吳雪婷，陳 斌

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

1 概述

基礎(chǔ)是建筑結(jié)構(gòu)的重要組成部分，它承受著建(構(gòu))筑的全部荷載并將荷載傳遞給地基，合理選擇地基基礎(chǔ)的設(shè)計方案對建筑物的安全使用和工程造價至關(guān)重要。在進行地基基礎(chǔ)設(shè)計時，大量的科研、工程技術(shù)人員結(jié)合理論和工程實際，歸納總結(jié)出了諸如查表法、經(jīng)驗系數(shù)法、簡化模型法、試算法等傳統(tǒng)方法，在工程建設(shè)中發(fā)揮了巨大的作用。

基礎(chǔ)工程學(xué)是土木工程類專業(yè)的一門主干必修課程。面對傳統(tǒng)教學(xué)中煩瑣的計算過程和復(fù)雜的方程求解，學(xué)生的注意力往往放在具體的計算步驟上，而忽視了對建模和計算方法的本質(zhì)理解。因此，從教學(xué)的角度看，教師的重要任務(wù)是讓學(xué)生知其然，并知其所以然。很多一線教師從教學(xué)觀念、教學(xué)思路、教學(xué)方式、教學(xué)實踐[1-3]等各個環(huán)節(jié)開展了適應(yīng)現(xiàn)代化發(fā)展和新工科教育理念的教學(xué)改革。

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，工程設(shè)計方法也不斷更新，Mathematica是一款符號計算軟件，擁有強大的數(shù)值計算和符號運算能力，廣泛使用于科學(xué)、工程、數(shù)學(xué)、計算等領(lǐng)域。目前，Mathematica已用于數(shù)學(xué)[4]、物理[5]、航空[6]、土木工程[7]等領(lǐng)域的課程教學(xué)中，并取得了一些成效。利用Mathematica輔助教學(xué)有利于增強教學(xué)內(nèi)容的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深對理論知識的理解，拓展數(shù)值分析的能力；同時可以將學(xué)生從繁雜的計算中解脫出來，從而關(guān)注問題的實質(zhì)。

基于此，本文以淺基礎(chǔ)的基礎(chǔ)底面尺寸計算的不確定性問題為例，將Mathematica編程引入到基礎(chǔ)工程學(xué)的教學(xué)改革中。首先將傳統(tǒng)試算法與Mathematica輔助編程法進行對比，幫助學(xué)生理解計算結(jié)果的物理和工程意義；再利用Mathematica軟件繪圖，探討解析法中如何形象直觀地求解一元三次方程和不等式的問題，從而更方便快捷地得到基底尺寸。

2 計算基礎(chǔ)底面尺寸的不確定性問題

在基礎(chǔ)工程學(xué)中，對于天然地基上的淺基礎(chǔ)，在初步選擇基礎(chǔ)類型和埋置深度后，就可以計算地基持力層的承載力特征值和作用在基礎(chǔ)底面的荷載值，進行基礎(chǔ)底面尺寸設(shè)計[8]。例如在軸心荷載作用下，按地基持力層承載力計算基底尺寸時，基礎(chǔ)底面積的計算公式如下：

(1)

其中，A為基礎(chǔ)底面面積，A=bl，b為基底短邊邊長，l為基底長邊邊長；Fk為相應(yīng)于作用的標(biāo)準(zhǔn)組合時，上部結(jié)構(gòu)傳至基礎(chǔ)頂面的豎向力值；fa為修正后的地基持力層承載力特征值；γG為基礎(chǔ)及回填土的平均重度；d為基礎(chǔ)平均埋深；γw為水的重度；hw為地下水位至基礎(chǔ)底面的距離。

通常軸心荷載作用下，采用方形基礎(chǔ)(即A=b2)，則基礎(chǔ)邊長b為：

(2)

fa=fak+ηbγ(b-3)+ηdγm(d-0.5)

(3)

其中，fa為修正后的地基承載力特征值；fak為地基承載力特征值；ηb,ηd分別為基礎(chǔ)寬度和埋深的地基承載力修正系數(shù)，可按基底以下土的類別查規(guī)范[9]表格得到；γ為基礎(chǔ)底面以下土的重度；b為基礎(chǔ)底面寬度，當(dāng)基底寬度小于3 m時按3 m取值，大于6 m時按6 m取值；γm為基礎(chǔ)底面以上土的加權(quán)平均重度；d為基礎(chǔ)埋置深度。

