張秀娥， 康永剛

(防災(zāi)科技學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部， 三河 065201)

研究彈性波在含流體孔隙介質(zhì)中的傳播，可以為油氣儲(chǔ)層、飽和及非飽和土、海底沉積物等介質(zhì)的勘探提供理論基礎(chǔ)。Biot[1-3]在建立該類(lèi)介質(zhì)波動(dòng)方程時(shí)，首先分開(kāi)考慮孔隙流體和固體骨架的運(yùn)動(dòng)，他的理論是該領(lǐng)域的開(kāi)創(chuàng)性工作。之后被提出的重要模型有噴射流模型、Biot理論與噴射流相結(jié)合的(Biot squirt, BISQ)模型、飽和斑塊模型、層狀周期模型和雙孔隙模型等[4]。這些理論都針對(duì)充滿牛頓流體的孔隙介質(zhì)，但實(shí)際孔隙流體經(jīng)常表現(xiàn)出非牛頓流體特性，如油藏開(kāi)發(fā)領(lǐng)域涉及的重油、頁(yè)巖油、瀝青油等高黏度原油[5]，當(dāng)作牛頓流體計(jì)算的頻散和衰減曲線，往往與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大的差距。Tsiklauri等[6]通過(guò)對(duì)黏滯系數(shù)引入一個(gè)修正因子，考察了彈性波在Maxwell流體飽和孔隙介質(zhì)的頻散和衰減特性。Cui等[7]在引入黏滯系數(shù)修正因子時(shí)，考慮了孔隙的尺寸分布。崔志文等[8]在BISQ模型中考慮了非牛頓流體的影響。Markov[9]研究了Maxwell流體飽和孔隙介質(zhì)表面的Rayleigh波。Revil等[10]在研究震電效應(yīng)時(shí)考慮了流體的非牛頓效應(yīng)。劉文山等[11]使用動(dòng)態(tài)黏度表征非牛頓流體的特征，但仍然是基于經(jīng)典的Maxwell流體。Solazzi等[12]研究了彈性波在Maxwell流體飽和孔隙介質(zhì)中傳播時(shí)的噴射流效應(yīng)。El Baroudi等[13]討論了Maxwell流體飽和孔隙夾層中傳播的洛夫波(Love wave)。以上研究表明，孔隙流體的非牛頓效應(yīng)對(duì)彈性波的傳播有重要影響。分?jǐn)?shù)階微積分已被成功應(yīng)用到許多領(lǐng)域，如孔隙介質(zhì)中的反常滲流[14]，但在孔隙介質(zhì)的彈性波領(lǐng)域，相關(guān)研究很少。熊繁升[15]在建立孔隙介質(zhì)波動(dòng)方程時(shí)引入了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述的耗散函數(shù)。利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述的分?jǐn)?shù)Maxwell流體，更適合描述實(shí)際非牛頓流體的特征，但尚未發(fā)現(xiàn)在孔隙介質(zhì)彈性波領(lǐng)域考慮該類(lèi)流體的研究。

通過(guò)分析彈性波在含流體的孔隙介質(zhì)界面上的反射和透射特征，可以獲取該類(lèi)介質(zhì)的相關(guān)信息。Stoll等[16]、李堯等[17]研究了流體/流體飽和多孔介質(zhì)界面上的反射與透射，應(yīng)用了包含噴射流機(jī)制的BISQ模型。魏征等[18]、Sharma等[19]、Tomar等[20]研究了固體/流體飽和多孔介質(zhì)邊界上的反射與透射, 其中，魏征等[18]研究的是橫觀各向同性孔隙介質(zhì)，而Sharma等[19]、Tomar等[20]考慮了孔隙介質(zhì)含兩種互不相容流體的情況。Wu[21]、代智軍等[22]、Singh等[23]研究了液體飽和多孔介質(zhì)/液體飽和多孔介質(zhì)界面上的反射與透射, 其中代智軍等[22]采用了雙孔隙模型。還有學(xué)者研究了彈性波在含孔隙介質(zhì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的反射和透射，如三明治結(jié)構(gòu)液體/孔隙介質(zhì)/固體[24]、固體/孔隙介質(zhì)/固體[25]等。以上研究認(rèn)為，孔隙介質(zhì)充滿牛頓流體，目前尚未發(fā)現(xiàn)在反射和透射現(xiàn)象中考慮非牛頓流體的情況。

