?四川省雙流中學(xué) 鄧 明 趙一凡 曹軍才

1 試卷分析

2022年全國(guó)甲卷(理科)試卷落實(shí)高考改革的總體要求，貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出閱讀理解、信息整理、語(yǔ)言表達(dá)、批判性思維四項(xiàng)關(guān)鍵能力的考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔功能和全面育人導(dǎo)向作用．試題體現(xiàn)以下特點(diǎn).

1.1 構(gòu)建豐富情境，發(fā)揮育人功能

1.1.1 統(tǒng)計(jì)圖表——?jiǎng)?chuàng)設(shè)生活情境

如第2題考查統(tǒng)計(jì)圖表.統(tǒng)計(jì)圖表在生產(chǎn)與生活中應(yīng)用非常廣泛，前些年是高考熱點(diǎn)，沉寂兩年之后，又出現(xiàn)在了高考試卷中.高考對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的考查不局限于頻率分布直方圖、莖葉圖，生產(chǎn)與生活中的折線圖、柱形圖、扇形圖、雷達(dá)圖在高考中都考查過.本題以社區(qū)環(huán)境建設(shè)中的“垃圾分類”為背景考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，對(duì)數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也作了相應(yīng)的考查．

1.1.2 扇形弧長(zhǎng)——浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化

如第8題取材于我國(guó)古代科學(xué)家沈括的杰作《夢(mèng)溪筆談》，以沈括研究的圓弧長(zhǎng)計(jì)算方法“會(huì)圓術(shù)”為背景，以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為情境材料設(shè)置試題，讓學(xué)生直觀感受我國(guó)古代科學(xué)家探究問題和解決問題的過程，讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)學(xué)研究成果，進(jìn)一步樹立民族自信心和自豪感，培育愛國(guó)主義情感．

1.1.3 概率統(tǒng)計(jì)——體現(xiàn)應(yīng)用價(jià)值

如第19題以校園體育比賽為背景考查隨機(jī)事件的概率計(jì)算、隨機(jī)變量的概率分布列和期望．考查學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境下解決實(shí)際問題的能力，在試題的設(shè)計(jì)引導(dǎo)中加強(qiáng)體育鍛煉、勞動(dòng)教育的理念．統(tǒng)計(jì)概率解答題注重知識(shí)的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用，作為考查實(shí)踐能力的重要載體，命題者要求考生會(huì)收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問題有用的信息，并作出判斷，進(jìn)而做到由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體特征．

1.2 重視基礎(chǔ)知識(shí)，考查關(guān)鍵能力

1.2.1 立體幾何——回歸基礎(chǔ)模型

如第18題，從題干來(lái)看，為常見的四棱錐模型，且底面特殊，對(duì)初中平面幾何的考查是本題的關(guān)鍵．設(shè)問為證明兩條直線垂直和求線面角的正弦值，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，難度不大，屬于得分題.利用空間向量求空間角，運(yùn)算錯(cuò)誤是失分主要原因．

1.2.2 壓軸小題——狠抓關(guān)鍵方法

以往比較大小的問題，常表現(xiàn)為某函數(shù)當(dāng)自變量取不同值時(shí)，比較函數(shù)值的大?。?021年新高考全國(guó)Ⅱ卷第7題：

A.c

C.a

高考不斷推陳出新，在這類問題中增加了放縮的成分，所比較的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不完全一致，但可以通過放縮達(dá)到一致.例如2020年全國(guó)高考Ⅰ卷第12題：

若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A．a(chǎn)>2bB．a(chǎn)<2b

C．a(chǎn)>b2D．a(chǎn)

本題中，2a+log2a=22b+log2b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b)，結(jié)合函數(shù)y=2x+log2x在(0,+∞)上是增函數(shù)，可知a<2b.該題仍然沒有走出上述表現(xiàn)形式．

直到2021年全國(guó)乙卷理科第12題，其比較大小的理念發(fā)生了變化，添加了新的思想，即不同函數(shù)當(dāng)自變量取同一值時(shí)的函數(shù)值的大小關(guān)系，這樣構(gòu)造函數(shù)的難度有所提升，并且函數(shù)單調(diào)性的判斷難度也顯著升高.例如2021年全國(guó)乙卷理科第12題：

A.a

C.b

本題中，a，b大小關(guān)系的判斷仍可根據(jù)a=2ln 1.01=ln (1.012)，利用y=lnx的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為比較1.012與1.02的大小關(guān)系，就可以判斷a與b的大小關(guān)系．但c與對(duì)數(shù)函數(shù)沒有關(guān)系，不得不采用以下策略：

2022年全國(guó)甲卷的第12題，明顯繼承了2021年全國(guó)乙卷的第12題的上述思想，事實(shí)上，2022新高考Ⅰ卷第7題亦如此．比較大小作為高考熱門題型，幾乎每年都會(huì)命制.甚至同一年中好幾套卷子都會(huì)命制，看似屢見不鮮的比較大小，實(shí)際上其中蘊(yùn)含的方法和思想已經(jīng)發(fā)生了變化，體現(xiàn)了高考題穩(wěn)中見變，務(wù)實(shí)創(chuàng)新的命題風(fēng)格．

