李中國 蔡德鉤 趙勇 劉文武

中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081

邊坡失穩(wěn)造成了嚴(yán)重的自然災(zāi)害和經(jīng)濟(jì)損失，除地震和暴雨等自然原因引起邊坡失穩(wěn)，人為活動(dòng)也可以引發(fā)邊坡失穩(wěn)，產(chǎn)生安全隱患。鐵路、公路高路塹邊坡及水庫邊坡有潛在失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)的施工過程及后期工程運(yùn)營期間，需要進(jìn)行地層深部變形監(jiān)測。對于地層深部變形監(jiān)測使用最成熟、最廣泛的就是測斜儀。

MEMS測斜儀具有儀器成本低、精度高、操作簡單，可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)連續(xù)變形與振動(dòng)數(shù)據(jù)采集的優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于地質(zhì)、航空、航天、航海、工業(yè)制造等行業(yè)［1-2］。但該傳感器也存在隨時(shí)間漂移較大、受溫度變化影響明顯［3］、校準(zhǔn)復(fù)雜、標(biāo)定困難等問題，影響了測斜結(jié)果的精度和穩(wěn)定性。為保證高精度響應(yīng)和輸出要求，對傳感器校準(zhǔn)是必需的步驟［4-7］。陣列式MEMS測斜儀的核心是加速度計(jì)，由于制造和安裝過程會(huì)產(chǎn)生零偏、標(biāo)度因數(shù)、非正交等問題，出廠校準(zhǔn)保證精度通常較低。針對巖土工程中問題，監(jiān)測周期通常持續(xù)較長，加速度計(jì)長期累積姿態(tài)誤差，對輸出結(jié)果產(chǎn)生較大影響，基礎(chǔ)校準(zhǔn)不能滿足對工程變形監(jiān)測的精度要求。對此，國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者對基于MEMS的三軸加速度計(jì)精度補(bǔ)償算法進(jìn)行了研究?，F(xiàn)有的精度補(bǔ)償方法基本為儀器輔助校準(zhǔn)的特殊位置校準(zhǔn)法［8-9］，但需要額外的高精密儀器輔助，步驟繁瑣且成本較高。

本文對多陣列測斜儀系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，分析誤差成分，分別進(jìn)行補(bǔ)償，使用橢球補(bǔ)償算法來消除零偏誤差［10］、標(biāo)度因數(shù)誤差，通過平面旋轉(zhuǎn)法消除非正交誤差，通過濾波法消除噪聲干擾［11］，實(shí)現(xiàn)多陣列測斜儀高精度補(bǔ)償。

1基于MEMS的測斜儀系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)構(gòu)成

基于MEMS的測斜儀系統(tǒng)主要包括MEMS測斜儀、系統(tǒng)軟件、服務(wù)器等。MEMS測斜儀由傳感器、保護(hù)外殼、通訊電路等部分組成，主要用來采集信號(hào)。系統(tǒng)軟件包括校準(zhǔn)軟件、預(yù)警軟件、可視化軟件。其中校準(zhǔn)軟件用來對測斜儀進(jìn)行校準(zhǔn)，提高系統(tǒng)精確度。預(yù)警軟件可用戶自定義規(guī)則，對不穩(wěn)定坡體進(jìn)行監(jiān)測、報(bào)警。可視化軟件用于結(jié)果的記錄、顯示及數(shù)據(jù)分析?；贛EMS陣列式測斜儀見圖1。

圖1 基于MEMES陣列式測斜儀

1.2 系統(tǒng)原理

測斜儀原理是將三個(gè)加速度計(jì)兩兩正交安裝，組成正交坐標(biāo)系，當(dāng)測斜儀位姿發(fā)生變化時(shí)，三軸加速度計(jì)數(shù)值產(chǎn)生相應(yīng)變化，通過輸出的三個(gè)加速度計(jì)值來計(jì)算傾角和位姿，多陣列傾角和位移累加獲取測斜儀環(huán)境變化。在測斜儀系統(tǒng)數(shù)學(xué)表示中，加速度計(jì)輸出與重力存在三角函數(shù)關(guān)系。測斜儀原理見圖2。

