高樂星 梁 斌 吳 政 賀 敏

(湖南工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院,湖南 株洲 412007)

在進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析和評估時(shí),巖土體的基本參數(shù)、邊坡的破壞模式和外荷載等因素以及它們的變異性,都是我們需要進(jìn)行考量的。此等情況下,運(yùn)用邊坡穩(wěn)定性分析方法中的確定性分析方法顯然不合適,不確定性分析方法中的可靠度方法[1-2]是基于概率統(tǒng)計(jì),充分考慮存在的不確定性因素,最終以可靠度指標(biāo)β或失效概率Pf來衡量邊坡的穩(wěn)定性的一種方法。但是單純依靠β或Pf評價(jià)邊坡的穩(wěn)定程度在實(shí)際工程中應(yīng)用起來并不方便,傳統(tǒng)確定性方法又過于單調(diào)。因此,為打破傳統(tǒng)安全系數(shù)法和可靠度方法的單一性限制,尋求更加靈活的穩(wěn)定性求解方法,將可靠度方法與傳統(tǒng)的安全系數(shù)法結(jié)合起來,本研究提出一種可靠度指標(biāo)加穩(wěn)定性系數(shù)的二元綜合評價(jià)體系[3],形成逆可靠度分析方法。

以可靠度理論為基礎(chǔ),逆可靠度分析法[4]為給定結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)β(失效風(fēng)險(xiǎn))的前提下,逆向求解結(jié)構(gòu)的安全系數(shù),繼而進(jìn)行調(diào)整以保證結(jié)構(gòu)的安全性。至今,已有諸多學(xué)者對此進(jìn)行了研究與探索。Winterstein S R 等[5]運(yùn)用一次逆可靠度方法成功估算了海邊建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)荷載,奠定了其在逆可靠度方法中的核心地位。程進(jìn)等[6]將一次逆可靠度法應(yīng)用至求大跨懸索橋主纜穩(wěn)定性系數(shù)并給出了迭代方法。Chen Jin 等[7]把一次逆可靠度和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相融合,進(jìn)而分析結(jié)構(gòu)隱式功能函數(shù)問題。李隱[8]則在邊坡工程中采用一次逆可靠度方法,反向推演邊坡的黏聚力、內(nèi)摩擦角和坡角。羅正東等[9]針對邊坡的穩(wěn)定性問題使用一次逆可靠度方法并對邊坡的影響因素進(jìn)行了敏感性分析。一次逆可靠度方法已發(fā)展得相對成熟,應(yīng)用廣泛。

在此背景下,針對逆可靠度分析方法的研究一直停留在一次逆可靠度法研究領(lǐng)域內(nèi)的現(xiàn)狀,為了豐富逆可靠度分析方法,加速逆可靠度分析方法的發(fā)展進(jìn)程,以及擴(kuò)展邊坡穩(wěn)定性分析方法,本研究提出二次逆可靠度方法。該方法將可靠度指標(biāo)加穩(wěn)定性系數(shù)作為綜合評價(jià)指標(biāo),對邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析,能很好地適應(yīng)工程目標(biāo)可靠度指標(biāo)的變化,同時(shí),把二次二階矩法融入至逆可靠度思想中,在一次逆可靠度方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升精度,達(dá)到主動(dòng)控險(xiǎn)和降低工程造價(jià)的目的,對于安全縮減現(xiàn)今邊坡設(shè)置保守的安全儲(chǔ)備、節(jié)約工程成本具有十分重要的實(shí)際工程意義。

1 二次逆可靠度法基本原理

與一次逆可靠度分析方法類似,二次逆可靠度是對于既定的目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt,在一定的約束條件下根據(jù)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程確定設(shè)計(jì)參數(shù)。以上可歸結(jié)[10]為:給定目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt和約束條件的前提下求設(shè)計(jì)參數(shù)θ,約束條件表達(dá)為

式中,Q(u)為極限狀態(tài)方程;x、θ為基本隨機(jī)變量,變換至標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間為u=(ux,uθ),ux=(ux1,ux2,…,uxn),θ為待求設(shè)計(jì)參數(shù)。

x和θ則通過式(2)和式(3)求累計(jì)分布函數(shù)Fxi(·)和Fθ(·)的反函數(shù)獲得;φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

