師玉榮 顧永建 李 春

(中國(guó)海洋大學(xué)物理與光電工程學(xué)院 山東 青島 266100)

培養(yǎng)基礎(chǔ)學(xué)科拔尖人才是高等教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)的重大戰(zhàn)略任務(wù)，拔尖人才培養(yǎng)計(jì)劃實(shí)施以來(lái)，培養(yǎng)了大批優(yōu)秀人才.中國(guó)海洋大學(xué)在“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)計(jì)劃2.0”背景下，結(jié)合學(xué)校海洋特色優(yōu)勢(shì)成立了創(chuàng)新拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地——崇本學(xué)院，崇本學(xué)院的學(xué)生是全校層層選拔出來(lái)的，他們的理論基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，知識(shí)接受能力強(qiáng)，有強(qiáng)烈的求知欲.面向“拔尖學(xué)生”的大學(xué)物理教學(xué)進(jìn)行了一系列的教學(xué)改革，更加注重加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力、解決實(shí)際問(wèn)題能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，其中在教學(xué)中融入Matlab編程解決復(fù)雜物理問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐取得了很好的教學(xué)效果.

1 課題的提出

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值計(jì)算已經(jīng)成為一種重要的研究手段，其中Matlab軟件被稱(chēng)為演算紙式的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，它簡(jiǎn)單易學(xué)、容易入門(mén)，所以很快被作為教學(xué)輔助手段引入到很多學(xué)科教學(xué)中.在大學(xué)物理教學(xué)中最常見(jiàn)的Matlab的應(yīng)用，大多是可以直觀動(dòng)態(tài)地演示一些物理過(guò)程，如波動(dòng)中的干涉、駐波、李薩如圖形等[1，2].

大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容中有許多難點(diǎn)問(wèn)題很難求解，或者不能求出解析解，例如力學(xué)中的“最速降線(xiàn)”問(wèn)題，轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中受離心力和科里奧利力作用的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和衛(wèi)星橢圓軌道等問(wèn)題，它們的動(dòng)力學(xué)微分方程是很難求解或者求解不出來(lái)的.如何處理這些問(wèn)題，被譽(yù)為“科學(xué)怪才、教育楷?！钡闹Z貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者費(fèi)恩曼在他的普通物理教學(xué)中，曾這樣處理行星的橢圓軌道問(wèn)題，他認(rèn)為從更基本的動(dòng)力學(xué)方程(即牛頓第二定律與萬(wàn)有引力定律相結(jié)合)出發(fā)，用盡可能少的知識(shí)獲得行星繞日運(yùn)行的軌跡，由于在普物階段，尚無(wú)法探討非線(xiàn)性微分方程的理論解，那么數(shù)值差分迭代求解微分方程就成為不二選擇[3,4].筆者在教學(xué)過(guò)程中為了提高教學(xué)效果，應(yīng)用Matlab編程解決過(guò)“最速降線(xiàn)”的相關(guān)問(wèn)題[5]，也模擬過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和行星的橢圓軌道問(wèn)題.在課堂上動(dòng)態(tài)演示這些程序的運(yùn)算結(jié)果，形象直觀，有助于學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的理解.

基于教學(xué)實(shí)踐筆者認(rèn)為“拔尖學(xué)生”有能力應(yīng)用Matlab編程解決如上的問(wèn)題，讓學(xué)生親歷這個(gè)編程過(guò)程，不但可以加深他們對(duì)這些物理難點(diǎn)問(wèn)題的理解和微積分的應(yīng)用，而且可以在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

2 Matlab編程解決力學(xué)問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)流程

教學(xué)設(shè)計(jì)采用教師引導(dǎo)，助教指導(dǎo)，學(xué)生小組協(xié)作學(xué)習(xí)的形式.我們挑選了有豐富Matlab編程經(jīng)驗(yàn)，且物理理論功底深厚的助教，助教協(xié)助學(xué)生安裝軟件，檢查點(diǎn)評(píng)學(xué)生小組作業(yè)，輔導(dǎo)答疑學(xué)生編程過(guò)程中遇到的難題.每項(xiàng)任務(wù)需要小組協(xié)作完成，6～7人組成一個(gè)小組，組員相互借鑒，取長(zhǎng)補(bǔ)短促進(jìn)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神.考慮到有一部分學(xué)生沒(méi)有接觸過(guò)Matlab編程，教學(xué)設(shè)計(jì)流程是由淺入深、層層遞進(jìn)的，在力學(xué)課程中結(jié)合內(nèi)容進(jìn)度設(shè)計(jì)了幾個(gè)案例，從最速降線(xiàn)→螞蟻?zhàn)分稹D(zhuǎn)動(dòng)參考系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)→衛(wèi)星軌道，引導(dǎo)學(xué)生從入門(mén)→初步應(yīng)用→逐步深入解決復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，從簡(jiǎn)單到逐步復(fù)雜，前兩個(gè)簡(jiǎn)單案例各用一周的時(shí)間，后面復(fù)雜案例分別用兩周或三周的時(shí)間.

