楊家琦

(中國礦業(yè)大學(北京)力學與建筑工程學院，北京 100083)

1 概述

有限單元法是一種在科學研究和工程分析中常用的數(shù)值仿真方法。有限元法的基本思路是，將連續(xù)體進行網(wǎng)格劃分，形成有限個單元。每個單元由若干個節(jié)點組成，具備特定的插值函數(shù)，可以通過節(jié)點的相對位移，用插值函數(shù)計算出單元內(nèi)部的應變場。隨后，用數(shù)值積分的方法，根據(jù)單元上被賦予的材料屬性，計算單元的應變能以及各個節(jié)點的反力[1]。由此，可以將復雜的連續(xù)體的問題轉(zhuǎn)化為有限個具備明確位移-變形規(guī)則的單元的問題，通過力的平衡和變形協(xié)調(diào)進行求解。除了上述力學問題之外，有限元方法還可以解決熱力學、電磁場、流體力學等方面的問題，因此在各個工程領(lǐng)域均得到了較為廣泛的應用。僅就土木工程行業(yè)而言，當前市場上既有針對特定專業(yè)領(lǐng)域研發(fā)的專用有限元軟件，如針對建筑、橋梁或桿系結(jié)構(gòu)的SAP2000，Midas，針對巖土工程問題的Plaxis等，這類軟件考慮了相關(guān)專業(yè)的使用習慣和設計規(guī)范，可以直接用作設計；也有功能強大適用性強的通用有限元軟件，如ANSYS，ABAQUS，Marc，LS-Dyna等，這類軟件由于不針對特定問題，操作有一定難度，但可以提供理論性更強的結(jié)果。目前國內(nèi)部分專業(yè)實力較強的設計單位在復雜節(jié)點設計、結(jié)構(gòu)抗震分析、超限工程等問題中，會采用通用有限元軟件進行分析。此外，一些施工單位在重大項目或大型構(gòu)件的施工和安裝過程中，也會采用有限元方法對施工過程進行模擬仿真，以便提前發(fā)現(xiàn)潛在的問題并提出針對性的解決方案。理論證明，對于彈性問題，有限元方法可以收斂于解析解；對于材料本構(gòu)關(guān)系簡單明確的非線性問題，有限元方法具有較高的精度。鋼結(jié)構(gòu)主要由板件組成，可以簡化成薄殼問題，且鋼材的本構(gòu)關(guān)系一般可簡化成理想彈塑性，因此有限元方法對于分析鋼結(jié)構(gòu)問題具有較高的準確性，是相關(guān)領(lǐng)域科研工作的有效工具。

本科的鋼結(jié)構(gòu)課程，特別是《鋼結(jié)構(gòu)基本原理》，重點在于講授鋼結(jié)構(gòu)的材料特性、連接節(jié)點和構(gòu)件的設計與驗算，主要以公式推導為主，同時介紹規(guī)范中對相關(guān)問題或失效模式的考慮方法。一般情況下，鋼結(jié)構(gòu)的設計過程，主要是考察構(gòu)件在各種失效模式下的承載力，并從其中取最小值作為設計承載力。因此，學生對各種失效模式的理解，決定了他們能否掌握并運用相關(guān)理論公式對工程問題進行分析。然而，受各種條件的限制，在本科教學過程中，一般很難通過教學實驗展示鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件的各種失效模式。因此，部分學生反映鋼結(jié)構(gòu)教學偏于抽象，不夠直觀，公式繁雜，不便于理解和掌握相關(guān)知識。

有鑒于此，作者在本科課程《鋼結(jié)構(gòu)基本原理》的教學過程中，嘗試用有限元模擬的方法，對鋼結(jié)構(gòu)的節(jié)點、構(gòu)件及其各種失效模式進行仿真展示，提高了課堂教學的直觀性，同時也激發(fā)了學生深入學習的興趣。本文基于作者的課堂教學經(jīng)驗，介紹了有限元仿真與本科教學結(jié)合的方法，討論了教學中的注意事項，并最終給出了一系列教學中用到的案例，供讀者參考。

2 有限元仿真與本科鋼結(jié)構(gòu)教學的結(jié)合

2.1 運用有限元仿真進行教學的目的

《鋼結(jié)構(gòu)基本原理》是一門本科專業(yè)課，要求學生先修高等數(shù)學、理論力學、材料力學、結(jié)構(gòu)力學等課程，因此，學生具備一定的力學基礎(chǔ)，對應力、應變、強度等相關(guān)概念有所掌握，也對高等數(shù)學中微積分的“離散、求和、取極限”的方法論有一定認識。這些知識是學生理解有限元方法的基礎(chǔ)。作者將有限元仿真與鋼結(jié)構(gòu)課程相結(jié)合的目的歸納為三項，即：直觀地展現(xiàn)實際問題、訓練學生的工程直覺、培養(yǎng)學生研究探索的興趣。