二次逆可靠度方法其實(shí)是對一次逆可靠度方法的一種修正,除了利用極限狀態(tài)方程的梯度外,還將其二階導(dǎo)數(shù)納入考慮范圍,更加全面地考慮了極限狀態(tài)曲面在驗(yàn)算點(diǎn)附近的非線性比如曲率、凹向等性質(zhì)。其原理是采用正可靠度方法中的二次二階矩法對結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程Q進(jìn)行反復(fù)迭代,直到找到一個(gè)θ值以滿足目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt為止。

根據(jù)驗(yàn)算點(diǎn)法可知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u和目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt在驗(yàn)算點(diǎn)處滿足:

式中,?uQ表示極限狀態(tài)方程Q在u處的梯度向量。

聯(lián)立式(4)和式(5),得:

這樣,約束條件Q(u)=q(x,θ)和式(5)就共同構(gòu)成了求解二次逆可靠度問題的要素。

將極限狀態(tài)函數(shù)Q在假設(shè)的待求參數(shù)初值θ0處,應(yīng)用Taylor 級(jí)數(shù)展開并截取至2 次項(xiàng):

根據(jù)設(shè)定的初始值u0和θ0計(jì)算得到?u0Q及?Q(u)/?θ0,然后通過式(6)和式(7)計(jì)算得到新的隨機(jī)變量u1和新的設(shè)計(jì)參數(shù)θ1,再視u1和θ1為新的初始值,進(jìn)行反復(fù)迭代計(jì)算,直到滿足收斂條件式(8)時(shí)止。

式中,um和θm分別為第m次迭代計(jì)算得到的隨機(jī)變量值與設(shè)計(jì)參數(shù)值;收斂精度ε1、ε2的取值范圍一般為10-4～10-3。

2 邊坡穩(wěn)定二次逆可靠度求解方法

2.1 極限平衡理論中的簡化Bishop 法

作為邊坡可靠穩(wěn)定性分析中最經(jīng)典的算法,極限平衡法因簡便適用、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、精度較高一直沿用至今,期間以此為基礎(chǔ)形成了多種不同的分析方法,包括Bishop 法、簡布法、摩根斯坦—普瑞斯法、薩爾瑪法等[11]。

本研究采用的簡化Bishop 法是由瑞典圓弧法優(yōu)化而來[12]。與傳統(tǒng)的瑞典圓弧法相比,簡化Bishop法計(jì)算安全系數(shù)時(shí)忽略了條間剪力,并假定土條之間的力是水平的,土條底面上的法向力由在豎直方向上的靜力平衡條件求出,根據(jù)邊坡整體力矩平衡來確定邊坡的安全系數(shù)FS。其表達(dá)式[13]為

式中,FS為安全系數(shù);ci為黏聚力;φi為滑面內(nèi)摩擦角;Wi、bi、αi分別為第i個(gè)條塊重力、寬度、網(wǎng)弧底面傾角;ui為第i個(gè)條塊孔隙水壓力。其中,Wi、bi、αi、ui的取值與滑面半徑R有關(guān)。

2.2 基于二次逆可靠度方法反推安全系數(shù)

在運(yùn)用二次逆可靠度方法對邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí),任何力學(xué)參數(shù)或穩(wěn)定性系數(shù)都可作為待求系數(shù)θ。本研究主要針對邊坡的安全系數(shù)FS進(jìn)行逆向分析。一般考慮土體的黏聚力c,內(nèi)摩擦角φ和重度γ這3 個(gè)重要參數(shù),將它們視為3 個(gè)相互獨(dú)立的基本隨機(jī)變量且服從正態(tài)分布,即ux= (γ,c,φ),設(shè)μγ、μc、μφ和σγ、σc、σφ,分別為γ、c、φ的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,則ux=(μγ±λσγ,μc±λσc,μφ±λσφ),根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的3 倍均方差原則取λ=3。結(jié)合簡化Bishop 模式下的極限狀態(tài)方程式(9)和式(10)得二次逆可靠度下的邊坡極限狀態(tài)方程為

u0和θ0為u和θ的初始值,由式(11)和式(12)求得Q在u0和θ0處的梯度表達(dá)式:

u1通過式(15)求得,θ1則通過解式(16)獲得。如此,再將u1、θ1作為下一輪的初始值進(jìn)行反復(fù)迭代,直到滿足所設(shè)的收斂精度ε1、ε2為止。最后求得的θ即為既定可靠度指標(biāo)下的安全系數(shù)FS。