2 系統(tǒng)誤差分析

測斜儀在安裝的時(shí)候，三軸傳感器無法達(dá)到完美正交，傳感器坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系不重合，會(huì)產(chǎn)生非正交誤差。此外，三軸傳感器本身易受到溫度環(huán)境條件影響，存在零偏誤差和標(biāo)度因數(shù)誤差，對精度影響較大。理想條件下是三軸傳感器任意一軸無零偏，且標(biāo)度因數(shù)一致，不同兩軸傳感器之間正交，整個(gè)傳感器坐標(biāo)系和測斜儀坐標(biāo)系三軸完全重合。

綜上，測斜儀系統(tǒng)誤差來源有非正交誤差、零偏誤差、標(biāo)度因數(shù)誤差和噪聲。數(shù)學(xué)模型表示為

式中：Et為最終精度補(bǔ)償系數(shù)；Do為實(shí)際輸出；En為非正交誤差；Ez為零偏；Es為標(biāo)度因數(shù)誤差；Dor為原始數(shù)據(jù)；b為噪聲。

2.1 誤差模型

1）零偏誤差

因測斜儀本身制造缺陷，以及模擬電路中數(shù)字與模擬信號(hào)之間轉(zhuǎn)化損失，使輸出矢量的坐標(biāo)零點(diǎn)發(fā)生偏移所產(chǎn)生的誤差是零偏誤差。在數(shù)學(xué)模型中為坐標(biāo)零點(diǎn)發(fā)生偏移，實(shí)際坐標(biāo)軸中原點(diǎn)對稱位置在原始輸出坐標(biāo)軸上不對稱。針對該誤差可通過對各坐標(biāo)軸進(jìn)行位移歸零從而進(jìn)行補(bǔ)償。設(shè)三軸為x、y、z，具體數(shù)學(xué)補(bǔ)償模型為

式中：(R x1，R y1，R z1)T為各軸消除零偏后輸出結(jié)果；(R x，R y，R z)T為三軸加速度計(jì)顯示零點(diǎn)；(θx，θy，θz)T為零偏位移。

2）標(biāo)度因數(shù)誤差

MEMS器件在歸一化零偏后，輸出結(jié)果在實(shí)際相同位移條件下，不同軸間加速度計(jì)無法保證輸出數(shù)值相同，即測斜儀各軸標(biāo)度因數(shù)不同，需要統(tǒng)一標(biāo)度因數(shù)，使各軸輸出值處于相同尺度，減小位移尺度變換誤差。標(biāo)度因數(shù)誤差是由各軸傳感器靈敏度不同造成的，又稱為靈敏度誤差。在數(shù)學(xué)模型上表現(xiàn)為各軸傳感器沿坐標(biāo)軸可測量最大矢量長度不同，需要乘以對應(yīng)標(biāo)度因數(shù)。補(bǔ)償模型為

式中：(R x2，R y2，R z2)T為消除標(biāo)度因數(shù)誤差后輸出矩陣；kx、ky、kz為標(biāo)度因數(shù)校準(zhǔn)矩陣參數(shù)。

3）正交誤差

測斜儀由三個(gè)兩兩正交的加速度計(jì)傳感器組成，在制造和安裝的時(shí)候，無法完全保證兩兩完全正交，存在微小夾角，影響輸出結(jié)果，產(chǎn)生正交誤差。如圖3所示，設(shè)原始坐標(biāo)系為O?x′y′z′，校準(zhǔn)后三軸坐標(biāo)系為O?x yz，兩坐標(biāo)系之間夾角分別為α、β、μ。因x、y、z三軸間不完全正交，夾角影響最終檢測輸出結(jié)果。對非正交誤差進(jìn)行校準(zhǔn)，就需將O?x′y′z′坐標(biāo)系通過旋轉(zhuǎn)，劃歸成圖中兩兩正交的坐標(biāo)系O?xyz上。

