒子模型的參數(shù)估計算法，通過估計可循環(huán)鋰的摩爾數(shù)和歐姆電阻得出的綜合指標(biāo)來設(shè)計一個剩余壽命預(yù)測器。盡管電化學(xué)模型能夠從電池的內(nèi)部機(jī)制和結(jié)構(gòu)方面定義電池的降解特性，但能表征電池微觀機(jī)制的參數(shù)卻很難確定和測試。等效電路模型采用電氣元件來模擬鋰離子電池的內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)，以反映電池的運行特性?？柭鼮V波算法[16-17]和粒子濾波算法[18-19]在等效電路模型的參數(shù)估計中發(fā)揮了重要作用。YU等[20]提出一種開路電壓模型融合方法，采用自適應(yīng)立方卡爾曼濾波器來估計不同溫度下動態(tài)壓力測試的電池容量。TIAN等[21]利用二階RC等效電路模型來模擬鋰離子電池的動態(tài)變化，將三種典型的矩陣分解策略引入容積卡爾曼濾波器中，以克服非正定誤差協(xié)方差矩陣問題，提高其收斂速率。SUN等[22]提出了一種新定義：剩余充電電量，用于描述電池老化狀態(tài)。然后利用雙自適應(yīng)雙擴(kuò)展卡爾曼濾波算法來確定模型參數(shù)和各工作條件下每個電池的剩余充電電量。DONG等[23]使用基于布朗運動的退化模型和粒子濾波進(jìn)行長期剩余使用壽命預(yù)測。所提出的模型將容量退化視為布朗運動粒子在給定時間間隔內(nèi)的移動距離，然后使用粒子濾波算法來估計布朗運動的漂移參數(shù)。ZHANG等[24]采用線性優(yōu)化組合重采樣技術(shù)克服了無痕粒子濾波算法中的粒子多樣性缺陷問題，從而提高了預(yù)測精度。然而，等效電路模型的準(zhǔn)確性與電子元件的數(shù)量和識別參數(shù)的準(zhǔn)確性有關(guān)，因此很難建立一個精確的等效電路模型。經(jīng)驗?zāi)Ｐ蚚25]是基于數(shù)據(jù)擬合的思想而提出的，它假定電池的容量衰減軌跡遵循某種數(shù)學(xué)關(guān)系。因此，可以通過建立一個能夠合理描述電池老化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型來完成電池的剩余壽命預(yù)測。

鋰離子電池的容量衰降過程具有長距離依賴(Long-range dependence，LRD)特性，其電池容量衰降曲線表現(xiàn)為非線性。常用的幾類電池老化經(jīng)驗?zāi)Ｐ捅碚髟撎匦孕Ч患?，需要進(jìn)行評估與驗證。此外，模型參數(shù)辨識與數(shù)據(jù)擬合對樣本數(shù)據(jù)波動的敏感性也需要得到更好的解決方法。

基于上述考慮，本文提出了一種雙高斯新型老化模型，以實現(xiàn)對鋰電池剩余使用壽命的精準(zhǔn)預(yù)測。由于鋰電池容量衰減隨充放電循環(huán)次數(shù)近似呈高斯分布，雙高斯模型在電池容量衰減前中期具有良好的擬合效果，且在衰減后期仍然保持與容量衰減一致的趨勢。同時引入擬合相關(guān)系數(shù)與擬合均方根誤差對雙高斯模型進(jìn)行評價與分析，以驗證模型的適用性。根據(jù)測量的鋰電池老化數(shù)據(jù)，利用過濾預(yù)測方法對模型參數(shù)進(jìn)行實時更新和修正。最后利用實驗室測量的鋰電池老化數(shù)據(jù)和美國國家航空航天局(National Aeronautics and Space Administration，NASA)加速老化數(shù)據(jù)對所提模型的性能進(jìn)行了評估。經(jīng)測試，本文提出的老化模型可以快捷、高精度地預(yù)測鋰電池剩余使用壽命，預(yù)測誤差均低于其他經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀?/p>