2.3 基于二次逆可靠度的邊坡穩(wěn)定具體分析步驟

綜上,邊坡穩(wěn)定性二次逆可靠度分析方法具體流程可歸納如下。

(1)利用有限元軟件搜索邊坡的潛在破壞滑動(dòng)面,確定其滑面半徑并完成滑動(dòng)體條塊劃分。

(2)建立簡化Bishop 模式下的邊坡功能函數(shù),并選取基本隨機(jī)變量且將其正態(tài)化,本身就是正態(tài)變量的無需進(jìn)行這一步。

(4)將所求梯度代入式(6)、式(7),計(jì)算出u1、θ1后再將其作為新的初始值重新代入式(6)、式(7)中。反復(fù)迭代直至達(dá)到式(8)所設(shè)收斂精度。

(5)滿足收斂精度的θm即為事先給定失效風(fēng)險(xiǎn)下的待求安全系數(shù)FS。

3 算例分析

以一均質(zhì)邊坡[15]為例,高20 m,坡比為1 ∶1。其土層參數(shù)信息:泊松比ν=0.3,彈性模量E=20 MPa,重度γ=20 kN/m3,黏聚力c=40 kPa,內(nèi)摩擦角φ=20°。c、φ相互獨(dú)立,均服從正態(tài)分布,變異系數(shù)都為0.1。

如圖1所示,利用有限元軟件確定出該邊坡潛在滑動(dòng)面半徑為33 m,于是選取R=33 m 的滑動(dòng)圓弧進(jìn)行分析,圖2為邊坡滑動(dòng)面的條塊劃分,計(jì)算中條塊的寬度取b=3.3 m,設(shè)邊坡的目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt=3.0,對應(yīng)失效概率Pf= 0.135%,u0=(μγ0,μc0,μφ0) =( 20,40,20),θ的初始值設(shè)為1.0,然后按照上述求解步驟進(jìn)行求解。

圖1 邊坡潛在滑動(dòng)面示意Fig.1 Schematic of potential sliding surface of slope

圖2 邊坡滑動(dòng)面條塊劃分Fig.2 Slope sliding noodle block division

通過式(13)、式(14)求得初值點(diǎn)處的梯度為

將以上各值代入式(15)、式(16)進(jìn)行計(jì)算得

再把u1和θ1的值賦給u0和θ0開始下一次迭代,經(jīng)過8 次迭代后達(dá)到之前式(8)所設(shè)的收斂精度(設(shè)ε1,ε2都取10-3)。迭代過程見表1。

表1 二次逆可靠度迭代求解過程Table 1 Iterative solution process of quadratic inverse reliability

最后得u8=(0.877 3,-1.871 6,-2.174 3),θ8=1.229 0。即在失效風(fēng)險(xiǎn)概率Pf=0.135%,可靠度指標(biāo)βt=3.0 的情況下,利用二次逆可靠度反向推演出邊坡的安全系數(shù)Fβt=1.229 0。對于此邊坡算例,利用一次逆可靠度以及簡化Bishop 法求解安全系數(shù),其結(jié)果對比見表2。

表2 3 種不同方法計(jì)算結(jié)果對比Table 2 Comparison of calculation results of three different methods

