閆茂德, 杜正源, 左 磊

(長(zhǎng)安大學(xué) 電子與控制工程學(xué)院，西安 710064)

0 引言

近年來，智能交通系統(tǒng)受到了社會(huì)各界的廣泛關(guān)注[1-3]。車輛隊(duì)列作為智能交通系統(tǒng)中的一個(gè)重要組成部分，可有效提高道路使用率、降低能源消耗，尤其是當(dāng)車輛高速行駛時(shí)，空氣阻力急劇增加，導(dǎo)致車輛大約有50%的燃料消耗需要用于克服空氣阻力[4]。因此，研究空氣流動(dòng)阻力下的車輛隊(duì)列控制方法，對(duì)促進(jìn)智能交通的發(fā)展以及降低車輛能量消耗具有重要意義。

在車輛隊(duì)列控制領(lǐng)域，許多學(xué)者針對(duì)如何控制車輛來減少能量消耗開展了多方面研究。文獻(xiàn)[5-6]通過獲得交通信息，結(jié)合車輛動(dòng)力學(xué)和經(jīng)濟(jì)性能要求，提出了城市路況下車輛行駛控制策略，可有效提升燃油經(jīng)濟(jì)性。文獻(xiàn)[7]針對(duì)時(shí)變的多目標(biāo)控制問題，提出了一種實(shí)時(shí)權(quán)值調(diào)整策略，降低了車輛燃油消耗。文獻(xiàn)[8]考慮道路坡度對(duì)車輛能量消耗的影響，提出一種快速優(yōu)化的非線性模型預(yù)測(cè)控制方法。這些研究著重考慮不同因素對(duì)能量消耗的影響，提出了相應(yīng)的解決方案，在一定程度上降低了車輛隊(duì)列的能量消耗。

然而，上述研究提出的控制方案沒有考慮空氣流動(dòng)阻力對(duì)車輛隊(duì)列的差異性影響。當(dāng)車輛采用隊(duì)列行駛時(shí)，由于車間距離縮短，后車進(jìn)入前車的尾流區(qū)，兩輛車的流場(chǎng)發(fā)生相互干擾，空氣流動(dòng)阻力的參數(shù)會(huì)發(fā)生變化[9]。文獻(xiàn)[10-14]采用風(fēng)洞試驗(yàn)及數(shù)值模擬方法，說明了隊(duì)列行駛時(shí)，每輛車的風(fēng)阻系數(shù)會(huì)隨車輛間距的變化而發(fā)生改變。

為了使車輛隊(duì)列達(dá)到期望車間距，眾多先進(jìn)控制方法被應(yīng)用于車輛隊(duì)列控制中，其中滑?？刂朴捎谄漭^強(qiáng)的魯棒性受到廣泛使用。文獻(xiàn)[15]針對(duì)自適應(yīng)巡航控制中存在的問題，提出一種自適應(yīng)滑?？刂品椒?。文獻(xiàn)[16]考慮車輛的外部干擾因素，結(jié)合擾動(dòng)觀測(cè)器提出了一種整體滑?？刂撇呗?。文獻(xiàn)[17-20]采用耦合滑模面設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑模控制器，保證了隊(duì)列穩(wěn)定性?，F(xiàn)有的滑?？刂扑惴軌蚴管囕v隊(duì)列達(dá)到期望的控制效果，但在設(shè)計(jì)時(shí)并未考慮空氣流動(dòng)阻力的車輛動(dòng)力學(xué)模型。

基于以上分析，本文研究空氣流動(dòng)阻力下車輛隊(duì)列最優(yōu)能耗控制問題，主要貢獻(xiàn)包括：(1)分析空氣流動(dòng)阻力下車輛隊(duì)列中每輛車的動(dòng)力學(xué)模型及其相互作用關(guān)系，建立基于異構(gòu)風(fēng)阻系數(shù)的非線性車輛動(dòng)力學(xué)模型。(2)通過Lyapunov方法設(shè)計(jì)了滑?？刂破?，并證明所設(shè)計(jì)車輛隊(duì)列系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可行性。(3)構(gòu)建穩(wěn)態(tài)下車輛隊(duì)列的能量消耗評(píng)價(jià)模型，并通過優(yōu)化分析的方式，計(jì)算穩(wěn)態(tài)下車輛隊(duì)列能量消耗最優(yōu)的期望車間距。最后通過數(shù)值仿真的手段驗(yàn)證了所提控制方法的有效性與可行性。