2 電池老化經(jīng)驗?zāi)Ｐ?/h2>

2.1 常用經(jīng)驗?zāi)Ｐ?/h3>

電池放電容量作為電池的關(guān)鍵性能參數(shù)之一，可用于量化電池的老化程度。常用的電池容量衰減經(jīng)驗?zāi)Ｐ陀须p指數(shù)模型和多項式模型，見式(1)與式(2)。

式中，k是充放電循環(huán)次數(shù)；Q?(k)是第k次充放電循環(huán)時估計的放電容量。

雙指數(shù)模型適用的條件是其擬合對象的變化趨勢近似于指數(shù)函數(shù)。此模型的變化趨勢受衰減參數(shù)b0與d0的影響較大，當(dāng)該兩參數(shù)的絕對值較小時，雙指數(shù)模型的變化趨勢接近于線性變化，其下降速度小于鋰電池的容量衰減趨勢，導(dǎo)致擬合誤差較大。

多項式模型的精度與其階數(shù)有關(guān)，通常選擇出先驗最佳階數(shù)是十分困難的。當(dāng)選擇的階數(shù)較高時，容易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。

2.2 雙高斯模型

鋰電池的容量衰減是一個連續(xù)而非線性的過程。鋰電池在初始充放電周期，容量衰減較為緩慢，隨著充電循環(huán)次數(shù)增加，其容量在一段充放電周期內(nèi)急劇下降，快速接近失效閾值，此后容量衰減速度減緩，整個衰減過程伴隨容量增容現(xiàn)象。

從整體來看，鋰電池容量衰減過程與高斯過程十分接近，因此可以采用高斯模型來描述鋰電池容量衰減過程。本文提出一種雙高斯模型，采用兩個高斯模型的加權(quán)和來衡量鋰電池容量衰減過程的LRD特性。雙高斯模型定義如下

式中，k是充放電循環(huán)次數(shù)；a0、b0、c0、d0、e0、f0是雙高斯模型的初始參數(shù)；是第k次充放電循環(huán)時估計的放電容量。

2.3 雙高斯模型參數(shù)辨識與建模方法

雙高斯模型對電池容量衰減具有良好的擬合效果，但由于衰減參數(shù)的增加，也提升了參數(shù)辨識難度。列文伯格-馬夸爾特(Levenberg-Marquardt，LM)算法常用于求解無約束非線性最小二乘問題，其對于過參數(shù)化問題不敏感，但能有效處理冗余參數(shù)問題。PF是一種基于蒙特卡洛仿真的近似貝葉斯濾波算法。它通過計算粒子集合的樣本均值來估計被辨識的參數(shù)，是一種概率統(tǒng)計的算法。在本文中，基于歷史容量數(shù)據(jù)利用LM算法與PF算法建立鋰電池剩余使用壽命雙高斯預(yù)測模型。具體算法步驟如下。

(1) 利用LM算法獲得PF的X0=[a0,b0,c0,d0,e0,f0]，其中a0、b0、c0、d0、e0、f0是雙高斯模型的初始參數(shù)。

(2) 由先驗分布P(X0)生成粒子集為粒子總數(shù)，所有粒子初始化權(quán)值

(4) 通過式(4)計算粒子集中每個粒子的重要性權(quán)值，并按式(5)對權(quán)值進(jìn)行歸一化處理

(6) 輸出

3 試驗流程

3.1 試驗設(shè)備與數(shù)據(jù)

基于實驗室搭建的高性能電池測試系統(tǒng)，包括計算機(jī)、單體電池檢測設(shè)備以及恒溫箱，對鋰離子電池在恒溫25 ℃下進(jìn)行老化試驗，測得鋰離子電池老化數(shù)據(jù)。計算機(jī)為戴爾計算機(jī)搭載英特爾i5處理器，用于記錄和保存電池試驗數(shù)據(jù)。試驗采用NEWARE電池檢測設(shè)備，具有高性能、高精度等特點，可同時對多節(jié)單體電池進(jìn)行充放電試驗。試驗裝置如圖1所示。

