李 巖，武名虎，盧宗慧，于多加，周強(qiáng)龍

（北自所（北京）科技發(fā)展有限公司，北京 100120）

0 引言

作為自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)的核心設(shè)備，堆垛機(jī)的技術(shù)參數(shù)與運(yùn)行效率直接影響倉儲(chǔ)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、效率及運(yùn)營成本。堆垛機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)的整體剛度對(duì)運(yùn)行過程中的定位精度、停穩(wěn)時(shí)間、結(jié)構(gòu)應(yīng)力及設(shè)計(jì)使用壽命都有著非常重要的影響。影響堆垛機(jī)立柱撓曲變形的因素主要有立柱、載貨臺(tái)及上橫梁等單元自身慣性力所產(chǎn)生的彎矩和貨物等單元自重對(duì)立柱產(chǎn)生的彎矩等，同時(shí)不同速度控制方法對(duì)立柱的撓曲變形的影響也不盡相同。

本文以北自所（北京）科技發(fā)展有限公司基金項(xiàng)目輕型單立柱高速堆垛機(jī)為研究對(duì)象，通過多體動(dòng)力學(xué)分析方法推導(dǎo)出立柱的動(dòng)態(tài)撓曲變形公式，并利用位移比較法，推導(dǎo)格構(gòu)式鋁合金立柱的等效慣性矩，對(duì)公式進(jìn)行修正。應(yīng)用ANSYS Workbench軟件建立堆垛機(jī)有限元模型，對(duì)高速高加速狀態(tài)下堆垛機(jī)進(jìn)行分析，得出立柱撓曲變形仿真結(jié)果。對(duì)比不同速度控制方法對(duì)立柱撓曲變形的影響，得出了立柱撓曲變形與加速度的關(guān)系曲線，確定了運(yùn)行加速度與加速度變化率對(duì)立柱撓曲變形的影響，根據(jù)分析結(jié)果，提出了一種切實(shí)可靠的速度控制方法，有效的減小了運(yùn)行過程中的立柱振動(dòng)，減小了有害沖擊。

1 輕型高速堆垛機(jī)簡介

當(dāng)下智能物流系統(tǒng)中，多采用巷道式堆垛機(jī)，根據(jù)堆垛機(jī)的結(jié)構(gòu)組成，又可以分為雙立柱堆垛機(jī)和單立柱堆垛機(jī)，本文所研究的輕量化高速堆垛機(jī)就是單立柱堆垛機(jī)的一種，其結(jié)構(gòu)組成示意圖如圖1所示。堆垛機(jī)的工作原理：夾軌式傳動(dòng)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)堆垛機(jī)沿著立體庫的鋼軌水平運(yùn)行，同步帶提升機(jī)構(gòu)帶動(dòng)載貨臺(tái)及貨叉沿著立柱上升下降到指定位置，通過貨叉的伸縮機(jī)構(gòu)，將貨物送入目標(biāo)貨位地址或?qū)⒛繕?biāo)貨位地址的貨物取出。

圖1 輕量化高速堆垛機(jī)示意圖

輕型高速堆垛機(jī)在加速度、速度方面與常規(guī)堆垛機(jī)相比，有了很大的提升，進(jìn)而大幅度提高了自動(dòng)化立體倉庫的出入庫效率，技術(shù)參數(shù)對(duì)比如表1所示。

表1 常規(guī)堆垛機(jī)與輕量化高速堆垛機(jī)技術(shù)參數(shù)對(duì)比

2 立柱撓曲變形數(shù)學(xué)模型

以下橫梁為x軸,立柱為y軸建立坐標(biāo)系。

2.1 格構(gòu)式鋁合金柱的等效慣性矩

格構(gòu)式鋁合金立柱，其密度約占鋼鐵密度的三分之一，有助于堆垛機(jī)的輕量化設(shè)計(jì)，對(duì)于高速高加速技術(shù)要求的實(shí)現(xiàn)起到了根本性的作用。格構(gòu)式鋁合金立柱的結(jié)構(gòu)示意圖見圖2。格構(gòu)式鋁合金立柱是輕量化堆垛機(jī)的主要承重構(gòu)件，其中雙肢又是立柱的主要受力結(jié)構(gòu)，綴材（又分為綴條和綴板）連接雙肢，使得雙肢能夠合為一體，進(jìn)行整體工作。與實(shí)腹式構(gòu)件不同的是，格構(gòu)式構(gòu)件的綴材由于剪切力的作用會(huì)產(chǎn)生一定量的剪切變形，所以相比較實(shí)腹式柱，其抗彎剛度不同，即慣性矩不同。