由式(3)可知，在對fak進行修正時，是需要知道b值的，但由于基底寬度b是未知待求的參數(shù)，因此，只能采取假設(shè)法。首先假設(shè)b≤3 m，則式(3)中的ηbγ(b-3)=0，此時僅對fak進行埋深d的修正，將得到的fa代入式(2)計算可得b。再比較計算得到的b和假設(shè)的b≤3 m是否一致。如果一致，則計算值即為所求的基底尺寸；如果計算得到的b>3 m與假設(shè)不一致，則在計算基礎(chǔ)尺寸之前需要對fak同時進行d和b的修正，這時式(3)中的ηbγ(b-3)≠0，需要迭代試算才可得到基底尺寸。

因此，在計算基礎(chǔ)底面尺寸時出現(xiàn)了上述不確定性問題，傳統(tǒng)教學(xué)的求解方法是假設(shè)試算法，該方法容易導(dǎo)致學(xué)生對上述計算步驟理解不透徹，對計算結(jié)果的工程意義一知半解。

3 基于Mathematica的基底寬度求解

針對上述問題，本文將Mathematica程序引入基礎(chǔ)工程學(xué)的教學(xué)，利用Mathematica對基底寬度b進行了編程求解，分析了不同地基土層條件下(淤泥、黏土和中砂地基)，基礎(chǔ)底面寬度與基礎(chǔ)頂面荷載的關(guān)系，討論了上述不確定性問題的解。

以基礎(chǔ)工程學(xué)的某教材例題為算例[10]，某黏性土重度γm為18.2 kN/m3，孔隙比e=0.7，液性指數(shù)IL=0.75，地基承載力特征值fak為220 kPa?，F(xiàn)修建一外柱基礎(chǔ)，作用在基礎(chǔ)頂面的軸心荷載Fk=830 kN，基礎(chǔ)埋深(自室外地面起算)為1.0 m，室內(nèi)地面高出室外地面0.3 m，需要確定方形基礎(chǔ)底面寬度b。

傳統(tǒng)的計算方法和步驟為：首先假設(shè)b≤3 m，先進行地基承載力的深度修正，查規(guī)范表格可知黏土的ηd=1.6，再利用式(3)得到fa=235 kPa；最后利用式(2)得到b≥1.98 m，取b=2 m；由于b=2≤3，與假設(shè)一致，所以不必進行承載力寬度修正。傳統(tǒng)的求解方法只能首先假設(shè)b值和3的大小關(guān)系，再根據(jù)已知的參數(shù)查表和計算，每次計算只能得到一個確定的b值。如果計算的b值與假設(shè)不一致，則需要代入公式，反復(fù)試算。

分析式(2)和式(3)可知，當(dāng)基底寬度b≤3 m時，對于某一類別的地基土層而言，基底寬度b的大小僅與Fk有關(guān)：Fk越大，則基底寬度b越大。利用Mathematica軟件編程，可以繪制基底寬度b隨荷載Fk的變化曲線，如圖1中的實曲線所示。當(dāng)0≤Fk≤1 900 kN時，恒有基底寬度b≤3 m，不會出現(xiàn)與假設(shè)不一致需要反復(fù)試算的問題；而當(dāng)Fk>1 900 kN時，基底寬度才會有b>3 m，出現(xiàn)與假設(shè)不一致的問題，此時圖1中的實曲線在b>3 m段需要重新代入式(3)進行修正，并重新按照式(2)計算。重新計算和反復(fù)試算的過程也可通過Mathematica軟件編程來求解，可得圖1中所示的虛線曲線段。由圖1中的實線和虛線在3 m≤b≤6 m的對比可知，對于任意荷載Fk值，虛線的縱坐標(biāo)恒小于實線的縱坐標(biāo)，即再次計算的基底寬度b恒小于第一次的計算值，且對于該類黏土地基而言，第二次計算值仍然滿足b>3 m，即可得到正確的基底寬度b值。

實現(xiàn)圖1中數(shù)據(jù)計算及曲線繪制的Mathematica程序的部分主要源代碼如下：

niantuyy1=Plot[Sqrt[(Fk/(fakNiantu+ηdNiantu*γmNiantu*(d1-0.5)-γG*d2))*p/n],{Fk,0,50000}, PlotRange->{{0,8000},{0,7}}, AspectRatio->1];

niantuyy2=Plot[Sqrt[(Fk/(fakNiantu+ηbNiantu*γ*(Sqrt[(Fk/(fakNiantu+ηdNiantu*γmNiantu*(d1-0.5)-γG*d2))*p/n]-3)+ηdNiantu*γmNiantu*(d1-0.5)-γG*d2))*p/n],{Fk,1900,8000},PlotRange-> {{0,50000},{0,7}}, PlotStyle->{Red, Dashed}, AspectRatio->1]