含流體的孔隙介質(zhì)為耗散介質(zhì)，傳播的一般是非均勻波，目前的研究都基于均勻波，與實(shí)際情況并不符合。研究彈性波在孔隙介質(zhì)界面反射和透射時(shí)，會(huì)采用Snell定理，即各列波在x方向(假設(shè)x方向在入射面內(nèi)且沿著分界面)波數(shù)相等?；诰鶆虿僭O(shè)，應(yīng)用Snell定理會(huì)給出復(fù)數(shù)的三角函數(shù)和角度，物理意義不明確。例如，波由彈性介質(zhì)射向孔隙介質(zhì)時(shí)，入射角和入射波在x方向波數(shù)均為實(shí)數(shù)，由于孔隙介質(zhì)中波數(shù)為復(fù)數(shù)，要求透射角的正弦為復(fù)數(shù)(即透射角為復(fù)數(shù))，來(lái)保證二者乘積為實(shí)數(shù)。

鑒于此，通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)Maxwell流體在圓管內(nèi)的振蕩流分析，給出黏滯系數(shù)修正因子，由此來(lái)表示非牛頓流體對(duì)孔隙介質(zhì)彈性波的影響。推導(dǎo)了波從彈性固體射向孔隙介質(zhì)時(shí)，在兩個(gè)半空間分界面的反射和透射系數(shù)。按照非均勻波討論，給出的透射角為實(shí)數(shù)，物理意義明確。通過(guò)數(shù)值算例，并與牛頓流體的情況對(duì)比，討論了孔隙流體非牛頓效應(yīng)對(duì)反射和透射系數(shù)的影響。最后部分給出一些重要結(jié)論。

1 控制方程

1.1 Biot理論

Biot理論給出的流體飽和孔隙介質(zhì)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為[3, 16]

τij=(H-2μ)eδij+2μεij-Cζδij

(1)

pf=Mζ-Ce

(2)

H=(1-Kb/Kr)2M+Kb+4μ/3

(3)

C=(1-Kb/Kr)M

(4)

(5)

式中：Kb、Kr和Kf分別為骨架、固相和孔隙流體的體積模量。

Biot理論給出的運(yùn)動(dòng)方程為

(6)

(7)

將式(1)、式(2)代入式(6)、式(7)，得到彈性波的動(dòng)力學(xué)方程為

(8)

(9)

1.2 分?jǐn)?shù)Maxwell流體的影響

當(dāng)流體在圓管中流動(dòng)，管壁按時(shí)間規(guī)律e-iωt沿縱向振動(dòng)，其中，t為時(shí)間，ω為圓頻率，i為虛數(shù)單位。對(duì)于柱坐標(biāo)系(r,θ,z)，r和θ分別為極徑和極角。流體只沿著z方向流動(dòng)，vf為流速，vf為流速大小，即vf=vf(r,t)ez，其中ez為軸向的單位矢量。此時(shí)只有應(yīng)力τrz不為零，動(dòng)量方程為

(10)

考慮到物理量都按e-iωt規(guī)律隨時(shí)間變化，式(10)可改寫(xiě)為

(11)

分?jǐn)?shù)Maxwell流體的本構(gòu)關(guān)系為[26]

(12)

當(dāng)tm=0時(shí)退化為牛頓流體，當(dāng)γ=1時(shí)為經(jīng)典的Maxwell流體。保留式(12)中應(yīng)變對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，分?jǐn)?shù)Maxwell模型才表現(xiàn)出流體的性質(zhì)。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有不同形式的定義，采用Riemann-Liouville定義，積分下限取為負(fù)無(wú)窮[27]，即

0<γ<1

(13)

