丁東升，劉永強，楊紹普

（1.石家莊鐵道大學省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學機械工程學院，河北 石家莊 050043）

引 言

滾動軸承在旋轉(zhuǎn)機械設備中具有很重要的作用，它主要將軸和軸承座之間的滑動摩擦變?yōu)闈L動摩擦，大大減輕了摩擦損失。據(jù)相關資料統(tǒng)計，約有30%的故障是滾動軸承故障引起的，本文研究的滾動軸承為高速列車軸箱軸承，在相關高速列車軸箱軸承故障統(tǒng)計中［1］，外圈故障所占比例為63.6%，內(nèi)圈故障所占比例為28%，由此可見，軸承外圈是極易發(fā)生故障的位置?？紤]到軸箱軸承作為高速列車的關鍵部件之一，其在運行過程中承受著復雜惡劣的工況，軸承一旦產(chǎn)生故障，將對列車的安全運行產(chǎn)生影響。因此，研究軸承故障已經(jīng)成為當下比較關注的話題。

Ghaisas 等［2］通過建立六自由度模型來模擬軸承內(nèi)部零件的運動，分析了內(nèi)圈轉(zhuǎn)速、滾子尺寸變化和軸承不對中等因素對保持架運行穩(wěn)定性的影響。Cui 等［3］定量分析了滾動軸承不同故障尺寸對其振動響應的影響。Liu［4］以軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，分析了軸承摩擦力對系統(tǒng)振動響應的影響。Cui等［5］研究了保持架振動特性與滾子動不平衡之間的關系。Chen 等［6］建立了圓柱滾子軸承保持架非線性動力學模型，分析了保持架偏心率和導向間隙對其動態(tài)性能的影響。李志農(nóng)等［7］分析了軸承滾動體出現(xiàn)故障時滾子通過故障區(qū)域時滾道的變形量。劉靜等［8］建立了含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)有限元模型，分析了局部故障尺寸的變化對其振動特性的影響。涂文兵等［9］建立了轉(zhuǎn)速波動工況下滾動軸承打滑的動力學模型，并分析了轉(zhuǎn)速波動對軸承打滑的影響。董紹江等［10］分析了滾動軸承表面局部缺陷對軸承振動產(chǎn)生的影響。涂文兵等［11］研究了滾動體進入承載區(qū)的打滑問題，并分析了軸承轉(zhuǎn)速、載荷等因素對軸承振動特性的影響。張文虎等［12］分析了不同工況條件和軸承尺寸參數(shù)對保持架振動特性的影響。姚延強等［13］運用廣義-α 方法分析了變工況條件下球軸承動力學特性和保持架運行穩(wěn)定性。

通過上述國內(nèi)外學者對軸承故障的研究可以發(fā)現(xiàn)：他們對軸承故障的研究主要集中在如何識別出故障以及驗證所提出的故障診斷方法是否有效，而對軸承產(chǎn)生故障時其內(nèi)部元件間運動規(guī)律的研究還很不足。因此，通過分析外圈滾道不同損傷位置對軸承動力學行為的影響，對推動軸承設計和故障診斷技術發(fā)展具有一定的理論和實際意義。

1 滾動軸承的力學分析

對滾動軸承的各個零部件進行受力分析，為研究其內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間的運動關系和動力學模型參數(shù)的確定提供了參考依據(jù)。綜合考慮了軸承在運行過程中所受的徑向力、軸向力、摩擦力和傾覆力矩等的作用，得到了滾子與保持架兜孔間的相互作用力［14］如圖1所示。

圖1 滾子與保持架間相互作用力Fig.1 Interaction force between roller and cage

圖1中，Qcjk為滾子與保持架兜孔間的接觸載荷，Mcjk為滾子與保持架兜孔間的傾覆力矩，fcjk為滾子與保持架兜孔間的摩擦力，ωrj為滾子自轉(zhuǎn)角速度，其中，k取值為1 或2。滾子與保持架兜孔間接觸載荷的計算如下式所示：

式中δcjk為滾子與保持架兜孔間的彈性變形量，A為變形系數(shù)，lr為滾子有效接觸長度。滾子與保持架兜孔間摩擦力和傾覆力矩的計算如下式所示：

式中dm為滾子平均直徑；μcj為摩擦系數(shù)。滾子大端與內(nèi)圈大擋邊間的相互作用力如圖2所示。

圖2 滾子大端與內(nèi)圈大擋邊間相互作用力Fig.2 The interaction between the big end of the roller and the big retaining edge of the inner ring