通過Mathematica軟件編程求解和繪制曲線，模擬了黏土地基上基底寬度b與荷載Fk的關(guān)系。Mathematica程序代碼編寫簡單，計算速度快，直觀形象地解決了此工程設(shè)計計算中關(guān)于基底尺寸的不確定性問題。而且，只需改變上述程序源代碼中的參數(shù)，就可以方便快捷地得到其他類型地基土層的相關(guān)關(guān)系曲線，如圖2所示(圖2中曲線1代表淤泥地基，曲線2代表黏土地基，曲線3代表中砂地基)。根據(jù)圖2可以對不同類型地基土層上的基礎(chǔ)底面尺寸進行對比分析，當(dāng)3 m≤b≤6 m時，對于淤泥地基，實線和虛線重合；對于中砂和黏土地基，遵循相同的規(guī)律，但中砂地基第二次計算值與第一次計算值的偏差大于黏土地基。

上述編程求解過程和曲線模擬通過Mathematica軟件可以很方便地實現(xiàn)，如果采用傳統(tǒng)手算、查表的試算法，不僅計算難度大、計算過程復(fù)雜，也很難得到上述結(jié)果和規(guī)律。

4 Mathematica圖像分析在基底尺寸的解析法中的應(yīng)用

除了一般教材中對于基礎(chǔ)底面尺寸的傳統(tǒng)試算法，以及本文基于Mathematica的求解法以外，還有直接計算的解析法[11-12]。解析法的思路是將式(3)代入式(2)中，可得：

(4)

再將式(4)化簡，可得到一個關(guān)于b的一元三次不等式：

α3b3+α2b2+α0≥0

(5)

式中：

α3=ηbγ

(6)

α2=fak-3ηbγ+ηdγmd-0.5ηdγm-γGd+γwhw

(7)

α0=-Fk

(8)

由式(5)可知，求軸心荷載作用下的基礎(chǔ)寬度b本質(zhì)上是一元三次不等式的求解問題，可按Cardan公式法求解。為了得到定量的解，需要求解一元三次方程，這個過程是復(fù)雜和困難的。但是借助Mathematica的繪圖功能，可以很方便地得到y(tǒng)與b的函數(shù)關(guān)系曲線，便于直接讀圖判斷。

本文利用Mathematica軟件編程，繪制函數(shù)y=f(b)=α3b3+α2b2+α0的曲線。根據(jù)工程實際意義，y≥0，b恒大于0，則該曲線與橫軸坐標(biāo)軸正值的交點即為所求的基礎(chǔ)寬度b。仍以上述例題為例，編程計算并繪制軸心荷載Fk=830 kN,Fk=1 900 kN和Fk=3 000 kN時，函數(shù)y=f(b)的曲線如圖3所示，從圖3中可直觀地得到對應(yīng)的b=2 m,b=3 m和b=3.7 m。由此可見，利用Mathematica軟件輔助計算和繪圖，可以方便快捷、直觀形象地得到基礎(chǔ)寬度b，從而簡化了解析求解法中求解一元三次方程和不等式的復(fù)雜過程。

5 結(jié)論

利用Mathematica編程，可以直接計算并繪制基礎(chǔ)底面寬度與基礎(chǔ)頂面荷載的關(guān)系曲線，不僅簡化了反復(fù)試算的求解過程，而且解答了傳統(tǒng)手算法所不能計算的不確定性問題。此外，基于Mathematica編程繪圖功能，也簡化了解析算法中一元三次方程和不等式的求解過程。

基于Mathematica的求解在基底寬度b的傳統(tǒng)試算法和解析算法中均得到了很好的應(yīng)用，一方面提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，加深了學(xué)生對基礎(chǔ)工程學(xué)知識的理解，幫助學(xué)生更好地理解了基底尺寸求解過程中的假設(shè)-計算-重新假設(shè)-重新計算……的邏輯思路；另一方面，新教學(xué)法還鍛煉了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題-分析問題-解決問題的能力，使學(xué)生將來能更好地利用現(xiàn)代化手段解決工程實際問題。