圖1 試驗裝置

試驗數(shù)據(jù)采用由實驗室搭建的高性能電池測試系統(tǒng)測取的鋰電池老化數(shù)據(jù)和NASA數(shù)據(jù)庫中的鋰電池加速老化數(shù)據(jù)。實驗室電池為力神 18650磷酸鐵鋰電池，標(biāo)稱容量和電壓分別為 2.4 A·h和3.6 V，鋰電池的陽極與陰極分別由石墨和磷酸鐵鋰構(gòu)成。實驗室單體鋰電池(簡稱電池 1)與 NASA單體鋰電池(簡稱電池2)老化測試流程如圖2所示。

圖2 老化測試流程圖

電池1在25 ℃恒溫環(huán)境下，以1.2 A恒流充電，直至電池端電壓達(dá)到截止電壓 4.2 V。然后維持4.2 V恒壓充電，直到電流下降至48 mA。擱置0.5 h，放電以2.4 A恒流運行，直到電池端電壓降至3.2 V。循環(huán)上述步驟進(jìn)行電池老化，當(dāng)電池放電容量達(dá)EOL，測試終止。電池1的額定容量為2.4 A·h，因此電池的EOL閾值設(shè)定為1.68 A·h。電池2老化試驗方法與電池1測試過程類似，在25 ℃進(jìn)行加速老化試驗。以 1.5 A恒流充電至電池端電壓達(dá)4.2 V，在維持 4.2 V恒壓充電直至充電電流降至20 mA。以2 A恒流放電，直至電池端電壓下降到2.7 V。電池2的額定容量是2.1 A·h，因此電池的EOL閾值設(shè)定為1.47 A·h。測試得到電池容量衰減曲線如圖3所示。

圖3 電池容量衰減曲線

由圖3可以觀察到，電池容量隨充放電循環(huán)次數(shù)增加而下降，老化試驗前期，容量衰減較緩，隨老化試驗進(jìn)行，電池容量在試驗中后期迅速衰減達(dá)到失效閾值。

3.2 試驗步驟

基于上述鋰電池老化數(shù)據(jù)，鋰電池剩余使用壽命具體預(yù)測步驟如圖4所示，并描述如下。

圖4 電池壽命預(yù)測流程圖

(1) 基于試驗數(shù)據(jù)擬合雙高斯模型，以驗證驗證模型的適用性，引入擬合相關(guān)系數(shù)與均方根誤差評價模型擬合結(jié)果。

(2) 將試驗數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練集與測試集，以便進(jìn)行壽命預(yù)測試驗。

(3) 基于訓(xùn)練集，使用 LM 算法辨識雙高斯模型初始參數(shù)值，利用 PF算法對模型參數(shù)進(jìn)行濾波處理，建立電池老化模型。

(4) 應(yīng)用建立的電池老化模型，預(yù)測鋰電池剩余使用壽命。

(5) 進(jìn)行擬合對比試驗與壽命預(yù)測對比試驗，驗證模型的可靠性與優(yōu)越性。

4 試驗結(jié)果與分析

4.1 擬合結(jié)果

在進(jìn)行鋰電池剩余使用壽命預(yù)測前，有必要對經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛿M合試驗數(shù)據(jù)，以驗證模型的適用性。引入皮爾遜相關(guān)系數(shù)R與擬合方均根誤差(Root mean square error, RMSE)對雙高斯模型擬合試驗數(shù)據(jù)優(yōu)劣進(jìn)行評價。R的取值范圍為[-1, 1]，為正值時，表明擬合值與測量值呈正相關(guān)，否則呈負(fù)相關(guān)。其絕對值越接近于 1，表明擬合結(jié)果與測量值的相關(guān)程度越高，即模型擬合度越理想。RMSE值越小，表示雙高斯模型擬合效果越好。