首先，通過有限元仿真可以實現(xiàn)對鋼結(jié)構(gòu)的受力、變形、破壞的直觀展示。有限元仿真可以作為教學實驗的延伸，展示鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件的多種破壞模式，同時可以將抽象的應力分布進行圖形化的表達。例如壓彎構(gòu)件的穩(wěn)定性問題，可以通過調(diào)整相關(guān)尺寸，在仿真過程中實現(xiàn)整體屈曲、翼緣板局部屈曲、腹板局部屈曲等，以此說明構(gòu)件幾何尺寸與屈曲模態(tài)之間的關(guān)系，并最終聯(lián)系到設計規(guī)范中的相關(guān)公式以及局部的構(gòu)造措施要求。這樣，可以讓學生對每一個計算公式與觀察到的現(xiàn)象產(chǎn)生聯(lián)系，便于對知識的掌握和理解。

其次，通過對仿真結(jié)果的圖形化展示，訓練學生的工程直覺。在工程實踐領(lǐng)域，經(jīng)驗豐富的工程師通常對工程結(jié)構(gòu)有一定的直覺，可以定性識別出傳力路徑、薄弱部位、變形方式、破壞模式等，能夠提前發(fā)現(xiàn)方案中的潛在問題。這種直覺的培養(yǎng)，一般需要長時間的訓練或大量的工程實踐，特別是從工程事故中吸取經(jīng)驗教訓。運用有限元仿真，可以快速地讓學生接觸到大量的案例。同時，在仿真結(jié)果圖形化展示過程中可以采用放大變形倍數(shù)的方法，對細微的變形進行一定的夸張，更有助于學生理解外部作用與結(jié)構(gòu)變形和內(nèi)力的關(guān)系，更快地形成工程直覺。

第三，培養(yǎng)學生研究探索的興趣。對于本科生而言，有限元方法屬于超綱內(nèi)容，部分學校并未開設相關(guān)課程。想要熟練掌握并運用有限元分析仿真技術(shù)，必須掌握大量力學和數(shù)學基礎(chǔ)知識，因此不應要求學生掌握。但在課堂中對其進行展示，并鼓勵學生課后嘗試操作軟件解決一些小的問題，可以激發(fā)學生自學理論知識的動力，不僅可以夯實之前所學的力學基礎(chǔ)知識，對后續(xù)升學深造也有積極的作用。此外，隨著各種分析手段的普及，具備有限元分析仿真方法逐漸成為了各大企業(yè)對技術(shù)人才的基本要求。讓學生在本科學習階段接觸有限元方法并形成正確的理論觀念，還可以幫助學生在畢業(yè)后更順利的投入工作。

2.2 教學中的注意事項

需要注意的是，有限元理論涉及到大量力學、數(shù)學知識，以本科生有限的基礎(chǔ)知識難以完全掌握，且在本課程的教學過程中，有限元只是起到輔助作用，目的并非要求學生掌握相關(guān)理論、方法和技術(shù)，因此不宜對相關(guān)理論做過于深入的講解，否則會占用大量課堂時間，對教學起到相反的作用。另一方面，企業(yè)中有一部分工程師，即便具有研究生學歷，對有限元的一些基本理論仍不甚理解，對各種軟件產(chǎn)生了“迷信”，拋棄了基本的力學判斷，導致分析結(jié)果失真。因此，給學生講授基本的概念，讓學生樹立起對于分析工具的正確認識，是十分必要的。作者認為，在本科鋼結(jié)構(gòu)教學中融入有限元分析仿真，應注意下列問題：

第一，去繁就簡，注重思想性。有限元是一種將連續(xù)體問題離散化的近似的數(shù)值方法，通過標準化的單元對不規(guī)則的連續(xù)體進行分割，將求解微分方程組的彈性力學問題轉(zhuǎn)化成大量重復計算的求解線性方程組的問題。這種方法隨著計算機技術(shù)的發(fā)展得以推廣和應用，是現(xiàn)代應用數(shù)學領(lǐng)域的一大成就。在教學過程中，可以采用知識遷移的方法，首先將這種思想和微積分中的“離散-求和-取極限”進行類比，隨后可以對結(jié)構(gòu)力學課程中的“矩陣位移法”站在新的高度進行重新闡釋，即矩陣位移法是針對梁單元的一種初等有限元方法，以此幫助學生加深對于有限元法的理解。