圖2中，Qfj，frj和Mrj分別為滾子大端與內(nèi)圈大擋邊間的接觸載荷、摩擦力和傾覆力矩；αxj為滾子的歪斜角。滾子大端與內(nèi)圈大擋邊間接觸載荷的計算如下式所示：

式中E′為接觸區(qū)域的彈性模量；k0為比例系數(shù)；Rη，Rζ分別為接觸區(qū)域兩物體的曲率半徑；Γ為接觸區(qū)域彈性變形量比例系數(shù)。滾子大端與內(nèi)圈大擋邊間摩擦力和傾覆力矩的計算如下式所示：

滾子與滾道間相互作用力如圖3所示。

圖3 滾子與滾道間相互作用力Fig.3 Interaction force between roller and raceway

圖3中，Qoj和Qij分別為滾子與外滾道和內(nèi)滾道間的接觸載荷；αo，αf和αi分別為滾子與外滾道、內(nèi)圈大擋邊、內(nèi)滾道間的接觸角。根據(jù)牛頓運動定律和歐拉方程可以得到保持架轉(zhuǎn)動的動力學微分方程為：

式中Jc，和dc分別為保持架的轉(zhuǎn)動慣量、角加速度和直徑，Qcj為保持架與內(nèi)圈大擋邊間的接觸載荷，αc為保持架與滾子的平均接觸角。滾子的運動形式主要是平動和轉(zhuǎn)動，由于篇幅限制，以垂向為例，列出第j個滾子平動的動力學微分方程為：

式中mr為滾子的質(zhì)量，Qcxj和Qczj分別為保持架與內(nèi)圈大擋邊間的接觸載荷的徑向分量，γ為滾子與滾道間的平均接觸角，β為滾子的半錐角，θ為保持架兜孔壓坡角，ψj為滾子方位角，fo為滾子與外圈擋邊間的摩擦力，fc為滾子與保持架間的摩擦力，fi為滾子與內(nèi)圈間的摩擦力。第j個滾子轉(zhuǎn)動的微分方程為：

式中Mfjx，Mfjz為滾子與保持架間兜孔間傾覆力矩的徑向分量；Mfo，Mfi分別為滾子與滾道間的摩擦力矩；Moj，Mij分別為滾子與滾道間的傾覆力矩。

內(nèi)圈所受力和力矩為：

式中Fr，F(xiàn)a分別為徑向力和軸向力；Qrij為第i列軸承第j個滾子所受的徑向力；Qaij為第i列軸承第j個滾子所受的軸向力；Qoi為滾子與內(nèi)外圈滾道間的接觸載荷；M為軸承內(nèi)圈所受力矩；ψi為滾子方位角。上述滾動軸承的力學分析為模型的建立提供了理論依據(jù)。

2 滾動軸承動力學模型的建立

本文研究的滾動軸承為高速列車軸箱軸承。首先在三維建模軟件Solidworks 中建立軸箱軸承三維模型，根據(jù)實際軸承的故障類型和故障尺寸對所建模型設置故障，然后將設置好的故障軸承模型導入到多體動力學分析軟件ADAMS 中，根據(jù)軸承實際的運行環(huán)境，在ADAMS 中對該模型最大限度地賦予軸承真實屬性。本文所建立的軸箱軸承為雙列圓錐滾子軸承，其主要的尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 軸承主要尺寸參數(shù)Tab.1 The main dimensions of the bearing

忽略密封圈對軸承的影響，軸箱軸承各個零部件的三維模型如圖4所示。

圖4 軸箱軸承三維模型Fig.4 Three-dimensional model of axle box bearing

根據(jù)真實軸承外圈滾道剝離故障形態(tài)和尺寸，考慮到剝離故障呈凹凸狀（長/寬/深約為：46.7/3.4/1.1 mm），且這種不均勻的損傷表面無法定量描述，因此對軸承三維模型外圈內(nèi)滾道進行理想化處理，同時外圈滾道的剝離故障相對于點蝕、劃痕和裂紋而言，其故障程度要嚴重一點，在后續(xù)仿真中可以更加容易地發(fā)現(xiàn)動力學行為的規(guī)律，因此將剝離故障設置成單側(cè)通槽狀，故障長度與通槽長度保持一致為55 mm，故障寬度和深度采取四舍五入，分別為3 mm 和1 mm，軸承外圈剝離故障如圖5所示。

圖5 軸承外圈剝離故障Fig.5 Bearing outer ring peeling fault

基于ADAMS 對含外圈滾道剝離故障的軸承進行材料屬性的定義、約束和驅(qū)動的添加、接觸關系的設置、仿真步長的選取等操作，設置完成后得到的故障軸承動力學模型如圖6所示。