圖2 格構(gòu)式鋁合金立柱結(jié)構(gòu)示意圖

計(jì)算格構(gòu)柱的撓曲變形，可采用等效為實(shí)腹式立柱的方法計(jì)算，即慣性矩等效方法。等效慣性矩的推導(dǎo)方法有兩種：其一是采用換算長細(xì)比法，即利用臨界力相等的方法求得換算長細(xì)比。與長細(xì)比的定義公式λ=進(jìn)行對(duì)比，就可以得到等效慣性矩（在長度相等的情況下）。其二是采用位移比較法，即通過比較實(shí)腹式構(gòu)件與格構(gòu)式構(gòu)件在水平載荷Q的作用下頂部側(cè)向位移的表達(dá)式，推導(dǎo)出等效慣性矩的計(jì)算公式。換算長細(xì)比法推導(dǎo)出的等效慣性矩只適用于單個(gè)構(gòu)件的力學(xué)分析，無法進(jìn)行格構(gòu)式構(gòu)件的整體分析計(jì)算，所以本文采用位移比較法推導(dǎo)格構(gòu)式構(gòu)件的等效慣性矩，推導(dǎo)過程如下。新型立柱對(duì)應(yīng)雙肢格構(gòu)式構(gòu)件簡圖如圖3所示，圖中虛線表示綴條。

圖3 雙肢格構(gòu)式構(gòu)件簡圖

假設(shè)雙肢格構(gòu)式構(gòu)件頂部作用水平力Q，則根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論，可得出其頂部的位移量Δ可用下式表示：

其中δ為格構(gòu)件的側(cè)向柔度系數(shù)，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)的單位荷載法可以求出雙肢格構(gòu)式構(gòu)件的側(cè)向柔度系數(shù)，如式(2)所示。

當(dāng)不考慮綴條對(duì)格構(gòu)件變形影響時(shí)，其對(duì)Y軸的慣性矩可表示為：

將式(2)、式(3)代入式(1)中，整理可得格構(gòu)件在水平載荷Q作用下的位移計(jì)算公式：

根據(jù)材料力學(xué)，用積分法求實(shí)腹式構(gòu)件的彎曲變形，可得頂部在水平載荷Q的作用下的變形為：

聯(lián)合式(4)、式(5)即可得出格構(gòu)式立柱等效實(shí)腹式立柱的等效慣性矩：

2.2 立柱撓曲變形計(jì)算

立柱的受力模型如圖4所示。根據(jù)材料力學(xué)梁的變形微分方程和疊加原理可得，立柱的撓曲變形為：

圖4 立柱的受力模型

式中：fM為各質(zhì)量單元對(duì)立柱的作用所產(chǎn)生的變形；fav為載貨臺(tái)及貨物加速上升時(shí)使得立柱產(chǎn)生的變形；faH為各質(zhì)量單元包括立柱自身由于慣性力所產(chǎn)生的變形；fθ為下橫梁彎曲變形使得立柱產(chǎn)生的變形。