圖3 非正交誤差示意

根據(jù)誤差計(jì)算公式，在零偏、標(biāo)度因素校準(zhǔn)后，將夾角轉(zhuǎn)換為矩陣運(yùn)算可得正交誤差補(bǔ)償矩陣為

式中：(R x3，R y3，R z3)T為消除正交誤差后輸出結(jié)果；α、β、μ為對應(yīng)軸間夾角。

因非正交偏移角α、β、μ角度較小，且通過正交性補(bǔ)償校準(zhǔn)，α、β、μ不斷向零角度逼近。此時(shí)對應(yīng)正余弦值可近似看作：

化簡模型為

4）噪聲誤差

現(xiàn)實(shí)世界非理想世界，任何系統(tǒng)都存在噪聲誤差，噪聲服從高斯分布，使用濾波算法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行過濾，排除噪聲干擾，可很好地提升測量精度。

2.2 測量精度補(bǔ)償算法

1）橢球補(bǔ)償算法

根據(jù)數(shù)學(xué)模型分析可得，在重力場穩(wěn)定的條件下，測斜儀在任何姿態(tài)下的三軸加速度值應(yīng)滿足

式中：gx、gy、gz為各軸所得加速度值；kc為與當(dāng)?shù)刂亓鱿嚓P(guān)的一個(gè)常數(shù)。

三軸加速度數(shù)據(jù)集在三維坐標(biāo)下應(yīng)為一球體，但由于測斜儀存在零偏誤差和標(biāo)度因數(shù)誤差，球體的半徑和圓心都發(fā)生變化，使球心發(fā)生偏移，半徑拉伸或者縮短，最終顯示出的圖像應(yīng)為橢圓球體。橢圓球面的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)表示是

式中：θx、θy、θz為相應(yīng)坐標(biāo)軸的零偏；A、B、C的倒數(shù)為對應(yīng)相應(yīng)坐標(biāo)軸的靈敏度誤差幅度。

通過標(biāo)定試驗(yàn)得到橢球曲面六個(gè)以上的三維點(diǎn)集，可估計(jì)出橢球的參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為通過點(diǎn)集求擬合曲面參數(shù)的問題。最常見的方法就是最小二乘法，數(shù)學(xué)模型表示為

式中：Fi（x，y，z）為i點(diǎn)的橢球一般式；N為橢球曲面上點(diǎn)數(shù)，N≥6；a、b、c、m、n、p為計(jì)算參數(shù)；τ為三維坐標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)集樣本；D為正交矩陣。

式（8）相當(dāng)于求解六元一次方程組，解出相應(yīng)a、b、c、m、n、p就可算出相應(yīng)零偏和靈敏度誤差。

2）非正交誤差補(bǔ)償

在恒溫轉(zhuǎn)臺(tái)中，放置待測測斜儀，由于非正交誤差較小，分別以待測軸為目標(biāo)，慢慢移動(dòng)待測軸，使之與重力軸重合，即局部輸出極值點(diǎn)，此時(shí)待測軸與相應(yīng)坐標(biāo)軸之間的夾角即為非正交誤差角。同理可得其他兩夾角，求得整體偏角和補(bǔ)償矩陣。

3）Kalman濾波

Kalman濾波是通過遞歸保證誤差協(xié)方差最小實(shí)現(xiàn)的最優(yōu)線性估計(jì)算法，具有計(jì)算量級(jí)小、實(shí)時(shí)性能高的優(yōu)勢，可通過一系列帶有誤差的參數(shù)來預(yù)測真實(shí)值，在保證高精度的條件下，同時(shí)具有穩(wěn)定性和實(shí)時(shí)性，可有效去除高斯噪聲影響。Kalman濾波的狀態(tài)方程和測量方程分別為

式中：K為狀態(tài)變化矩陣；H為實(shí)際測量矩陣；w t-1和v t為服從正態(tài)分布的噪聲。

Kalman濾波是遞推算法，其核心為五個(gè)遞推公式。首先通過狀態(tài)方程和測量方程向前推算出狀態(tài)變量x?t|t-1（t為對應(yīng)時(shí)間）和誤差協(xié)方差P t|t-1，即