1 系統(tǒng)模型與問題描述

1.1 空氣流動(dòng)阻力下車輛隊(duì)列動(dòng)力學(xué)模型

車輛的尾渦是產(chǎn)生空氣阻力的主要原因，隊(duì)列行駛時(shí)由于不同位置車輛的尾渦狀況不同，導(dǎo)致其風(fēng)阻系數(shù)不同。圖1為車輛隊(duì)列行駛時(shí)不同位置車輛的風(fēng)阻系數(shù)隨車輛間距變化曲線[21]。

圖1 車輛風(fēng)阻系數(shù)隨車輛間距變化曲線

圖1中，橫坐標(biāo)為車輛間距與車長(zhǎng)的比值，縱坐標(biāo)為車輛實(shí)際風(fēng)阻系數(shù)與單車行駛時(shí)風(fēng)阻系數(shù)的比值，不同曲線代表車輛隊(duì)列中不同位置的車輛。由圖1可知，頭車和尾車的風(fēng)阻系數(shù)隨車輛間距變化趨勢(shì)與其他車輛不同，因此采用不同的函數(shù)進(jìn)行擬合，具體如下：

Cdi=

(1)

其中:Cdi為隊(duì)列中第i輛車的實(shí)際風(fēng)阻系數(shù)，Cd∞為單車行駛時(shí)的風(fēng)阻系數(shù)，di為車輛隊(duì)列的間距，L為車長(zhǎng)。

考慮由N+1輛相同階背式轎車構(gòu)成的車輛隊(duì)列，并標(biāo)記這些車輛為0,…,N，其中0表示領(lǐng)航車，1,…,N表示跟隨車輛，每輛車的動(dòng)力學(xué)模型表示為：

(2)

車輛隊(duì)列通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及每輛車所受空氣阻力情況如圖2所示。

圖2 車輛隊(duì)列通信拓?fù)浼翱諝庾枇κ疽鈭D

圖2中，每輛車左前方的箭頭表示車輛受到的空氣阻力，箭頭的數(shù)量表示空氣阻力的大小。由圖2可知，車輛隊(duì)列行駛時(shí)，頭車和尾車與其他車輛的風(fēng)阻系數(shù)隨車輛間距變化特性不同，導(dǎo)致其所受空氣阻力不同，即動(dòng)力學(xué)模型為異構(gòu)非線性。車輛之間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是雙向的，所有車輛之間通過無線通信方式(V2V、5G等)共享各自的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息(如位置、速度等)。

1.2 問題描述

車輛的位置誤差ei(t)表示為：

ei(t)=ri-1(t)-ri(t)-L-d*i=1,2,...,N

其中:d*為期望車輛間距。

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)式(2)中的動(dòng)力學(xué)模型，車輛隊(duì)列的控制目標(biāo)表述如下：

1)車輛收斂性：車輛隊(duì)列中每輛車的位置誤差及速度誤差能夠漸進(jìn)收斂至零，即：

2)隊(duì)列穩(wěn)定性：當(dāng)出現(xiàn)速度波動(dòng)等擾動(dòng)時(shí)，隊(duì)列誤差不向上游車輛放大傳播，即：

其中:▽為拉普拉斯算子，Gi(▽)表示隊(duì)列誤差傳遞函數(shù)，Ei+1(▽)和Ei(▽)分別表示ei+1(t)和ei(t)的拉普拉斯變換。

2 基于滑模的車輛隊(duì)列控制

在本節(jié)，設(shè)計(jì)基于滑模的非線性車輛隊(duì)列控制方法，確保車輛的收斂性及隊(duì)列穩(wěn)定性。

首先，設(shè)計(jì)滑模面：

si(t)=cei(t)+e’i(t)i=1,2,...,N

(3)

其中:c>0。

為了保證隊(duì)列穩(wěn)定性，構(gòu)建耦合滑模面：

(4)

其中:0<βi≤1為耦合滑模面的耦合系數(shù)。

Si(t)與si(t)的關(guān)系可表示為：

S(t)=Bs(t)

其中：

當(dāng)i=1,2,...,N-1時(shí)，對(duì)Si(t)求導(dǎo)得：

當(dāng)i=N時(shí)，對(duì)SN(t)求導(dǎo)得：

基于以上分析，對(duì)第i=1,2，...,N-1輛車設(shè)計(jì)控制律為：

(5)

對(duì)第N輛車設(shè)計(jì)控制律為：

(6)

其中:ki>0。

定理1:考慮由N輛車組成的車輛隊(duì)列，其動(dòng)力學(xué)模型由式(2)所描述。則在式(5)～(6)所設(shè)計(jì)控制律的作用下，其中參數(shù)滿足c>0，0<βi≤1，ki>0，車輛隊(duì)列能夠穩(wěn)定地收斂到期望的隊(duì)列狀態(tài)。