各個(gè)質(zhì)量單元對(duì)立柱的彎矩作用，導(dǎo)致立柱產(chǎn)生的撓曲變形為：

式中：Mi為載貨臺(tái)、貨物、上橫梁與控制柜對(duì)立柱的彎矩；xi、yi為各質(zhì)量單元的坐標(biāo)。

載貨臺(tái)及貨物加速上升對(duì)立柱的作用力，導(dǎo)致立柱產(chǎn)生的撓曲變形為：

式中：mi為各質(zhì)量單元的質(zhì)量；av為提升加速度。

各質(zhì)量單元由于慣性力作用，導(dǎo)致立柱產(chǎn)生的撓曲變形為：

式中：q為重力加速度；aH為水平運(yùn)行加速度。

下橫梁彎曲變形對(duì)立柱的影響，使得立柱參數(shù)的撓曲變形為：

將式(6)、式(8)、式(9)、式(10)、式(11)代入式(7)中，并整理可得格構(gòu)式鋁合金立柱的撓曲變形公式為：

式中：E'為下橫梁的彈性模量；I'為下橫梁的慣性矩。

從上式可以看出，除了堆垛機(jī)自身材料的彈性模量與慣性矩等屬性之外，堆垛機(jī)的水平運(yùn)行加速度與垂直加速度是影響立柱撓曲變形的主要因素，且當(dāng)載貨臺(tái)和貨物運(yùn)行到立柱頂端，運(yùn)行加速度達(dá)到最大值時(shí)，立柱的撓曲變形最大。

2.3 立柱撓曲變形仿真分析

以式(12)為理論基礎(chǔ)，應(yīng)用ANSYS Workbench對(duì)格構(gòu)式鋁合金柱進(jìn)行模擬仿真。

對(duì)堆垛機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行必要的簡化，將電氣控制柜等效為質(zhì)量單元，耦合到立柱的相應(yīng)位置。簡化后的模型利用SolidWorks進(jìn)行建模，導(dǎo)入Workbench中，利用Mesh中的Multizone模塊進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格疏密程度用Sizing控制器控制。

邊界條件設(shè)置：將固定約束設(shè)置在兩個(gè)行走輪處，分別約束其在X、Y、Z三個(gè)方向自由度。因上橫梁按天軌沿軌道方向做循環(huán)往復(fù)的直線運(yùn)動(dòng)，所以約束其在Z軸方向的自由度。對(duì)堆垛機(jī)整體施加重力加速度與沿巷道方向的運(yùn)行加速度。仿真結(jié)果如圖5所示。當(dāng)載貨臺(tái)和貨物出現(xiàn)在最高位時(shí)，立柱出現(xiàn)最大撓曲變形，所以選取載貨臺(tái)及貨物在最高位時(shí)進(jìn)行仿真。其立柱在加速度a=3m/s2情況下，其最大撓曲變形出現(xiàn)在立柱頂端，最大值為9.5164mm。沿著立柱高度方向選取一條路徑path，圖6所示為路徑上的撓度的變化，由此可明顯看出，隨著高度升高，撓度逐漸變大。

圖5 堆垛機(jī)變形云圖

圖6 立柱高度方向變形曲線

3 速度控制方法研究

由上述撓曲變形修正公式與仿真分析結(jié)果可知，堆垛機(jī)運(yùn)行速度控制方法是影響立柱撓曲變形的主要因素之

出，因在t1～t7時(shí)刻，加速度仍存在突變，且加速度變化率仍有階躍式變化，所以在對(duì)應(yīng)時(shí)刻立柱撓曲變形存在波動(dòng)，存在有害振動(dòng)。一。在確定堆垛機(jī)運(yùn)行速度控制方法時(shí)，要綜合考慮堆垛機(jī)工作效率、堆垛機(jī)的穩(wěn)定性和安全性等因素。堆垛機(jī)的運(yùn)行周期可以分為加速階段、勻速階段與減速階段，其中加減速階段的速度控制方法直接決定了堆垛機(jī)運(yùn)行過程的平穩(wěn)性能。除此之外，速度控制方法的優(yōu)劣也決定著位置控制的效率。

所以研究速度控制方法對(duì)堆垛機(jī)立柱撓曲變形的影響，對(duì)于提高堆垛機(jī)工作效率、運(yùn)行穩(wěn)定性和安全性有著非常重要的作用。本文通過對(duì)比梯形速度控制方法、S型速度控制方法兩種速度控制方法對(duì)立柱撓曲變形的影響的異同，提出了高次函數(shù)速度控制方法。

3.1 梯形速度控制方法

目前工程應(yīng)用最多的速度控制方法仍是勻加速控制即梯形速度控制方法。此方法在長期的工程應(yīng)用中存在明顯的優(yōu)缺點(diǎn)。其優(yōu)點(diǎn)就是控制程序簡單，實(shí)現(xiàn)起來比較容易；其缺點(diǎn)就是在加速與勻速和勻速與減速的過渡階段會(huì)有加速度的突變，在慣性力的作用下，立柱的撓曲變形會(huì)隨之發(fā)生變化，產(chǎn)生有害振動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)造成沖擊。