第一個(gè)案例最速降線(xiàn)問(wèn)題是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，學(xué)生對(duì)最速降線(xiàn)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象非常驚奇，但是當(dāng)學(xué)生試圖應(yīng)用學(xué)過(guò)的物理知識(shí)求解時(shí)，發(fā)現(xiàn)即使最簡(jiǎn)單的圓弧路徑上所用的時(shí)間也無(wú)法求解，但是Matlab程序，不但可以直觀動(dòng)態(tài)地演示質(zhì)點(diǎn)沿直線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓弧和旋輪線(xiàn)幾種不同曲線(xiàn)的軌道從相同起點(diǎn)到相同終點(diǎn)的過(guò)程的快慢順序，并且能計(jì)算出每個(gè)軌道所用的時(shí)間[3].程序語(yǔ)句簡(jiǎn)單易懂，應(yīng)用機(jī)械能守恒和瞬時(shí)速度的定義式，利用微積分思想把整個(gè)過(guò)程看成由許多微小的過(guò)程組成，每個(gè)微小過(guò)程視為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，通過(guò)Matlab強(qiáng)大的計(jì)算功能，計(jì)算出每個(gè)無(wú)窮小過(guò)程的時(shí)間，求和(積分)得出整個(gè)過(guò)程所用時(shí)間，總之程序借助簡(jiǎn)單的物理原理和微積分就解決了.通過(guò)向?qū)W生展示程序語(yǔ)句，拋磚引玉讓學(xué)生看到Matlab編程入門(mén)簡(jiǎn)單，有信心可以學(xué)會(huì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)編程解決力學(xué)問(wèn)題的興趣.

第二個(gè)案例是獵人打猴，是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中非常有趣的例子，子彈瞄準(zhǔn)猴子，子彈打出的同時(shí)，猴子自由落體，不管子彈速度多大，總能打中猴子.原理簡(jiǎn)單，學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的語(yǔ)句即可模擬子彈總是能打中猴子的動(dòng)態(tài)過(guò)程，讓學(xué)生初步體會(huì)到編程的成就感，增強(qiáng)信心.

第三個(gè)案例是“螞蟻?zhàn)分稹眴?wèn)題，3只螞蟻分別處于等邊三角形的頂點(diǎn)，每只螞蟻總是以另一只螞蟻為目標(biāo)以相同的恒定速率追逐，求3只螞蟻相遇所用的時(shí)間和走過(guò)的軌跡方程.這個(gè)案例要求學(xué)生應(yīng)用極坐標(biāo)的速度定義式結(jié)合微積分解決，畫(huà)出螞蟻的動(dòng)態(tài)軌跡以及計(jì)算出所用時(shí)間，通過(guò)這個(gè)案例學(xué)生可以加深對(duì)極坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)并能熟練應(yīng)用.

第四個(gè)案例是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的光滑圓盤(pán)上的質(zhì)點(diǎn)在離心力和科里奧利力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題.轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)，具有極大的挑戰(zhàn)性，徑向和橫向的運(yùn)動(dòng)相互影響，在極坐標(biāo)系中其徑向和橫向的動(dòng)力學(xué)方程分別為

式中的ωp為圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，vr和vθ分別為徑向速度和橫向速度，這個(gè)動(dòng)力學(xué)方程無(wú)法給出解析解，但是Matlab可以給出數(shù)值解.這個(gè)案例要求學(xué)生列出極坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)方程，在助教的協(xié)助下編程畫(huà)出不同初速度條件的軌跡方程，學(xué)生通過(guò)這個(gè)案例不但可以更深入地理解轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而且進(jìn)一步掌握了如何處理極坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)方程.

第五個(gè)案例讓學(xué)生自主解決地球衛(wèi)星橢圓軌道的問(wèn)題.關(guān)于行星軌道求解的研究，基于開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒和萬(wàn)有引力場(chǎng)中的機(jī)械能守恒，可以給出極坐標(biāo)表示的圓錐曲線(xiàn)方程，這在《新概念物理教程力學(xué)》[6]一書(shū)中有詳細(xì)的推導(dǎo).但是費(fèi)恩曼的從基本定律出發(fā)求數(shù)值解的思路在大學(xué)物理的教學(xué)中更有效.我們要求學(xué)生在自己建立模型的基礎(chǔ)上，一要計(jì)算近地圓形軌道的周期并與理論對(duì)比，二是畫(huà)出給定高度和速度的衛(wèi)星的橢圓軌道.

總之通過(guò)在教學(xué)過(guò)程中制定有序計(jì)劃，通過(guò)簡(jiǎn)單實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生入門(mén)，引起學(xué)生興趣，再通過(guò)解決越來(lái)越復(fù)雜的問(wèn)題，最終讓學(xué)生可以自主解決教學(xué)過(guò)程中遇到的不能理論求解或難于求解的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

3 實(shí)踐教學(xué)成果

3.1 作業(yè)展示

下面展示幾個(gè)任務(wù)中學(xué)生成果選例.圖1是獵人打猴的運(yùn)行動(dòng)態(tài)圖截圖，可以展示子彈以不同的初速度瞄準(zhǔn)射擊猴子，總是擊中目標(biāo)，初速度小的在更低的位置射中猴子.圖2是3只螞蟻?zhàn)分饐?wèn)題的動(dòng)圖截圖，動(dòng)圖可以顯示任何時(shí)刻3只螞蟻都在一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)上，等邊三角形旋轉(zhuǎn)著縮小到三角形的中心.圖3顯示了勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)光滑的水平圓盤(pán)上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由相對(duì)圓盤(pán)靜止開(kāi)始，在離心力和科里奧利力的作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡，改變參數(shù)還可以顯示不同初速度的運(yùn)動(dòng)情況.圖4顯示了在地球表面附近，以9.9×103m/s(大于第一宇宙速度)初速度發(fā)射的衛(wèi)星的橢圓軌道，改變條件可以得出任意位置和初速度的衛(wèi)星的軌道.