圖6 故障軸承動力學模型Fig.6 Dynamic model of fault bearing

3 模型的驗證

對于故障軸承動力學模型的驗證主要從以下兩方面去考慮，首先是對比部件轉(zhuǎn)速的理論值和仿真值；其次是對比外圈故障特征頻率的仿真結(jié)果和實驗結(jié)果。

3.1 部件轉(zhuǎn)速的驗證

軸承在運行過程中，保持架和滾子的運動形式比較復雜，內(nèi)圈在旋轉(zhuǎn)軸的帶動下運動，外圈通常與軸承座相固定，因此通過分析保持架和滾子轉(zhuǎn)速的理論值和仿真值，來驗證所建模型的有效性。保持架和滾子轉(zhuǎn)速的理論計算公式為：

式中Nc，Nr，No和Ni分別表示保持架、滾子、外圈和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速的理論值。

以2100 r/min 時保持架和滾子轉(zhuǎn)速對比圖為例來展示其轉(zhuǎn)速變化情況。

由圖7可以知道，保持架和滾子的轉(zhuǎn)速均在理論值附近波動，其具體轉(zhuǎn)速的數(shù)值如表2和3所示。

圖7 2100 r/min 時軸承部件轉(zhuǎn)速對比圖Fig.7 Comparison diagram of bearing parts′ rotational speed at 2100 r/min

由表2和表3可以發(fā)現(xiàn)：保持架和滾子轉(zhuǎn)速的誤差均隨著軸承轉(zhuǎn)速的增加而增大，保持架轉(zhuǎn)速的平均誤差在1.32%左右，誤差比較小，滾子轉(zhuǎn)速的平均誤差在4.69%左右，誤差相對較大，主要與滾子的運動形式以及其通過故障區(qū)時接觸剛度等非線性因素變化有關。滾子在運行過程中不僅進行著公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，還伴隨著打滑和歪斜，滾子在經(jīng)過故障區(qū)時，其與滾道間的接觸剛度開始變的不連續(xù)，接觸剛度減小，接觸力與接觸剛度呈正比，滾子打滑加劇，滾子轉(zhuǎn)速呈下降趨勢。同時，還考慮到建模過程中的幾何誤差、仿真過程中的求解器誤差等因素，因此，滾子轉(zhuǎn)速的仿真值與理論值間的誤差相對保持架而言較大一些?？梢姡３旨芎蜐L子轉(zhuǎn)速的誤差均在合理范圍內(nèi)，通過部件轉(zhuǎn)速方面驗證了所建模型的有效性。

表2 保持架轉(zhuǎn)速數(shù)值對比Tab.2 Numerical comparison of cage speed

表3 滾子轉(zhuǎn)速數(shù)值對比Tab.3 Numerical comparison of roller speed

3.2 外圈故障特征頻率的驗證

根據(jù)所建立的故障軸承動力學模型，在鐵路軸承綜合實驗臺上進行動力學實驗。首先采用電火花加工出和所建模型具有相同尺寸的外圈滾道單側(cè)通槽故障，將試驗軸承安裝在鐵路軸承綜合實驗臺上；其次對試驗軸承進行徑向力和軸向力的添加，在軸承端蓋位置安裝加速度傳感器，用來采集軸承振動信號；將采樣頻率設置為51.2 kHz，主要是為了覆蓋軸承在運行過程中故障沖擊所引起的高頻共振頻帶，因為低頻頻帶包含了輪對關鍵部件的振動特征，輪軌激勵干擾較大，采樣時長為60 s。電火花加工的外圈滾道剝離故障如圖8所示。

圖8 電火花加工的外圈滾道剝離故障Fig.8 Peeling failure of outer ring raceway in EDM

鐵路軸承綜合實驗臺及傳感器安裝測點如圖9所示。

圖9 實驗臺及傳感器測點Fig.9 Test bench and sensor measuring point

為方便對比仿真結(jié)果和實驗結(jié)果，均選取前1 s來進行分析。采用經(jīng)驗模態(tài)分解故障診斷方法對仿真信號和實驗信號進行處理，選取峭度值最大的第4 個模態(tài)分量進行包絡解調(diào)，以2100 r/min 時仿真結(jié)果和實驗結(jié)果的時頻域信號來展示。圖10為2100 r/min 時仿真結(jié)果的時頻域信號。

圖10 2100 r/min 時仿真結(jié)果的時頻域信號Fig.10 Time-frequency domain signal of simulation results at 2100 r/min

圖11為2100 r/min 時實驗結(jié)果的時頻域信號。

圖11 2100 r/min 時實驗結(jié)果的時頻域信號Fig.11 Time-frequency domain signal of experimental results at 2100 r/min