當(dāng)流體在圓管中流動(dòng)，管壁按時(shí)間規(guī)律e-iωt沿縱向振動(dòng)，式(12)變?yōu)?/p>

(14)

式(14)中：τrz為管壁應(yīng)力。

(15)

引入相對(duì)速度v1(r,t)=vf(r,t)-vs，其中vs為管壁的速度。將式(15)代入式(11)得

(16)

式(16)中：

(17)

ξ2=iωρf(1+(-iωtm)γ]/η

(18)

令a為圓筒半徑，由非滑移邊界條件v1(a,ω)=0，得

(19)

式(19)中：J0為零階貝塞爾函數(shù)。

仿照Biot[2]的做法，圓管截面的平均流速可表示為

(20)

式(20)中：J1為一階貝塞爾函數(shù)。

將式(19)代入式(15)得管壁的應(yīng)力為

(21)

計(jì)算總摩擦力與平均流速的比值

=-8πηF(κ)

(22)

(23)

當(dāng)γ=1時(shí)，式(23)退化為T(mén)siklauri等[6]的結(jié)果。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型，多了參數(shù)γ，相對(duì)于經(jīng)典的Maxwell模型，更適合對(duì)實(shí)際非牛頓流體的描述。由式(22)可知，為了表示孔隙流體的非牛頓效應(yīng)，只需用F(κ)η代替η。

由此，式(9)變?yōu)?/p>

(24)

為了求解式(8)和式(24)，對(duì)位移進(jìn)行亥姆霍茲分解

(25)

(26)

式中：φ和ψ分別為標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)；下標(biāo)s為固體骨架；下標(biāo)f為孔隙流體。

將式(25)、式(26)代入式(8)和式(24)，可求得快縱波波數(shù)lp1、慢縱波波數(shù)lp2和橫波波數(shù)ls，具體求解過(guò)程可參考文獻(xiàn)[16]，在此不再贅述?？汕蟮昧黧w與骨架勢(shì)函數(shù)的幅值比

(27)

(28)

式中：δp1、δp2和δs分別為流體中P1波、P2波和S波與骨架中相應(yīng)波的幅值比。

式(27)和式(28)說(shuō)明同一種波在骨架和流體中引起不同幅值的振動(dòng)，印證了Biot關(guān)于流體與骨架間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的假設(shè)。

2 反射和透射

彈性固體半空間的彈性波控制方程為

(29)

(30)

P為傳播矢量；和分別為P1波、P2波和S波的透射角；A為衰減矢量；β為傳播矢量與衰減矢量間的夾角；即上標(biāo)i、r和t分別表示入射波、反射波和透射波；下標(biāo)p、s、p1和p2分 別表示P波、S波、 快縱波(P1)和慢縱波(P2)圖1 波在彈性固體/孔隙介質(zhì)界面的反射和透射Fig.1 Reflection and transmission of elastic waves at an interface between solid and porous medium

式(30)中：φ1和ψ1分別為標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)。

P波和S波的波數(shù)分別為

(31)

2.1 反射和透射波的勢(shì)函數(shù)

彈性固體中的入射波和反射波用勢(shì)函數(shù)可表示為

(32)

(33)

式中：B為幅值；上標(biāo)i和r分別為入射波和反射波；下標(biāo)p和s分別為P波和S波；矢量勢(shì)ψ1=ψ1i2，其中，ψ1為其大小，i2為沿y軸方向的單位矢量。

考慮流體和固體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的孔隙介質(zhì)是耗散介質(zhì)，傳播的通常是非均勻波。目前，研究者們常按均勻波處理，與實(shí)際不符。此外，按均勻波處理，應(yīng)用Snell定理會(huì)給出復(fù)數(shù)的角度，物理意義不明確。假設(shè)孔隙介質(zhì)中傳播的是非均勻波，則透射波用勢(shì)函數(shù)可表示為

(34)

(35)

(36)

(37)