證明:設(shè)計(jì)如下Lyapunov函數(shù)：

對(duì)V(t)求導(dǎo)得：

(7)

將式(7)代入式(8)得：

(8)

對(duì)于車輛隊(duì)列穩(wěn)定性，通過限定前后車關(guān)于位置誤差的拉普拉斯變換的比率來保證。具體地，由于Si(t)=βisi(t)-si+1(t)，則有：

(9)

對(duì)式(9)進(jìn)行拉普拉斯變換，則有：

βi(sEi(▽)+cEi(▽))=sEi+1(▽)+cEi+1(▽)

(10)

式(10)可變?yōu)椋?/p>

由于βi滿足0<βi≤1?？梢员ＷC車輛位置誤差不會(huì)傳遞，隊(duì)列穩(wěn)定性得到保證。

3 穩(wěn)態(tài)下車輛隊(duì)列能耗優(yōu)化

在本節(jié)，構(gòu)建了車輛隊(duì)列能量消耗評(píng)價(jià)模型，定義了穩(wěn)態(tài)條件，得到穩(wěn)態(tài)下的控制律及能量消耗評(píng)價(jià)函數(shù)，并通過優(yōu)化分析，計(jì)算使車輛隊(duì)列能量消耗最優(yōu)的期望車間距。

首先，定義車輛隊(duì)列能量消耗評(píng)價(jià)模型：

(11)

在此基礎(chǔ)上，穩(wěn)態(tài)下的控制律可表示為：

(12)

其中:i=1,2,...,N-1。

對(duì)于最后一輛車：

(13)

對(duì)控制律進(jìn)行化簡(jiǎn)，當(dāng)i=1,2,…,N-1時(shí)，令：

當(dāng)i=N時(shí)：

將式(12)～(13)代入式(11)，得到穩(wěn)態(tài)下車輛隊(duì)列能量消耗評(píng)價(jià)模型：

對(duì)J(ds)求導(dǎo)得：

Δ=B2-4AC

當(dāng)參數(shù)選擇為c>0，0<βi≤1，ki>0時(shí)，可得Δ<0，即方程存在三個(gè)不相同的實(shí)根ds1，ds2，ds3。

定義車輛間最小安全距離為dsafe。當(dāng)車輛隊(duì)列間距在[dsafe,2L]范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)于能量消耗影響較大，因此對(duì)方程的根進(jìn)行以下討論：

情況1：ds1,ds2,ds3?[dsafe,2L]。

此時(shí)，J(ds)在[dsafe,2L]內(nèi)單調(diào)，計(jì)算ds分別位于dsafe和2L處的J(ds)值，得到局部最優(yōu)解。

情況2：?{ds1,ds2,ds3}?[dsafe,2L]。

此時(shí)，判斷出位于[dsafe,2L]中兩個(gè)根的極小值點(diǎn)，計(jì)算ds分別位于dsafe，2L和極小值點(diǎn)處的J(ds)值，得到局部最優(yōu)解。

情況3：?{ds1,ds2,ds3}∈[dsafe,2L]。

此時(shí)，首先判斷出位于[dsafe,2L]中的根是否為極小值點(diǎn)，若該根為極小值點(diǎn)，則計(jì)算ds分別位于dsafe，2L和極小值點(diǎn)處的J(ds)值，得到局部最優(yōu)解；若根不為極小值點(diǎn)，則計(jì)算ds分別位于dsafe和2L處的J(ds)值，得到局部最優(yōu)解。

情況4：ds1,ds2,ds3∈[dsafe,2L]。

此時(shí)，判斷出ds1，ds2，ds3中的極小值點(diǎn)，計(jì)算ds分別位于dsafe，2L和極小值點(diǎn)處的J(ds)值，得到最優(yōu)解。

4 仿真驗(yàn)證

考慮一組5車隊(duì)列，包含1輛領(lǐng)航車和4輛跟隨車。車輛動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)如表1所示。

表1 車輛動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)

車輛隊(duì)列中每輛車的風(fēng)阻系數(shù)與車輛間距之間的關(guān)系如表2所示[21]。

表2 五車隊(duì)列風(fēng)阻系數(shù)與車輛間距之間的關(guān)系

將表2中的數(shù)據(jù)按照式(1)的形式采用最小二乘法進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果為：

設(shè)定領(lǐng)航車的初始位置為r0=0，領(lǐng)航車的速度為v0=5 m/s，跟隨車輛的初始位置為r(0)=[-18.404，-35.014,-52.853,-66.279]Tm，跟隨車輛的初始速度為v(0)=[0,0,0,0]Tm/s?？刂破鲄?shù)為c=0.3，βi=0.85，ki=3。期望車輛間距設(shè)置為d*=7 m，最小安全距離為dsafe=2.5 m，穩(wěn)態(tài)位置誤差限界為emax=0.05 m。仿真結(jié)果如圖3～10所示。