圖1 獵人打猴

圖2 螞蟻?zhàn)分?/p>

圖3 勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)上質(zhì)點(diǎn)相對(duì)圓盤(pán)(實(shí)線(xiàn))的軌跡和相對(duì)地面的軌跡(小圓圈)

圖4 衛(wèi)星橢圓軌道

3.2 后續(xù)學(xué)習(xí)影響

在后續(xù)學(xué)習(xí)中學(xué)生能自覺(jué)地運(yùn)用Matlab編程解決問(wèn)題，有學(xué)生解決了月亮相對(duì)太陽(yáng)的軌道形狀問(wèn)題，有學(xué)生描繪出了傅科擺在不同緯度、不同初始條件下的擺動(dòng)平面的旋轉(zhuǎn)形狀問(wèn)題；而且在后續(xù)學(xué)習(xí)中學(xué)生可以熟練應(yīng)用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題；這些表現(xiàn)說(shuō)明了該教學(xué)設(shè)計(jì)加深了學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的掌握深度，提高了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

在大學(xué)物理的熱學(xué)部分學(xué)習(xí)中，這些“拔尖學(xué)生”成功地模擬了不同氣體的麥克斯韋速率分布曲線(xiàn)和傅里葉熱傳導(dǎo)的模擬問(wèn)題，提高了熱學(xué)內(nèi)容的教學(xué)效果.

4 教學(xué)效果及總結(jié)展望

學(xué)生在總結(jié)中提到這個(gè)基于Matlab解決力學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)過(guò)程對(duì)他們有很大的挑戰(zhàn)性，對(duì)他們的學(xué)習(xí)幫助很大，他們更深刻理解了微積分的本質(zhì)，更深刻理解了物理原理，一舉多得；而且對(duì)數(shù)值模擬經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)步得出的結(jié)果與理論計(jì)算或者與實(shí)際觀測(cè)的結(jié)果一致，感覺(jué)神奇、震撼.總之學(xué)生認(rèn)為這是從理論跳躍到解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，提高了他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力，強(qiáng)烈建議力學(xué)教學(xué)保留這一教學(xué)環(huán)節(jié).下面節(jié)選了幾個(gè)學(xué)生的反饋.

生甲：從“最速降線(xiàn)”對(duì)于圖像的性質(zhì)描繪，到“獵人打猴”學(xué)會(huì)作動(dòng)態(tài)圖，到了解歐拉法理解“螞蟻?zhàn)分稹眴?wèn)題，再到后來(lái)模擬科里奧利力和行星軌道問(wèn)題……雖說(shuō)在編程的過(guò)程中出現(xiàn)了很多問(wèn)題……每次的編程都鍛煉了我們的思考能力.

生乙：在學(xué)習(xí)并且運(yùn)用了Matlab后才領(lǐng)略到它讓數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決真的輕松了很多，比起其他編程語(yǔ)言，Matlab比較專(zhuān)注于數(shù)學(xué)計(jì)算這一塊，總之真的很便利.然后就是對(duì)物理素養(yǎng)的鍛煉，在處理問(wèn)題中，通過(guò)自己運(yùn)用物理知識(shí)來(lái)規(guī)定算法，可以加深對(duì)物理過(guò)程、物理公式，以及相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，從理論知識(shí)跳躍到實(shí)際的運(yùn)用.我覺(jué)得對(duì)我以后專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)也會(huì)有很大的幫助.

生丙：我們不斷地運(yùn)用微積分的相關(guān)知識(shí)分析物體的運(yùn)動(dòng)，很大程度上加深了本組組員對(duì)微元法和歐拉法解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的認(rèn)識(shí)、理解，而極坐標(biāo)系的建立則簡(jiǎn)化了我們需要處理的實(shí)際問(wèn)題.所有的這些都加深了我們對(duì)物理實(shí)際問(wèn)題的思考，為我們提供了解決問(wèn)題的新思路.

教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中也出現(xiàn)了一些問(wèn)題，例如有的小組活動(dòng)沒(méi)組織好，使得有些學(xué)生成了主力，其他學(xué)生成了輔助角色，以后的教學(xué)中將會(huì)在這方面加以注意，在開(kāi)始形成規(guī)范的小組活動(dòng)程序，引導(dǎo)良好的小組活動(dòng)氛圍.希望我們的教學(xué)設(shè)計(jì)能對(duì)其他教師有借鑒意義.