陳增運

（濟南市萊蕪實驗學校 山東濟南 271100）

數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學思想方法。教師利用數(shù)學結合的形式，可以提高學生靈活解決問題的能力，讓晦澀難懂、較為抽象的數(shù)學概念以圖形的形式具體地展現(xiàn)出來，有助于加深學生理解，并應用相關數(shù)學知識，激發(fā)學生的數(shù)學學習潛力。隨著新課改的不斷實踐和深化，傳統(tǒng)以教師為主體，學生被動接受知識內(nèi)容的教學模式無法滿足學生多元化的發(fā)展需求。在初中數(shù)學教學中，應用數(shù)形結合思想，可以增強學生自主探索的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

杜威的“思維五步法”凸顯的是學生的地位。杜威強調(diào)：“我們教育中將引起的改變是中心的轉(zhuǎn)移。這是一種變革，這是一種革命，和哥白尼把天文學的中心從地球轉(zhuǎn)移到太陽一樣的那種革命。在這里，兒童變成了太陽，教育的措施便圍繞他們而組織起來?！彼褜W生的發(fā)展視為一種自然的過程，教師的作用只在于引導學生的興趣，滿足他們的需要，不能對學生過多的干涉。杜威要求教師由指導者變成發(fā)起者，由向?qū)ё兂深檰?，學生由以前的被動接受變成主動探索，兒童由靜聽者變成研究的人和實驗的人。

一、數(shù)形結合的內(nèi)涵及應用原則

1.數(shù)形結合的內(nèi)涵

所謂數(shù)形結合，是指將抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與較為直觀、形象的幾何圖形和位置關系建立聯(lián)系并進行結合，將抽象的數(shù)學知識內(nèi)容與形象的圖形關系、幾何曲線建立聯(lián)系，實現(xiàn)抽象數(shù)學知識與形象的數(shù)學圖形融合，將復雜的數(shù)學內(nèi)容簡單化、具體化的數(shù)學教學方法。從數(shù)形結合的本質(zhì)來看，在具體教學中可以分為兩部分內(nèi)容。一是借“形”的生動性和直觀性的特點探討數(shù)學公式、數(shù)據(jù)特征。二是利用“數(shù)”的精確性探討形的屬性和特征。數(shù)形結合的教學方式涵蓋了代數(shù)和幾何學多方面的知識內(nèi)容，要求學生在學習過程中要做到融會貫通、舉一反三，培養(yǎng)學生從多角度、多維度來解決問題的能力和思維習慣。

2.數(shù)形結合思想的應用原則

在初中數(shù)學教學中應用數(shù)形結合思想，要遵循等價性原則、緊密性原則和單向性原則。所謂等價性原則，是指在數(shù)形轉(zhuǎn)換的過程中，要找到代數(shù)和幾何之間的相互聯(lián)系，明確代數(shù)性質(zhì)和幾何特征之間的轉(zhuǎn)換關系，遵循等價、等量的原則，才能更好地解決問題。在緊密性原則下，學生在學習數(shù)學和解決數(shù)學問題的方法時，要靈活應用代數(shù)技巧和幾何技巧，建立代數(shù)學和幾何學之間的緊密聯(lián)系[1]。單向性原則是指在解決具體數(shù)學問題時可以將復雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的代數(shù)問題，探索解決數(shù)學問題的最優(yōu)解，或者在解決具體代數(shù)問題時，采用相應的幾何方使復雜、抽象的代數(shù)問題變得更加具體、形象，在培養(yǎng)學生多元化解決問題難度的同時，提高解決數(shù)學問題的效率[2]。

二、數(shù)形結合思想的重要意義

1.簡化知識內(nèi)容，降低解析難度

在初中數(shù)學教學中，采用數(shù)形結合的教學方法，可以將復雜的數(shù)學理論和概念通過更加直觀、形象、具體的方式展現(xiàn)出來。數(shù)學是一門比較抽象的、注重培養(yǎng)學生邏輯思維能力和抽象思維能力的學科，學生要重點掌握解題技巧、解題方式，培養(yǎng)良好的學習習慣[3]。初中數(shù)學中的有些知識點內(nèi)容比較抽象、晦澀難懂，如果不采用適當?shù)慕虒W方法，不僅會增加學習難度，還會使學生產(chǎn)生畏難心理，在有些知識點中利用數(shù)形結合的教學方式可以強化學生從多角度、多方位去思考題目、解決數(shù)學難題的能力，簡化知識內(nèi)容。這就需要數(shù)學教師摒棄傳統(tǒng)模式下填鴨式的教學方法。結合現(xiàn)代學生多元化的需求和數(shù)學知識學習過程中存在的問題制定具有針對性的教學方案，以學生作為課堂主體，采用引導、分層的教學手段，以滿足不同學生的學習需求，提高學生的綜合能力和綜合素質(zhì)。