雙高斯模型初始參數(shù)辨識結(jié)果見表1。擬合結(jié)果如圖5所示，擬合誤差見表2。

表1 雙高斯模型參數(shù)辨識結(jié)果

從圖5中可以觀察到，兩種鋰電池的雙高斯擬合結(jié)果均緊貼各自的容量衰減曲線。表2中，兩種鋰電池的擬合相關(guān)系數(shù)R分別達(dá)到了 0.999 5和0.996 9，相應(yīng)的RMSE值也極小。這表明雙高斯模型可以很好地描述鋰電池容量衰減變化趨勢，其擬合值與電池容量測量值具有極高的相關(guān)性，且擬合誤差小。此外，因電池1的容量衰降曲線相對與電池2比較光滑，雙高斯模型擬合電池1的精度更高，擬合相關(guān)系數(shù)R值更大，取得的擬合誤差RMSE也更小。

圖5 高斯模型擬合結(jié)果

表2 擬合誤差

4.2 壽命預(yù)測結(jié)果

將大于額定容量70%的電池容量數(shù)據(jù)作為剩余使用壽命預(yù)測的試驗數(shù)據(jù)。為了評估所提出模型的精度，引入預(yù)測誤差指標(biāo)：平均絕對百分比誤差(Mean absolute percentage error, MAPE)和方均根誤差(RMSE)，定義如下

式中，和Qi分別為循環(huán)次數(shù)為i時，電池的預(yù)測容量與真實容量；n表示所有的循環(huán)次數(shù)；k表示預(yù)測起始點的循環(huán)次數(shù)。

電池1與電池2的EOL對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)依次為894、106。電池剩余使用壽命預(yù)測誤差 Error定義為預(yù)測壽命值與真實壽命值的絕對差值，預(yù)測結(jié)果如圖6所示，預(yù)測誤差見表3。

圖6 剩余使用壽命預(yù)測結(jié)果

表3 預(yù)測誤差

從圖6可以看出，所提出的老化模型可以有效地擬合兩種鋰電池的容量衰減曲線。兩種鋰電池的預(yù)測結(jié)果中MAPE均小于2%，預(yù)測的Error則相應(yīng)為2與1，這說明雙高斯模型可準(zhǔn)確預(yù)測鋰電池剩余使用壽命。但由于容量增容現(xiàn)象與測量數(shù)據(jù)包含噪聲等原因，模型預(yù)測對這些異常容量跳變點的預(yù)測能力還有待提升。

4.3 試驗對比與分析

4.3.1 擬合對比

為進(jìn)一步驗證所提出的老化模型的優(yōu)越性，根據(jù)式(1)的雙指數(shù)模型和式(2)中的二階多項式模型對電池1和電池2的老化數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合比較試驗。其中以電池2為例的擬合結(jié)果如圖7所示，擬合誤差見表4。

圖7 不同經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛯﹄姵?的擬合結(jié)果

表4 三類經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛯﹄姵?的擬合誤差

可以看到，此三類經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷臄M合均具有0.95以上的R值以及較小的RMSE值，即表明這三類經(jīng)驗?zāi)Ｐ途茌^好地描述電池容量隨充放電循環(huán)次數(shù)的變化趨勢。尤其是雙高斯模型取得了最佳的擬合效果，其擬合的R為0.996 9，為三類模型擬合中的最大值，RMSE為0.015 0，在三類模型擬合中為最小值，這表明雙高斯模型相較于其他兩種經(jīng)驗?zāi)Ｐ途哂懈训臄M合效果。