式中：P t-1為t-2時(shí)刻的協(xié)方差預(yù)測結(jié)果；Q為w t-1對應(yīng)的協(xié)方差。

再計(jì)算卡爾曼增益，更新權(quán)重G為

然后更新狀態(tài)位置方程為

更新狀態(tài)向量協(xié)方差方程為

式中：I為單位矩陣。

原始數(shù)據(jù)經(jīng)過Kalman濾波處理后，可使其輸入值更接近真實(shí)值，減少噪聲誤差，提高補(bǔ)償精度。

4）校準(zhǔn)流程

根據(jù)上述精度補(bǔ)償過程，設(shè)計(jì)精度補(bǔ)償算法流程如圖4所示。

圖4 設(shè)計(jì)精度補(bǔ)償算法流程

3 校準(zhǔn)結(jié)果

為驗(yàn)證本文校準(zhǔn)方法的有效性，設(shè)計(jì)試驗(yàn)進(jìn)行對比驗(yàn)證。

1）獲取原始數(shù)據(jù)

獲取原始MEMS輸出值，分別繞x、y、z三軸，在三軸加速度從-g到g的變化區(qū)間中，取樣過程按照每間隔一定角度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，在各位置下取30 s內(nèi)的三軸加速度計(jì)靜置值平均值作為原始MEMS輸出值。

2）六位置標(biāo)定

在三坐標(biāo)軸分別為-g和g加速度時(shí)，自由組合，可得六個(gè)特殊位置，在每一特殊位置，取30 s內(nèi)的三軸加速度計(jì)靜置值平均值，作為六位置標(biāo)定法輸入值，計(jì)算得變換矩陣Etr和偏移，見式（14），通過計(jì)算得出校準(zhǔn)后輸出。

3）本文算法標(biāo)定

在三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上分別繞x、y、z三軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在三軸加速度從-g到g的變化區(qū)間中，每當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)到某一位置時(shí)，取30 s內(nèi)的三軸加速度計(jì)靜置值平均值，進(jìn)行Kalman濾波，將濾波后數(shù)據(jù)代入橢球算法中，求出變換矩陣和偏移，如式（15）所示。代入矩陣和偏移算出算法標(biāo)定后輸出。

4）對比結(jié)果

各算法校準(zhǔn)前后傾角對比見表1，其中AH為MEMS測斜儀水平傾角，AV為MEMS測斜儀方位角。

由表1可知：在校準(zhǔn)之前，傾角誤差、方位角誤差可達(dá)2°～3°，特殊位置校準(zhǔn)算法的傾角精度為±0.1°、方位角補(bǔ)償精度在1°之內(nèi)，分辨力精度可達(dá)0.01 mm。本文橢球曲面擬合算法校準(zhǔn)精度傾角精度為：穩(wěn)定在±0.1°，方位角精度在0.2°之內(nèi)，分辨力精度達(dá)到0.002 mm，且滿足MEMS測斜儀精度要求，不依賴額外物理器件，能減少標(biāo)定成本。

4 結(jié)論

本文通過建立數(shù)學(xué)模型，統(tǒng)籌分析MEMS測斜儀的誤差模型，將不同誤差函數(shù)進(jìn)行聯(lián)合補(bǔ)償，減少不同誤差間的耦合影響，分離出各參數(shù)，提高了誤差的最終補(bǔ)償精度，取得了良好的校準(zhǔn)效果。使用本文提出的校準(zhǔn)算法和特殊位置校準(zhǔn)算法分別對測斜儀進(jìn)行了試驗(yàn)測試。使用本文算法進(jìn)行誤差校準(zhǔn)后，誤差結(jié)果穩(wěn)定，精度穩(wěn)定在0.2°之內(nèi)，分辨力精度可達(dá)0.002 mm，效果和儀器校準(zhǔn)相符，可替代儀器進(jìn)行校準(zhǔn)，滿足測斜儀校準(zhǔn)需求。整個(gè)測量系統(tǒng)運(yùn)行準(zhǔn)確，可實(shí)時(shí)監(jiān)控測斜儀環(huán)境形變，滿足高精度邊坡失穩(wěn)監(jiān)測需求，適用于路基監(jiān)測、地質(zhì)作業(yè)等多種場景。