通過對比圖10和11 的時域信號可以得到：仿真結(jié)果的時域信號呈現(xiàn)出更加明顯的故障沖擊特征，且其幅值較小，主要是因為在軸承建模過程中，忽略了軸承端蓋對軸承的影響。同時，軸承通過ADAMS 進行仿真的過程是處于一個無噪聲無外界干擾的環(huán)境中，故仿真結(jié)果時域信號的幅值要小于實驗信號的幅值。通過對比圖10和11 的頻域信號可以得到：兩者均能呈現(xiàn)出外圈故障特征頻率，且與2100 r/min 時外圈故障特征頻率的理論值257 Hz 相差不大。不同轉(zhuǎn)速下外圈故障特征頻率的仿真結(jié)果和實驗結(jié)果如表4所示。

表4 外圈故障特征頻率對比Tab.4 Comparison of characteristic frequencies of outer ring faults

由表4可以發(fā)現(xiàn)：仿真結(jié)果和實驗結(jié)果在不同轉(zhuǎn)速下與外圈故障特征頻率理論值之間的誤差均未超過1%，由此可見，誤差均在合理范圍內(nèi)。通過對比外圈故障特征頻率的仿真結(jié)果和實驗結(jié)果，驗證了所建模型的有效性。

4 動力學仿真分析

對外圈滾道設置不同損傷位置（3 點鐘、6 點鐘、9 點鐘和12 點鐘），分析滾子與滾道間接觸點時間間隔的變化、滾子與滾道間接觸力的變化、滾子質(zhì)心軌跡及其打滑率和保持架質(zhì)心軌跡及其運行的平穩(wěn)性。

4.1 滾子與滾道間接觸點時間間隔的變化

選取故障區(qū)域一側(cè)滾子母線上的一點和內(nèi)外圈滾道間的接觸點作為研究對象，相鄰兩接觸點間的時間間隔即為相鄰兩接觸力間的時間間隔，不同轉(zhuǎn)速下外圈滾道不同損傷位置時滾子與滾道間接觸點時間間隔的變化如圖12所示。

由圖12可以得到：軸承有故障時，滾子與滾道間接觸點的時間間隔變大，是因為故障區(qū)域的存在阻礙了滾子的正常運行，進而增大了其通過故障區(qū)域的時間；滾子與滾道間接觸點的時間間隔不受故障位置的影響，軸承轉(zhuǎn)速越大，滾子通過故障區(qū)域受到的阻礙越小，相鄰兩接觸點的時間間隔越短。

圖12 滾子與滾道間接觸點時間間隔Fig.12 Time interval between roller and raceway indirect contact

4.2 滾子與滾道間接觸力的變化

采用計算均方根值的形式去定量分析滾子與滾道間的接觸力，不同轉(zhuǎn)速下外圈滾道不同損傷位置時滾子與滾道間接觸力的變化如圖13所示。

由圖13可以得到：滾子與內(nèi)外圈滾道間的接觸力受外圈滾道損傷位置的影響，損傷位置位于6 點鐘和12 點鐘時，滾子與滾道間的接觸力分別為最大和最小，可見，當軸承故障發(fā)生在承載區(qū)時，外圈滾道的磨損程度更大。軸承有故障時，滾子與滾道間的接觸力均比軸承無故障時滾子與滾道間的接觸力要大，可見，故障的存在會加大滾子與滾道間的接觸力，進而加劇軸承滾道的損壞。通過比較，滾子與外圈滾道間的接觸力相對更大，過大的接觸力抑制了滾子的打滑，故其通過故障區(qū)域的時間更短，因此驗證了滾子與外圈滾道間接觸點時間間隔較小的結(jié)論。

圖13 滾子與滾道間接觸力的均方根值Fig.13 Root mean square of indirect contact force between roller and raceway

4.3 滾子質(zhì)心軌跡及其打滑率

對于滾子質(zhì)心軌跡的研究，選取故障區(qū)域一側(cè)的滾子作為研究對象，保持軸承所受徑向力和軸向力不變，通過改變軸承轉(zhuǎn)速來觀察滾子質(zhì)心軌跡的變化。由于篇幅限制，僅展示2100 r/min 時外圈滾道不同損傷位置處滾子質(zhì)心軌跡的變化情況，如圖14所示。

圖14 2100 r/min 時滾子質(zhì)心軌跡Fig.14 The trajectory of roller centroid in 2100 r/min