2.增加數(shù)學趣味，激發(fā)學生興趣

學生的學習能力不同，學習基礎也有所差別。在日常教學中，教師要深入分析全部學生的學習情況和數(shù)學基礎知識的掌握情況。初中時期是培養(yǎng)學生良好的學習習慣以及數(shù)學解題思維的重要階段[5]。教師要盡最大可能明確不同學生的學習能力和數(shù)學學習過程中存在的難題。讓學生在該階段養(yǎng)成學習數(shù)學的好習慣。采用數(shù)形結合的教學方法可以鍛煉學生多種解題思路，激發(fā)學生的求知欲和學習潛力，使不同層次的學生都能結合自身數(shù)學基礎知識的掌握情況和學習能力從圖形和數(shù)字中產(chǎn)生解題靈感，提高分析抽象數(shù)學問題的能力。

數(shù)形結合思想是利用“數(shù)”與“形”的緊密對接和巧妙轉(zhuǎn)換，讓學生迅速找到解題思路。要想要強化學生靈活應用數(shù)形結合解題思路和方法，教師首先要讓學生對數(shù)學內(nèi)容中的代數(shù)和幾何學的特征和特點有一個初步認知，掌握代數(shù)學和幾何學的基本知識內(nèi)容，在此基礎上，潛移默化地向?qū)W生灌輸“數(shù)”“形”結合解題思路的內(nèi)涵，明確“數(shù)”“形”結合的基本含義和重要作用[6]?；跀?shù)形結合思想理念下的數(shù)學教學，教師要讓學生熟練掌握數(shù)形結合的方法，培養(yǎng)其利用幾何技巧解決代數(shù)問題，或者利用代數(shù)技巧解決幾何問題的習慣和意識。這就需要數(shù)學教師在授課過程中引導學生自主探索，掌握和運用“數(shù)”“形”之間的聯(lián)結點，進一步培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通的學習能力。結合實際情況來看，在初中數(shù)學教學中，大多數(shù)情況下都是利用幾何技巧去解決復雜、晦澀難懂的抽象的代數(shù)問題。在該過程中，要實現(xiàn)以數(shù)化形，教師要向?qū)W生灌輸利用好數(shù)形結合解決思路的前提，明確數(shù)形之間的聯(lián)系性、緊密性和單向性。針對學生數(shù)學理解能力弱的問題，可以采用信息技術手段，強化學生理解，數(shù)學教師要增強自身創(chuàng)新教學的能力，在信息技術、多媒體技術迅速發(fā)展的背景下，通過動畫、多媒體、圖片等形式向?qū)W生展示數(shù)形轉(zhuǎn)換的過程，掌握實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換的技巧和方法，利用動畫展示的方式，不僅僅可以提高數(shù)學教學的嚴謹性，而且還能大大提高學生學習的積極性、主動性，降低學習的難度，進而提高學習效率。

國有水利工程農(nóng)業(yè)供水成本費用為執(zhí)行價與作物種植面積的乘積。斗口農(nóng)業(yè)供水量為水田斗口農(nóng)業(yè)供水量和旱地斗口農(nóng)業(yè)供水量之和，斗口水田毛灌溉定額為361 m3/畝（采用中稻和油菜輪種的毛灌溉定額多年平均值），斗口旱地毛灌溉定額為79 m3/畝（采用棉花的毛灌溉定額多年平均值）。根據(jù)計算公式，桃花山鎮(zhèn)農(nóng)民用水者協(xié)會國有水利工程水價為0.021元/m3，調(diào)關鎮(zhèn)和東升鎮(zhèn)農(nóng)民用水者協(xié)會國有水利工程水價為0.020元/m3。