第二，闡釋關(guān)鍵概念，重定性輕定量。對于初級有限元軟件的用戶而言，需要掌握的基本概念包括：單元、節(jié)點、邊界條件、材料屬性。其中，邊界條件和材料屬性，在專業(yè)基礎(chǔ)課中已有講授，因此只需要學生了解單元和節(jié)點的概念。通俗地講，有限元分析的過程就是利用節(jié)點位移求取單元內(nèi)部應變，結(jié)合材料屬性，形成剛度矩陣，計算節(jié)點反力，最終求解平衡方程，如圖1(a)所示。在授課過程中，可以舉彈簧為例講解上述求解過程，如圖1(b)所示。而插值函數(shù)的選取、內(nèi)部變形場的計算、應變能數(shù)值積分等概念和方法，可以簡略，并不影響學生對于基本概念的理解。

第三，樹立正確意識，破除對軟件的“迷信”。在教學過程中應當強調(diào)，使用有限元分析進行仿真，必須建立在正確的力學假定和材料屬性之上，在建模過程中需要對所分析的實際問題進行合理的簡化，所得到的結(jié)果是在分析假定基礎(chǔ)上的理論結(jié)果。如果簡化不得當，或未全面考慮各種因素的影響，則無法得出正確結(jié)論?？梢栽诮虒W中列舉工程中比較常見的問題，例如：某工程為框架結(jié)構(gòu)，二層頂板為轉(zhuǎn)換層，通過深梁進行轉(zhuǎn)換，如圖2所示。設計人員在分析中錯誤地用梁單元來模擬轉(zhuǎn)換層的深梁，導致分析結(jié)果失真。錯誤原因是，梁單元只能用于模擬細長桿件，無法體現(xiàn)深梁內(nèi)部的應力應變分布，因此應當采用平面應力單元或殼單元進行建模?？傊瑧撟寣W生樹立起正確運用分析工具的意識，即有限元仿真分析只能解決特定假定之下的問題，分析中要注重力學原理和基本概念，切不可盲目迷信軟件計算的結(jié)果。

3 教學案例

本節(jié)展示了一些作者教學過程中常用的案例。這些案例是對教材內(nèi)容或規(guī)范要求的闡釋，教材采用丁陽編著的《鋼結(jié)構(gòu)設計原理(第2版)》[2](以下簡稱“教材”)，參考規(guī)范為GB 50017—2017鋼結(jié)構(gòu)設計規(guī)范[3]。主要包括：應力集中問題、高強螺栓連接問題、軸心受壓構(gòu)件的局部穩(wěn)定性問題、梁的穩(wěn)定性問題等。本節(jié)以大型通用有限元軟件ABAQUS為例，較為詳細地提供了建模方法和參數(shù)選取，其中用到了彈塑性分析、接觸與摩擦、屈曲模態(tài)分析、后屈曲分析等技術(shù)手段，可以為教師的教學提供參考。

3.1 小孔應力集中問題

構(gòu)件中孔洞、開槽等位置局部的峰值應力可以達到平均名義應力的數(shù)倍，稱為應力集中現(xiàn)象。教材中用圖3表達這一現(xiàn)象。

將上述問題簡化為平面應力問題建立分析模型，采用縮減積分的平面應力單元(CPS4R)進行建模。模型尺寸為100 mm×200 mm長方形平板，正中有一橢圓形小孔，雙軸長度分別為(15,5)，(10,5)，(5,5)，(5,10)，(5,15)，單位為mm。在底部施加固定邊界限制其運動，在頂部施加100 MPa的豎向均布拉應力。材料按彈性考慮，彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3。計算結(jié)果如圖4所示。

圖4展示的是不同尺寸和方向的小孔所產(chǎn)生的Mises應力分布，即教材中所謂折算應力。由圖4可以直觀地看出，小孔的形狀和方向?qū)械挠绊?。當缺陷的尖端越尖銳且垂直于外部荷載方向時，造成的應力集中就越嚴重。此外，從應力云圖中，還可以觀察到不同形狀的缺陷對應力分布的影響范圍。