式中：B為幅值；上標(biāo)t為透射波；下標(biāo)p1和p2分別為快縱波和慢縱波；矢量勢(shì)ψs=ψsi2，ψf=ψfi2，ψs和ψf分別為ψs和ψf的大??；位置矢量r=xi1+zi3，其中單位矢量i1和i3分別沿x軸和z軸方向。

傳播矢量和衰減矢量可分別表示為

j=p1,p2,s

(38)

式(38)中：kj=kjR+kjIi和dj=djR+djIi分別為x、z方向的復(fù)波數(shù)，下標(biāo)R和I分別表示實(shí)部和虛部，kj和dj滿足：

(39)

注意dj取復(fù)數(shù)平方根的主值，即djR≥0。利用傳播方向和衰減方向的夾角β，x方向的復(fù)波數(shù)可表示為

(40)

由Snell定理可知，各列波在x方向的波數(shù)相等，即

(41)

(42)

2.2 邊界條件

在界面z=0的連續(xù)性條件如下。

(1)彈性固體和孔隙介質(zhì)骨架的法向位移連續(xù)，可表示為

(43)

(2)對(duì)于非滲透界面，流體相對(duì)骨架的z方向位移為零，即

wz=0

(44)

對(duì)于滲透界面，有

pf=0

(45)

(3) 彈性固體和孔隙介質(zhì)骨架的切向位移連續(xù)，可表示為

(46)

(4) 彈性固體和孔隙介質(zhì)的正應(yīng)力連續(xù)，可表示為

(47)

(5) 彈性固體和孔隙介質(zhì)的切向應(yīng)力連續(xù)，可表示為

(48)

利用波的勢(shì)函數(shù)式(32)～式(37)和邊界條件式(43)～式(48)，反射和透射系數(shù)可由式(49)獲得

(49)

式(49)中：a為一個(gè)5×5的矩陣；b為一個(gè)列矩陣；上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置矩陣。

式(49)中矩陣a的各元分素別為：

a13=-dp1,a14=-dp2,a15=-ksR。

對(duì)于不可滲界面有：a21=0,a22=0,a23=-δp1dp1,a24=-δp2dp2,a25=-δsksR。

對(duì)于可滲界面有：

矩陣b的各元素分別為：

3 數(shù)值算例和討論

圖2為德博拉數(shù)取值不同時(shí)，反射和透射系數(shù)隨頻率的變化曲線。低頻時(shí)，非牛頓效應(yīng)對(duì)反射和透射系數(shù)幾乎沒(méi)有影響。隨著頻率的增加，非牛頓效應(yīng)逐漸變得明顯，反射和透射系數(shù)隨頻率出現(xiàn)幅值衰減的振動(dòng)。德博拉數(shù)ζ越小，與牛頓流體情況差別越大，振動(dòng)幅度也越大。隨著德博拉數(shù)的變化，孔隙介質(zhì)的性質(zhì)改變，孔隙介質(zhì)的固有頻率相應(yīng)變化。當(dāng)激振頻率接近固有頻率時(shí)，透射系數(shù)增大，反射系數(shù)相應(yīng)減少。例如，當(dāng)?shù)虏├瓟?shù)為0.1時(shí)，在1 000～10 000 Hz范圍，孔隙介質(zhì)存在多個(gè)固有頻率。因此P波反射系數(shù)和P1波透射系數(shù)在該頻率范圍出現(xiàn)周期性振動(dòng)。

圖3為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)對(duì)反射和透射波的影響。隨著階數(shù)的增加，與牛頓流體的情況差別越來(lái)越大，并開(kāi)始出現(xiàn)幅值衰減的振動(dòng)。當(dāng)γ=1時(shí)，即整數(shù)階Maxwell流體時(shí)，幅值振動(dòng)最明顯。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)變化，孔隙介質(zhì)的固有頻率變化。當(dāng)一定頻率范圍內(nèi)存在多個(gè)固有頻率時(shí)，每當(dāng)激振頻率接近固有頻率，透射系數(shù)增大，反射系數(shù)減少，出現(xiàn)幅值隨頻率的振動(dòng)。通過(guò)階數(shù)的變化，可以實(shí)現(xiàn)牛頓流體到Maxwell流體的過(guò)渡，擴(kuò)大了模型的適用范圍。