梯形速度控制曲線如圖7所示。從圖中可以看出，加速度與速度在t3、t4時(shí)刻有明顯的斜率變化，且加速度存在階躍跳動(dòng)。在此速度控制方法下的撓曲變形曲線如圖8所示。從圖中可以看出，在加速度突變的時(shí)刻，立柱撓曲變形有明顯的波動(dòng)，即存在有害振動(dòng)。

圖7 梯形速度控制曲線

圖8 梯形速度控制方法下的撓曲變形

3.2 S型速度控制方法

針對(duì)梯形速度控制方法在使用過程中的缺點(diǎn)，S型速度控制方法做了很大的優(yōu)化，S型速度控制曲線如圖9所示。其一個(gè)速度控制周期包含三個(gè)基本階段：其一為加速階段，時(shí)間周期為0～t3，其中又包括初加速、恒加速與終加速階段；其二為勻速階段，時(shí)間周期為t3～t4；其三為減速階段，時(shí)間周期為t4～t7，其中又分為初減速、恒減速與終減速三個(gè)階段。

圖9 S型速度控制曲線

在S型速度控制方法下的立柱撓曲變形曲線如圖10所示。與梯形速度控制方法相比，其加速度由初始值到最大值有一個(gè)過渡階段，使得立柱撓度由零到最大撓度的過程比較平緩，對(duì)立柱的沖擊較小。但是從仿真結(jié)果中仍可看出，因在t1～t7時(shí)刻，加速度仍存在突變，且加速度變化率仍有階躍式變化，所以在對(duì)應(yīng)時(shí)刻立柱撓曲變形存在波動(dòng)，存在有害振動(dòng)。

圖10 S型速度控制方法下的撓曲變形

3.3 高次函數(shù)速度控制方法

比較梯形速度控制方法與S型速度控制方法可見，兩種方法均存在加速度的突變，這會(huì)使得堆垛機(jī)運(yùn)行方向慣性力發(fā)生突變，導(dǎo)致立柱產(chǎn)生有害振動(dòng)。針對(duì)以上兩種方法存在的缺點(diǎn)，提出一種切實(shí)可靠的速度控制方法，即高次函數(shù)速度控制方法，其速度方程可用以下三個(gè)方程式表達(dá)，即：

式中：μ1～μ5為系數(shù)。

高次函數(shù)速度控制曲線如圖11所示，從圖中可以看出，無論是速度、加速度還是加速度變化率，其在任何時(shí)刻都可以平緩過渡，不存在階躍式變化。在此方法下的撓曲變形曲線如圖12所示，與上述兩種方法的仿真結(jié)果對(duì)比，可以明顯看出：立柱最大撓曲變形有所減小，在立柱撓度由零到最大撓度的過程非常平緩，且在t1～t7的關(guān)鍵時(shí)刻立柱撓度無明顯波動(dòng)，減小了有害振動(dòng)。

圖11 高次函數(shù)速度控制曲線

圖12 高次函數(shù)控制方法下的撓曲變形

4 結(jié)語

1）應(yīng)用多體動(dòng)力學(xué)與位移比較法，建立了格構(gòu)式鋁合金立柱的動(dòng)態(tài)撓曲變形修正公式，得出了水平與垂直加速度是立柱發(fā)生撓曲變形的主要因素。

2）應(yīng)用ANSYS Workbench對(duì)堆垛機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，得出了立柱撓曲變形的仿真結(jié)果。

3）分析了梯形速度控制方法與S型速度控制方法對(duì)立柱撓曲變形的影響，得出了不同速度控制方法下的立柱撓曲變形曲線，確定了運(yùn)行加速度與加速度變化率對(duì)立柱撓曲變形的影響。

4）針對(duì)梯形與S型速度控制方法存在的缺點(diǎn)，提出一種切實(shí)可靠的速度控制方法，即高次函數(shù)速度控制方法，有效的減小了立柱在運(yùn)行過程中的有害振動(dòng)。