3.優(yōu)化學生思維，扎實數(shù)學基礎

初中數(shù)學知識抽象性、概括性比較強。有些學生在短時間內(nèi)很難深入透徹理解相關知識點，數(shù)形結合教學方法最大的特點在于可以使“數(shù)”和“形”的知識點互相轉(zhuǎn)換，將抽象的數(shù)字、概念、公式以具體的圖像中呈現(xiàn)出來，可以拓展學生的思維，降低學習難度，增加學習興趣，培養(yǎng)思維意識[4]。不僅如此，根據(jù)具體的數(shù)學知識，應用數(shù)形結合的教學方式，可以優(yōu)化和解決傳統(tǒng)教學模式存在的諸多問題，使學生在掌握數(shù)學基本知識的基礎上積極探索代數(shù)和幾何之間的聯(lián)系，提高學生靈活解決問題的能力。受到傳統(tǒng)教學觀念的影響，有些教師在數(shù)學課堂上將重點知識內(nèi)容以板書的形式展現(xiàn)出來，有些學生沒能掌握正確的學習方法，在課堂有限的時間內(nèi)很難對數(shù)學學習內(nèi)容展開深入理解，學習效率不高。長此以往，成績得不到明顯提升，會打擊學生的學習積極性和主動性。數(shù)形結合教學方法的主要特征是讓學生在有限的課堂時間內(nèi)深入理解數(shù)學知識內(nèi)容，幫助學生解決學習的重點、難點和要點知識內(nèi)容，增強課堂的趣味性和有效性。

三、數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中的具體應用

1.融合數(shù)形結合思想，增加“數(shù)”“形”認知

實踐中，網(wǎng)約車的產(chǎn)生憑借新的技術條件和經(jīng)營方式突破了專營的市場藩籬，構成對傳統(tǒng)出租車經(jīng)營的巨大沖擊。我國傳統(tǒng)的出租車經(jīng)營在誕生之初因其國營性質(zhì)而采取行政許可專營方式，造成了出租車行業(yè)的自然壟斷屬性。當政府在對自然壟斷行業(yè)實行邊際成本定價管制時，為了分攤行業(yè)的平均成本，政府需要對其進行適度補貼或者賦予其壟斷地位。在面對網(wǎng)約車侵蝕原有出租車經(jīng)營者的利益時，政府不應繼續(xù)通過嚴厲的管制來排斥、壓制網(wǎng)約車的發(fā)展，而應以促進出租車市場健康發(fā)展和滿足廣大民眾出行需求為出發(fā)點改革原有的行政管理模式，充分發(fā)揮負面清單前述的自發(fā)管理、自由發(fā)展等積極因素，實現(xiàn)交通服務于民眾的經(jīng)濟、社會目的。

2.結合典型案例，進行一題多解訓練

當學生具備一定的數(shù)形結合解題思維和意識之后，教師要根據(jù)學生的學習情況引導學生在實際解題過程中應用數(shù)學結合的思維方式[7]。相比建立數(shù)形結合解題意識來說，解題思維的實際應用環(huán)節(jié)，教學和學習難度更大，提高數(shù)形結合解題效果，教師可以根據(jù)教材和教學目標引用經(jīng)典案例，引導學生主動探索一題多解的新途徑，拓展學生的思維。在具體教學過程中，教師可以在課堂上引用經(jīng)典題目，讓學生通過具體的題目實際應用數(shù)形結合的解題方式，讓學生自主體驗整個解題流程。其次，可以通過具體的數(shù)學題融入數(shù)形結合的解題方法，在解決某一代數(shù)問題時，可以讓學生繪制圖形進行輔助解題，將抽象、難以理解的數(shù)學概念以更加形象、具體的圖形方式呈現(xiàn)出來，降低學習難度。例如，在絕對值學習時，有些學生在短時間內(nèi)無法深入理解絕對值的概念，在解決具體題目時顯得力不從心。這種情況下，教師可以引導學生繪制數(shù)軸探索絕對值的概念，在深入理解絕對值的概念之后再應用到具體題目中。