1.2.3 關(guān)鍵位置——落實(shí)計(jì)算基礎(chǔ)

1.3 突出理性思維，考查學(xué)科素養(yǎng)

1.3.1 函數(shù)導(dǎo)數(shù)——突出轉(zhuǎn)化思想

1.3.2 解析幾何——檢驗(yàn)綜合能力

如第20題(2)問，設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3．設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β．當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．

具體而言，由F，D均為定點(diǎn)，以及拋物線的性質(zhì)可知直線AB與x軸的交點(diǎn)T也為定點(diǎn)，從而本題綜合了定值、定點(diǎn)問題；如圖1，直線XY垂直x軸于點(diǎn)D，交直線MN于點(diǎn)X，交直線AB于點(diǎn)Y，交拋物線于P,Q兩點(diǎn).由蝴蝶定理知XD=YD，可據(jù)此簡(jiǎn)化運(yùn)算．如圖2，直線MN與AB交于點(diǎn)Q,直線PQ是點(diǎn)D的極線，從而本題綜合了配極變換；由D為定點(diǎn)得PQ為定直線，從而本題綜合了米勒問題．

圖1

圖2

全國(guó)甲卷連續(xù)三年以直線和拋物線為載體考查解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)以及基本思想方法，且分別以阿基米德三角形、彭賽列閉合定理、蝴蝶定理和米勒問題為問題背景，不僅豐富了高考試題的文化背景，也體現(xiàn)了穩(wěn)中見變，務(wù)實(shí)創(chuàng)新的命題風(fēng)格．

總之，2022年高考數(shù)學(xué)甲卷(理科)試題穩(wěn)步過渡新、舊高考，繼續(xù)推進(jìn)題型和試卷結(jié)構(gòu)的改革，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的考查，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求.

2 反思教學(xué)，指導(dǎo)備考

2.1 查漏補(bǔ)缺，夯實(shí)基礎(chǔ)

高考試卷中大量的試題考查四基，因此，儲(chǔ)備基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本方法，熟練基本題型，仍是備考工作永恒不變的首要任務(wù)．從本次考卷中呈現(xiàn)出的全集與補(bǔ)集、扇形弧長(zhǎng)公式、分式函數(shù)值域問題等，都是高中階段最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，但是以往的考卷中并不多見，導(dǎo)致教學(xué)中對(duì)此不夠重視．因此備考時(shí)，特別需要注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)查漏補(bǔ)缺．

2.2 關(guān)注熱點(diǎn)，強(qiáng)化訓(xùn)練

近年來(lái)的高考試卷，都表現(xiàn)出比較大小、極值點(diǎn)偏移、函數(shù)同構(gòu)是高考的熱點(diǎn)，它們雖然年年都考，但由于其綜合性強(qiáng)，學(xué)生掌握起來(lái)還是很有挑戰(zhàn)性．通過強(qiáng)化訓(xùn)練可以克服這種困難，做到有備無(wú)患，這對(duì)于考場(chǎng)發(fā)揮和考試信心都有積極的作用．

2.3 思想引領(lǐng)，理論提升

試卷中第12題比較大小，第20題解析幾何問題，第21題導(dǎo)數(shù)問題作為試卷中的關(guān)鍵題目，它們呈現(xiàn)的共同規(guī)律就是轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想和方法．?dāng)?shù)學(xué)作為解決問題的工具學(xué)科，其基本做法就是對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，陌生問題熟悉化，而各種各樣的數(shù)學(xué)概念、公式、定理就是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具．因此，有必要提升學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸的思想和能力，并且掌握常見的轉(zhuǎn)化技巧．

2.4 推陳出新，開拓進(jìn)取

高考試卷雖然年年保持穩(wěn)定性，但是總有局部創(chuàng)新的地方.本試卷中第12題比較大小就一反往日套路，其比較大小的思路與模式可謂“出乎意料之外，又在情理之中”.比較大小這類題小巧靈活，其創(chuàng)新的突破口更為多樣．又比如第20題解析幾何問題，把蝴蝶定理和米勒問題融入之中，這也是以往的試題所未見到的．因此，有必要精研考題，尋找考法的變化點(diǎn)與創(chuàng)新點(diǎn)，把握考向動(dòng)態(tài)，融入更多元的考試素材，命制更具有選拔功能的模擬試題，這對(duì)于培養(yǎng)并發(fā)掘創(chuàng)新型人才大有裨益．

2.5 素養(yǎng)導(dǎo)向，綜合培育

高考試卷的關(guān)鍵題目往往集中為幾個(gè)比較綜合的問題．比如該卷中第20題解析幾何問題，除通性通法外，又可以用蝴蝶定理、米勒問題的視角欣賞此題，此題雖然題面表現(xiàn)為最值問題，實(shí)際上其中蘊(yùn)含著不少的定值、定點(diǎn)、定直線，深入研究不難發(fā)現(xiàn)其綜合性很強(qiáng)．又如第21題導(dǎo)數(shù)問題，除了通性通法外，又可以從極值點(diǎn)偏移、函數(shù)同構(gòu)等視角欣賞并解答，綜合性可見一斑．因此，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，是提升學(xué)生關(guān)鍵競(jìng)爭(zhēng)力所必需的．