圖3為車輛位置隨時(shí)間變化曲線，由圖3可知，隊(duì)列中每輛車最終都能夠穩(wěn)定地跟蹤領(lǐng)航車且不會(huì)發(fā)生碰撞，保證了安全性。圖4為車輛位置誤差隨時(shí)間變化曲線，可以看到任意兩車之間的位置誤差最終都能夠收斂至穩(wěn)態(tài)位置誤差限界內(nèi)，表示整個(gè)車輛隊(duì)列最終能夠達(dá)到期望的車輛間距，隊(duì)列穩(wěn)定性能夠得到保證。

圖3 車輛位置曲線

圖4 車輛位置誤差曲線

圖5為車輛速度隨時(shí)間變化曲線。由圖5可知，所有跟隨車輛的速度最終能夠趨于領(lǐng)航車的速度，保證了車輛穩(wěn)定性。圖6為車輛速度誤差隨時(shí)間變化曲線。由圖6可知，任意兩車之間的速度誤差最終趨于0，即在式(5)～(6)設(shè)計(jì)的控制律的作用下，整個(gè)車輛隊(duì)列最終會(huì)達(dá)到穩(wěn)定，保證了車輛收斂性及隊(duì)列穩(wěn)定性。

圖5 車輛速度曲線

圖6 車輛速度誤差曲線

圖7為滑模面隨時(shí)間變化曲線。由圖7可知，Si(t)能夠到達(dá)滑模面Si(t)=0，且沒有抖振情況出現(xiàn)。圖8為車輛控制輸入隨時(shí)間變化曲線。從圖8中可以看到車輛的控制輸入最終趨于穩(wěn)定，說明了本文所設(shè)計(jì)的控制算法的收斂性與可行性。

圖7 滑模面曲線

圖8 車輛控制輸入曲線

基于以上的參數(shù)設(shè)置，在ds∈[2.5,20]m范圍內(nèi)，能量消耗隨穩(wěn)態(tài)車輛間距變化曲線如圖9所示。

圖9 能量消耗函數(shù)曲線

其中，橫坐標(biāo)表示穩(wěn)態(tài)間距，縱坐標(biāo)表示能量消耗量?？梢钥吹剑芰肯暮瘮?shù)在ds∈[2.5,20]m內(nèi)存在極小值，通過求解得到極小值點(diǎn)位于ds=6 m，穩(wěn)態(tài)時(shí)位置誤差限界為emax=0.05 m，即此時(shí)期望間距d*=ds-emax=5.95 m。

不同期望間距下能量消耗對(duì)比結(jié)果如圖10所示。

圖10 不同期望間距下能量消耗曲線

其中，橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為能量消耗量，不同曲線表示不同期望間距下的穩(wěn)態(tài)能量消耗。給出了當(dāng)期望間距d*分別為4 m、5 m、5.95 m、7 m、8 m、9 m時(shí)的能量消耗值。由圖10可知，期望間距設(shè)置不同時(shí)，穩(wěn)態(tài)下的能量消耗也不同。期望間距設(shè)為5.95 m時(shí)，車輛隊(duì)列穩(wěn)態(tài)能量消耗降低，與圖9得到的結(jié)果一致，說明了本文提出的穩(wěn)態(tài)下能量消耗評(píng)價(jià)函數(shù)的有效性。

5 結(jié)束語

本文研究了空氣流動(dòng)阻力異構(gòu)的非線性車輛隊(duì)列最優(yōu)能耗控制問題。首先，構(gòu)建隊(duì)列行駛車輛的風(fēng)阻系數(shù)隨車輛間距變化函數(shù)，并建立了基于異構(gòu)風(fēng)阻系數(shù)的車輛動(dòng)力學(xué)模型。其次，設(shè)計(jì)基于滑?？刂频姆蔷€性車輛隊(duì)列控制方法，利用Lyapunov理論證明了車輛的漸進(jìn)穩(wěn)定性，并采用耦合滑模面來保證隊(duì)列穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上，定義穩(wěn)態(tài)條件，構(gòu)建了穩(wěn)態(tài)下車輛隊(duì)列能量消耗評(píng)價(jià)模型，并通過優(yōu)化分析的方式，計(jì)算車輛隊(duì)列能量消耗最優(yōu)的期望車間距。最后，通過仿真驗(yàn)證了算法的可行性與有效性。