3.2 承壓型高強螺栓的受力

承壓型高強螺栓的受力過程可分為彈性階段、滑移階段和彈塑性階段，雖然以螺栓受剪或局部承壓為極限狀態(tài)，計算公式較為簡單，但實際的受力過程比較復雜。為了展現(xiàn)承壓型高強螺栓的受力全過程，建立了三維有限元模型。模型中，采用8.8級M16高強螺栓，彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，屈服強度640 MPa，采用理想彈塑性模型，不考慮屈服后的強化作用。鋼板厚度8 mm，單剪連接，螺栓孔直徑為17 mm，材料為Q235鋼，彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，屈服強度235 MPa。建立1/2對稱模型，在對稱面上施加對稱荷載，約束對稱面上的節(jié)點垂直于對稱面的平動自由度。所有部件均采用三維一階縮減積分單元(C3D8R)進行建模。模型中共有5個接觸對，分別是：1)上螺帽與上板；2)螺桿與上螺孔；3)上板與下板；4)螺桿與下螺孔；5)下螺帽與下板。為簡化計算，所有接觸面均采用“硬接觸”(Hard contact)，摩擦系數(shù)取0.45。螺栓預緊力采用Bolt load命令進行設置，施加80 kN的預緊力。分析過程分兩步進行。第一步(Step-1)中，螺栓預緊力由0增加至80 kN；第二步(Step-2)中，采用位移加載，將上板端部向右側(cè)拉動。模擬結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，承壓型高強螺栓的受力共分4個階段，分別是彈性階段、滑移階段、承壓彈性階段和承壓塑性階段。教材中將承壓彈性階段和承壓塑性階段合并為彈塑性階段。彈性階段中，板件之間并未發(fā)生相對滑移，但由于螺帽與板件之間也存在摩擦，螺桿內(nèi)部存在剪應力，說明螺桿在彈性階段也貢獻了一部分承載能力；隨后進入滑動階段，直到螺栓與孔壁發(fā)生接觸；在承壓彈性階段，由于螺桿一定程度上阻止了板件的相對滑動，板件之間的滑動摩擦又變?yōu)殪o摩擦；隨著加載的繼續(xù)進行，螺栓發(fā)生較大的剪切變形，達到極限狀態(tài)。在本算例中，可以通過有限元仿真，全面展示加載-失效的全過程，并可以觀察到實驗中難以觀測的中間過程。

3.3 軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定性

軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定性是鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件設計中的重要問題，其中包括腹板和翼緣的局部穩(wěn)定問題以及整體穩(wěn)定問題。在設計中，一般通過規(guī)定板的寬厚比，使得整體失穩(wěn)先于局部失穩(wěn)發(fā)生，避免局部失穩(wěn)的發(fā)生。為了展示局部失穩(wěn)的模式及板件寬厚比的影響，用有限元進行了建模與仿真。算例采用工字型截面，h×b=250×250，取三組翼緣板厚度(tf)和腹板厚度(tw)，分別為(16,10)，(20,10)和(20,16)，柱高L=2 000(上述單位均為mm)。采用三維線性縮減積分殼單元(S4R)進行建模。材料彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3。在屈曲模態(tài)分析中，只能將材料作為彈性材料進行考慮。將柱的上下截面分別耦合(Couple)在截面中心的參考點上，并對參考點施加球鉸邊界條件。采用ABAQUS的線性攝動(Linear perturbation)分析模塊中的屈曲分析(Buckle)模塊進行求解。求解時，在頂部參考點施加單位軸向荷載(1 kN)，如此求解出的特征值(Eigen value)即是彈性屈曲荷載(單位軸向荷載的倍數(shù))。特征值分析結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，在腹板和翼緣較薄的時候，腹板和翼緣會同時發(fā)生局部屈曲，具有明顯的波形特征；隨著翼緣板厚度的增加，翼緣板的剛度增大，因此局部屈曲主要發(fā)生在腹板上。當腹板和翼緣均較厚時，構(gòu)件將首先發(fā)生整體的彎曲屈曲。當然，由于這三個構(gòu)件的設計均滿足規(guī)范要求，一階屈曲荷載均明顯大于全截面受壓屈服荷載，因此在實際中，上述構(gòu)件并不容易發(fā)生圖6中所示的屈曲模態(tài)，而更有可能發(fā)生全截面屈服，或因為初始缺陷的存在而發(fā)生局部屈服破壞。通過有限元仿真，可以讓學生更好地理解彈性屈曲理論。

4 結(jié)語

本文總結(jié)了作者在本科鋼結(jié)構(gòu)課程中融入有限元仿真的教學經(jīng)驗。借助有限元仿真分析的方法，可以讓學生更加直觀地理解相關(guān)概念和理論公式，激發(fā)學生自主學習高等理論知識的興趣。本文討論了相關(guān)的教學方式和教學的側(cè)重點，并給出了教材中部分重點難點問題的有限元建模方法，可供教師參考。作者認為，向本科生介紹高等理論時，要做到概念清晰準確，定性重于定量，以啟發(fā)為主，鼓勵實踐應用，使得學生在不超過能力范圍的前提下，能夠了解正確的基本概念和原理，為后續(xù)升學深造或參加工作打下一定基礎(chǔ)，給社會培養(yǎng)適應現(xiàn)代信息化生產(chǎn)技術(shù)的人才。