3 種方法求出的安全系數(shù)FS均大于1,證明該邊坡滿足穩(wěn)定性要求,且一次逆可靠度方法和本文提出的二次逆可靠度方法所求FS均小于利用簡化Bishop法求得的FS,是因?yàn)橐淮魏投文婵煽慷确椒ㄔ诜囱萸筮吰碌腇S時(shí),不僅關(guān)注到了巖土體參數(shù)是時(shí)刻變化的,還將邊坡目標(biāo)可靠度和失效風(fēng)險(xiǎn)納入了考慮當(dāng)中。表中結(jié)果還顯示二次逆可靠度方法的精度要明顯高于一次逆可靠度方法,對于邊坡失效風(fēng)險(xiǎn)的把控做到更加精準(zhǔn)。

4 工程實(shí)例分析

4.1 工程概況與安全系數(shù)計(jì)算

某二級(jí)公路路基旁一均質(zhì)粘性土坡,坡高H=10 m,坡角為45°,土體黏聚力c=24 kPa,內(nèi)摩擦角φ=13.3°,c、φ均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,變異系數(shù)均為0.1,重度γ=18.6 kN/m3,泊松比ν=0.3,彈性模量E=10 MPa。

利用有限元軟件FLAC3D進(jìn)行數(shù)值模擬得到此邊坡的安全系數(shù)FS=1.309,如圖3所示。

圖3 邊坡計(jì)算安全系數(shù)Fig.3 Slope calculation safety factor

4.2 二次逆可靠度方法反推安全系數(shù)

首先確定邊坡滑動(dòng)面并劃分條塊,如圖4所示。其滑動(dòng)圓弧半徑為17.5 m,條塊寬度設(shè)為b=2 m。

圖4 邊坡滑動(dòng)面條塊劃分Fig.4 Slope Sliding Noodle Block Division

然后設(shè)邊坡的目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt= 2.2,u0=(uγ0,uc0,uφ0) = (18.6,24,13.3),θ的初始值設(shè)為1.0,然后按2.3 節(jié)求解步驟進(jìn)行迭代計(jì)算。最后得um= (1.787 3,-2.123 3,-1.138 9),θm= 1.151 9。即在可靠度指標(biāo)βt=2.2 的情況下,利用二次逆可靠度反向推演出邊坡的安全系數(shù)Fβt=1.151 9。與其他方法對比結(jié)果如表3所示。

表3 不同方法計(jì)算結(jié)果對比Table 3 Comparison of calculation results of different methods

根據(jù)表4,《JTG D30—2015 公路路基設(shè)計(jì)規(guī)范》中的路塹邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)表知,正常工況下,二級(jí)及二級(jí)以下公路的邊坡穩(wěn)定系數(shù)的范圍為1.15 ～1.25。本文方法所求安全系數(shù) ,滿足規(guī)范要求。

表4 路塹邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)Table 4 Safety factor of cutting slope stability

表3中所有方法求出的安全系數(shù)FS均大于1,表明該邊坡滿足穩(wěn)定性要求,有限元法求得的安全系數(shù)FS值最大,其安全儲(chǔ)備也最大,簡化Bishop 法次之,一次逆可靠度法在參數(shù)復(fù)雜性和失效風(fēng)險(xiǎn)雙重控制下所求的FS值小于前2 種方法,而本文提出的二次逆可靠度方法在一次逆可靠度方法的基礎(chǔ)上又提升了精度,不僅能更加精確地調(diào)控邊坡的失效風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)在保證安全性的前提下也有效地節(jié)約了工程成本。

5 結(jié) 論

(1)由于安全系數(shù)法和可靠度方法的局限性,本文在一次逆可靠度方法的基礎(chǔ)上將兩者結(jié)合起來,針對邊坡工程建立起了一種精度更高,具備可靠度指標(biāo)和安全系數(shù)雙重控制指標(biāo)的穩(wěn)定性綜合評價(jià)體系。

(2)算例以及工程實(shí)例分析表明:本文提出的二次逆可靠度方法切實(shí)可行,精確度高,這對現(xiàn)今邊坡的安全儲(chǔ)備設(shè)置過大而造成的工程浪費(fèi)現(xiàn)象具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

(3)本文僅對均質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行了二次逆可靠度評估,后續(xù)如何將其推廣至非均質(zhì)邊坡,加強(qiáng)基于二次逆可靠度邊坡穩(wěn)定性分析方法的普適性,這是我們需要考慮的問題。