從圖7a中可以觀察到，雙指數(shù)模型的擬合在前期比較貼合，但擬合中期的下降速度慢于容量衰減趨勢，中后期的擬合效果接近線性變化，這是由于若擬合得到兩個衰減參數(shù)較小，則雙指數(shù)模型的變化趨勢類似于線性變化，且下降速度慢。還可以利用統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)理論來做簡單理解，由于高斯分布為瘦尾分布，比指數(shù)分布衰減速度更快，能在鋰電池容量急劇下降階段表現(xiàn)出更好的擬合效果。此外，雙高斯模型具有4個獨立的衰減參數(shù)相互制衡，而雙指數(shù)模型只有兩個，這使得雙高斯模型受單一衰減參數(shù)變化影響較小。圖7b可觀察到，多項式模型的擬合結(jié)果幾乎成線性變化。這是因為多項式模型的擬合結(jié)果受階數(shù)影響大，若階數(shù)低，擬合的衰減參數(shù)小，則其擬合結(jié)果更加接近線性變化；若選擇較高階數(shù)，則容易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。雙高斯模型相比于多項式模型，不需要設(shè)置好最佳先驗階數(shù)，能有效防止出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。由于高斯分布在尾部衰減速度快，采用兩個高斯模型的加權(quán)和來減緩尾部下降速度，使得其變化趨勢更加接近實際的鋰電池容量衰減趨勢。綜上所述，雙高斯模型優(yōu)于常用的雙指數(shù)經(jīng)驗?zāi)Ｐ团c多項式經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，可以精確地描述鋰電池容量衰減變化趨勢。

4.3.2 壽命預(yù)測對比

分別對電池1和電池2進(jìn)行了剩余使用壽命預(yù)測對比試驗。預(yù)測對比結(jié)果如圖8所示。預(yù)測對比統(tǒng)計誤差見表5。

圖8 剩余使用壽命預(yù)測對比結(jié)果

表5 壽命預(yù)測統(tǒng)計誤差

從圖8可觀察到，雙指數(shù)模型與多項式模型的預(yù)測趨勢近似線性變化，這對鋰電池老化模型建模是十分不利的。在兩種電池預(yù)測試驗中，雙指數(shù)模型與多項式模型的預(yù)測趨勢呈現(xiàn)出滯后或超前于鋰電池容量衰減變化趨勢，而雙高斯模型則保持較好的預(yù)測穩(wěn)定性。表5中三種模型的預(yù)測結(jié)果也進(jìn)一步說明本文提出的模型優(yōu)于雙指數(shù)模型和多項式模型，所提出模型的MAPE、RMSE和 Error是三個模型中最小的。值得注意的是，在電池2的預(yù)測試驗中，雖然三種模型的預(yù)測結(jié)果較為接近，但雙高斯模型可以更好地表征鋰電池容量衰減過程中的LRD特性，提出的模型在預(yù)測過程中也表現(xiàn)出了更好的預(yù)測穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

本文提出了一種雙高斯模型用于鋰電池剩余使用壽命預(yù)測。利用雙高斯過程的分布特征靈活地反映了鋰離子電池容量衰減過程的LRD特性，可總結(jié)如下。

(1) 引入擬合相關(guān)系數(shù)R與擬合方均根誤差RMSE對幾類電池容量衰減經(jīng)驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行評估。擬合對比試驗表明，雙高斯模型可取得最佳的擬合效果且擬合誤差最小。

(2) LM算法與PF技術(shù)的結(jié)合極大增強了對模型參數(shù)進(jìn)行更新和修正的能力，有效地克服了預(yù)測方法中因數(shù)據(jù)擬合造成的預(yù)測不穩(wěn)定問題。

(3) 基于實驗室測得的單體電池老化數(shù)據(jù)和美國國家航空航天局的加速老化數(shù)據(jù)進(jìn)行鋰電池剩余壽命預(yù)測試驗。試驗結(jié)果顯示，電池1和電池2的壽命預(yù)測誤差 Error分別為 2與 1，兩種鋰電池的MAPE均小于 2%。并設(shè)計對比試驗進(jìn)一步將所提模型與其他幾類經(jīng)驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行比較，驗證了所提方法具有較好的預(yù)測性能。研究結(jié)果對單體電池容量衰減建模具有極強的指導(dǎo)意義和參考價值。