圖4為黏滯系數(shù)對(duì)反射和透射系數(shù)的影響。由于德博拉數(shù)ζ=a2ρf/(ηtm)，相應(yīng)改變?chǔ)票硎酒渌麉?shù)不變。低頻時(shí)，介質(zhì)有足夠的時(shí)間達(dá)到松弛狀態(tài)，而高頻時(shí)，介質(zhì)來(lái)不及松弛。所以，低頻和較高頻時(shí)，黏滯系數(shù)的影響可以忽略。黏滯系數(shù)越大，開(kāi)始由低頻時(shí)的值向高頻時(shí)的值變化的頻率越大，似乎圖形在向高頻移動(dòng)。振動(dòng)的幅值也隨著黏滯系數(shù)的變化而有所不同。在中間頻率范圍，圖形隨黏滯系數(shù)增加向高頻的移動(dòng)，反映了材料松弛時(shí)間隨黏滯系數(shù)的變化。

圖2 德博拉數(shù)不同時(shí)的反射和透射系數(shù)Fig.2 Reflection and transmission coefficients for different Deborah number

圖3 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)對(duì)反射和透射系數(shù)的影響Fig.3 Influence of the fractional index on reflection and transmission coefficients

圖4 黏滯系數(shù)不同時(shí)的反射和透射系數(shù)Fig.4 Reflection and transmission coefficients for different viscosity (γ=0.9,

圖5為邊界滲透性對(duì)反射和透射系數(shù)的影響。無(wú)論牛頓流體還是分?jǐn)?shù)Maxwell流體，邊界滲透性顯著影響能量在反射波和透射波間的分配比例。邊界可滲時(shí)，彈性波更易被反射。這是由于邊界不可滲時(shí)，流體阻抗導(dǎo)致了透射波的增強(qiáng)和反射波的減弱。

圖5 邊界條件對(duì)反射和透射系數(shù)的影響 Fig.5 Influence of the interface conditions on reflection and transmission coefficients (ζ=0.1, γ=0.6,

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)Maxwell流體在周期性振動(dòng)圓管中流動(dòng)的分析，給出黏滯系數(shù)修正因子，由此來(lái)表示孔隙流體非牛頓效應(yīng)的影響。目前在孔隙介質(zhì)彈性波領(lǐng)域常被討論的Maxwell流體為其特例。推導(dǎo)了平面P波從彈性固體射向孔隙介質(zhì)時(shí)，在界面的幅值反射和透射系數(shù)，其中孔隙介質(zhì)充滿分?jǐn)?shù) Maxwell 模型描述的非牛頓流體。按照非均勻波討論，由Snell定理給出的透射角為實(shí)數(shù)，物理意義明確。通過(guò)數(shù)值算例，并與充滿牛頓流體情況對(duì)比，研究了流體非牛頓效應(yīng)對(duì)反射和透射系數(shù)的影響，得出如下主要結(jié)論。

(1)波在固體和孔隙介質(zhì)的界面反射和透射時(shí)，孔隙介質(zhì)中的快、慢縱波和橫波都是非均勻波，它們的傳播方向不同，但衰減方向相同，均垂直于界面。

(2)分?jǐn)?shù)階模型架起了牛頓流體與Maxwell流體間的橋梁，增加了一個(gè)參數(shù)，擴(kuò)大了非牛頓流體模型的使用范圍。

(3)德博拉數(shù)越小，分?jǐn)?shù)Maxwell流體的非牛頓效應(yīng)越明顯，反射和透射系數(shù)與牛頓流體情況的差別越大。德博拉數(shù)較小時(shí)，由于孔隙介質(zhì)固有頻率的變化，會(huì)出現(xiàn)隨頻率的幅值衰減振動(dòng)。

(4)黏滯系數(shù)、邊界的滲透性對(duì)反射和透射波均有影響。雖然表現(xiàn)特征有差異，但都主要影響中等頻率范圍。