由圖14可以得到：無論軸承是否出現(xiàn)故障，滾子質(zhì)心軌跡均呈現(xiàn)“橢圓”狀，可見通過直觀判斷軌跡形狀是不能對滾子質(zhì)心軌跡進行區(qū)分的，因此引入離心率來衡量滾子質(zhì)心軌跡的變化。根據(jù)離心率計算公式，得到了不同轉(zhuǎn)速下滾子質(zhì)心軌跡離心率的變化趨勢，如圖15所示。

圖15 滾子質(zhì)心軌跡的離心率Fig.15 Eccentricity of the trajectory of roller centroid

由圖15可以得到：滾子質(zhì)心軌跡的離心率受外圈滾道損傷位置和軸承轉(zhuǎn)速的影響，軸承轉(zhuǎn)速越大，離心率越大，滾子質(zhì)心的波動程度也會隨之增強，從而導致滾子在運行過程中產(chǎn)生跳動現(xiàn)象。在承載區(qū)時，滾子質(zhì)心軌跡的離心率最小，與該位置受力最大有關。不同轉(zhuǎn)速下外圈滾道不同損傷位置時滾子打滑率如圖16所示。

圖16 滾子打滑率Fig.16 Slip rate of roller

由圖16可以得到：滾子打滑率受外圈滾道損傷位置和軸承轉(zhuǎn)速的影響，滾子打滑率隨著軸承轉(zhuǎn)速的增加而增大，軸承轉(zhuǎn)速在1800 r/min（約300 km/h）以上時，滾子打滑率明顯增強（大于5%），高速列車運營速度通常在250 km/h 以上，因此列車的高速運行加劇了滾道表面的不均勻擦傷，外圈滾道損傷6 點鐘位置時對滾子打滑率影響很小。

4.4 保持架質(zhì)心軌跡及其運行穩(wěn)定性

保持架在運行過程中將滾子均勻分開的同時還承受著滾子頻繁的碰撞，其運行狀態(tài)的好壞直接關系到軸承是否平穩(wěn)運行。因此，以2100 r/min 時外圈滾道不同損傷位置處保持架質(zhì)心軌跡的變化為例來進行展示，如圖17所示。

圖17 2100 r/min 時保持架質(zhì)心軌跡Fig.17 Centroid trajectory of cage at 2100 r/min

由圖17可以得到：無論軸承是否出現(xiàn)故障，保持架質(zhì)心軌跡均呈“渦動”狀，通過引入保持架質(zhì)心渦動速度偏差比來定量判斷其運行狀態(tài)是否平穩(wěn)。保持架質(zhì)心渦動速度偏差比［15］為：

式中vic，分別為保持架質(zhì)心運行速度和平均速度；σvc為保持架質(zhì)心渦動速度偏差比，其值越小，保持架運行越平穩(wěn)。不同轉(zhuǎn)速下外圈滾道不同損傷位置時保持架質(zhì)心渦動速度偏差比如圖18所示。

圖18 保持架質(zhì)心渦動速度偏差比Fig.18 Deviation ratio of centroid swirl velocity of cage

由圖18可以得到：保持架質(zhì)心渦動速度偏差比受外圈滾道損傷位置和軸承轉(zhuǎn)速的影響，軸承轉(zhuǎn)速越大，保持架質(zhì)心渦動速度偏差比越小，保持架運行越平穩(wěn)。外圈滾道損傷在6 點鐘位置時，對保持架運行穩(wěn)定性影響最大，因為在該位置處保持架承受很大的擠壓作用力，限制了保持架運動，導致保持架在該位置實際運行速度與理論運行速度之間出現(xiàn)較大差異，由此產(chǎn)生較大的速度偏差比。

5 結(jié) 論

（1）軸承有故障時，滾子與滾道間接觸點的時間間隔變大；軸承轉(zhuǎn)速越大，相鄰兩接觸點間的時間間隔越短。

（2）軸承故障的存在會加大滾子與滾道間的接觸力，進而加劇軸承滾道的損壞；軸承故障發(fā)生在承載區(qū)時，外圈滾道的磨損更嚴重。

（3）滾子質(zhì)心軌跡呈“橢圓”狀，滾子打滑率和其質(zhì)心軌跡的離心率受外圈滾道損傷位置和軸承轉(zhuǎn)速的影響；損傷位置位于6 點鐘時，對滾子的打滑起到了抑制作用，滾子打滑率的增大會加劇滾道表面的不均勻擦傷。

（4）保持架質(zhì)心軌跡呈“渦動”狀，保持架質(zhì)心渦動速度偏差比和其質(zhì)心軌跡受外圈滾道損傷位置和軸承轉(zhuǎn)速的影響；軸承轉(zhuǎn)速越大，保持架運行越平穩(wěn)，損傷位置位于12 點鐘時，對保持架平穩(wěn)運行影響不大。