3.聯(lián)系生活實際，實現(xiàn)生活化教學

結合實際情況來看，初中數(shù)學教學中，很多老師缺乏創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維，數(shù)學知識內(nèi)容的講解大多數(shù)情況下停留在課堂和理論教學層面。數(shù)學是一門實用性很強的學科，很多知識內(nèi)容在生活實踐中都有所體現(xiàn)。在數(shù)形結合思想意識培養(yǎng)過程中，教師可以將數(shù)學知識與學生的生活實際建立聯(lián)系，培養(yǎng)學生學以致用的能力[8]。在具體教學過程中，數(shù)學教師可以通過創(chuàng)設生活情境的方式，提高學生應用數(shù)形結合技巧的能力，將一些數(shù)學知識點轉(zhuǎn)換成生活實際中的案例。利用創(chuàng)設生活情境的方式開展數(shù)形結合教學方式的訓練時候，首先要讓學生理解相關數(shù)學知識點的重點、難點，在掌握相關數(shù)學知識關鍵點的基礎上，再強化學生將數(shù)學知識應用于實際場景中的能力，讓學生在所創(chuàng)設的生活場景中進一步加深對數(shù)形結合解決數(shù)學問題的理解。其次，教師要以數(shù)學教材為核心，結合現(xiàn)實生活中的案例構建數(shù)學模型，探索數(shù)與形之間的聯(lián)系[9]。例如，教師首先要從數(shù)學理論層面講解勾股定理，在學生掌握勾股定理的基本概念之后，通過數(shù)學習題強化對勾股定理的原理和基本概念進行強化，而后根據(jù)學生對勾股定理的具體掌握情況引入生活中的實際問題，創(chuàng)設具體的場景，加深學生對勾股定理的深層次應用。教師可以通過讓學生測量旗桿、計算湖泊河流長度等實際問題，明確勾股定理在生活實際中的妙用，逐漸提升數(shù)學的學習興趣，提高數(shù)學教學的質(zhì)量。最后，在數(shù)學教學中，教師要引導學生靈活掌握數(shù)形結合思想中“以數(shù)示形”和“以形表數(shù)”的技巧。所謂“以數(shù)示形”，是指學生在解決具體數(shù)學問題的時候，要根據(jù)數(shù)學題目靈活應用數(shù)軸、直角坐標系等與數(shù)值相關的知識點，將幾何問題處理為代數(shù)問題，在應用題類型中利用面積、距離、角度等幾何數(shù)量關系對生活中常見代數(shù)公式圖形化，通過這一流程，不斷培養(yǎng)學生主動探索和靈活解決實際問題的能力。所謂“以形表數(shù)”，是指學生在實際解決數(shù)學問題，在明代數(shù)與幾何之間內(nèi)在聯(lián)系的基礎上，對常見的代數(shù)公式和數(shù)字概念圖形化。這種思維方式可以學生從多個角度看待數(shù)學問題，有助于培養(yǎng)學生一題多解和靈活應用解題技巧的能力。

4.應用網(wǎng)絡技術，強化學生獨立思考的能力

著名數(shù)學家華羅庚曾提出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。由此可見，想要提高學生綜合素質(zhì)和主動學習的能力，強化數(shù)形結合思想意識是重要的途徑。隨著網(wǎng)絡技術、信息技術的不斷發(fā)展，多媒體教學手段在現(xiàn)代化教育教學中得到了普遍應用，廣袤的互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境給初中數(shù)學教學創(chuàng)造了巨大空間和環(huán)境，推動了數(shù)學教學的現(xiàn)代化發(fā)展。初中數(shù)學教師要結合時代特征和現(xiàn)代學生多元化的發(fā)展需求，積極應用網(wǎng)絡技術的優(yōu)勢，鍛煉學生獨立思考的能力。根據(jù)數(shù)學教材制定網(wǎng)絡化、信息化的教學方案，尤其在學生數(shù)形結合思想意識培養(yǎng)過程中，可以結合多媒體平臺以動態(tài)圖形的形式展現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換的過程，以激發(fā)學生的學習積極性和主動性，拓展學生的思維空間，降低學生理解復雜概念的難度。除此以外，利用網(wǎng)絡化的教學環(huán)境，教師可以將與數(shù)形結合相關的案例上傳到相關信息學習平臺上，要求學生在課余時間進行學習。這種教學模式打破了傳統(tǒng)的數(shù)學教學只能停留在課堂上的局限性，突破了空間和時間的限制。利用網(wǎng)絡平臺，教師也可以及時了解學生的學習情況和對重點、難點知識內(nèi)容的掌握情況，進而調(diào)整教學方案，提高數(shù)學教學的針對性、有效性，為學生的后續(xù)學習奠定良好的基礎。除此之外，現(xiàn)在網(wǎng)絡上有較多的優(yōu)質(zhì)視頻教學資源，教師可以根據(jù)教學目標、教學內(nèi)容和教學大綱選擇適應性較強的網(wǎng)絡教學資源，根據(jù)實際情況進行取舍，將有價值的學習資源分享給學生，以拓寬學生的視野。

結語

綜上所述，初中數(shù)學是一門重要的學科，數(shù)形結合是數(shù)學的基本概念。在教學過程中，貫穿數(shù)形結合的理念，可以提高學生靈活解決問題的能力，激發(fā)學生的數(shù)學學習潛力。數(shù)形結合思想的應用也是推動初中數(shù)學教學手段創(chuàng)新發(fā)展的重要途徑。教師要結合教學大綱、教學目標和教學任務，明確首數(shù)形結合的關鍵應用點和應用條件，以降低數(shù)學學習的難度，提高教學質(zhì)量和教學效率。