劉 昀，李 倩，王 靜

（黃河水利委員會山東水文水資源局，濟南 250100）

1 動態(tài)規(guī)劃的基本原理

動態(tài)規(guī)劃，縮寫為DP，是20世紀50年代初期由美國數(shù)學(xué)家貝爾曼等人提出， 并逐漸發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分支， 是一種多階段決策過程最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法。用動態(tài)規(guī)劃法求解的問題，必須具備以下特點：①滿足最優(yōu)化原理；②所研究的系統(tǒng)能劃分成若干階段；每個階段都能作出決策；③相鄰兩個階段的狀態(tài)能夠轉(zhuǎn)移并且這種轉(zhuǎn)移是通過使用某一決策而實現(xiàn)的［1］。

1.1 基本概念

1.1.1 階段

階段可定義為所研究的事物在發(fā)展中所處的時段或步驟（或某一局部空間），以序列數(shù)字k=1，2，…，K表示。

1.1.2 狀態(tài)

描述系統(tǒng)演變過程中各階段所處狀況的特征量稱為狀態(tài)，常以符號S表示。描述過程狀態(tài)（或系統(tǒng)狀態(tài)）的變量，稱為狀態(tài)變量。它可以是一維變量，也可以是多維變量。 在任一階段k可有若干個狀態(tài)，構(gòu)成該階段的狀態(tài)集合Sk。

式中 r為階段k的狀態(tài)點數(shù)。

1.1.3 決策

某階段狀態(tài)給定后， 從該狀態(tài)演變到下一階段某個狀態(tài)的選擇稱為決策，用d表示。 在多階段決策過程的任一階段中，當階段的狀態(tài)Sk給定后，如果做出某一決策dk， 則階段初的狀態(tài)就轉(zhuǎn)移到一個相應(yīng)的下一階段狀態(tài)Sk+1，描述決策的變量稱為決策變量。

1.1.4 策略

由第一階段開始直到終點為止的過程稱為問題的全過程。 Dk是由每個階段的決策Dk（k=1，2，…，K）所組成的決策序列，稱為全過程策略，簡稱策略。

1.1.5 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程， 即從過程的一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個階段某狀態(tài)的演變過程，Sk+1=Dk（Sk）表明第k+1階段的狀態(tài)變量的值隨第k個階段的決策變量Dk和狀態(tài)變量Sk確定。

1.1.6 指標函數(shù)

指標函數(shù)是描述過程優(yōu)劣的數(shù)值指標，如式（1）：

1.2 動態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的解法

動態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型主要包括： 系統(tǒng)的階段變量、狀態(tài)變量、決策變量、目標函數(shù)、約束條件等。 數(shù)學(xué)模型的解法一般分為逆序解法和順序解法。 逆序解法是從終點向前推移， 使每一階段到最后都能達到最優(yōu)，最后求得整個過程的最優(yōu)解。順序解法是從起點開始，使起點到每一階段都能達到最優(yōu)，最后給定全局最優(yōu)解。

2 典型灌區(qū)水資源優(yōu)化配置

2.1 灌區(qū)概況

選取黃河下游陳垓灌區(qū)作為模型計算的典型灌區(qū)，陳垓灌區(qū)位于山東省濟寧市梁山縣境內(nèi)，始建于1959年， 有效灌溉面積3.68萬hm2， 主要農(nóng)作物為小麥、玉米、棉花，小麥和玉米種植面均為2.45萬hm2、棉花種植面積0.36萬hm2，復(fù)種指數(shù)為1.43。 灌溉水利用系數(shù)為0.56。

2.2 灌區(qū)典型年作物灌溉水量

根據(jù)該灌區(qū)歷年降水量及氣象數(shù)據(jù)可以計算出不同降雨頻率情況下充分灌溉時作物的需水量，經(jīng)計算該灌區(qū)降雨頻率為50%時（平水年），小麥灌溉凈水量2475m3/hm2，玉米灌溉凈水量450m3/hm2，棉花灌溉凈水量2475m3/hm2； 降雨頻率為75%時 （干旱年）， 小麥灌溉凈水量2925m3/hm2， 玉米灌溉凈水量675m3/hm2，棉花灌溉凈水量2925m3/hm2。 這里凈水量是指作物正常生長所需灌溉的水量，不包括蒸發(fā)、滲漏等損失水量［3］。

根據(jù)各作物的凈灌水量可以算出降雨頻率為50%時，充分灌溉條件下，灌區(qū)作物總需水量8066萬m3，降雨頻率為75%時，灌區(qū)作物總需水量9883萬m3，水利部門分配給該灌區(qū)農(nóng)灌用水許可水量7820萬m3，根據(jù)其灌溉水利用系數(shù)， 計算出進入田間的凈水量約4380萬m3，遠小于作物充分灌溉條件下的需水量。

2.3 水分生產(chǎn)函數(shù)及產(chǎn)生的效益

2.3.1 水分生產(chǎn)函數(shù)

作物水分生產(chǎn)函數(shù)， 是指在作物生長發(fā)育過程中， 作物產(chǎn)量與投入水量或作物消耗水量之間的數(shù)量關(guān)系。 作物水分生產(chǎn)函數(shù)可以確定作物在不同時期遇到不同程度的缺水時對產(chǎn)量帶來的影響。

為了進行水資源優(yōu)化分配， 達到最大效益的目的， 首先必須建立各種作物全生育期耗水量與產(chǎn)量的關(guān)系。 作物水分生產(chǎn)函數(shù)的特征曲線一般包括遞增和遞減兩部分。當水分成為產(chǎn)量的限制性因素時，表現(xiàn)為遞增函數(shù)； 水分成為產(chǎn)量的非限制性因素或過量實施造成減產(chǎn)時，表現(xiàn)為遞減函數(shù)［4］。 因此，全生育期水分生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型多為拋物線型，全生育期水分生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型表達式，如式（3）。

式中 F（Qk）為作物產(chǎn)量（kg/hm2）；Qk為灌水量（m3/hm2）；a，b，c為經(jīng)驗系數(shù)。

參考林磊［5］對引黃灌區(qū)各作物建立的水分生產(chǎn)函數(shù)，各系數(shù)如表1。

表1 作物全生育期水分生產(chǎn)函數(shù)經(jīng)驗系數(shù)

各作物全生育期水分生產(chǎn)函數(shù)如圖1～圖3。

圖1 小麥全生育期水分生產(chǎn)函數(shù)

圖2 玉米全生育期水分生產(chǎn)函數(shù)

圖3 棉花全生育期水分生產(chǎn)函數(shù)

2.3.2 作物經(jīng)濟效益

根據(jù)各作物的產(chǎn)量、 種植面積及目前的價格可算出各作物的經(jīng)濟效益， 各作物的價格根據(jù)黃河下游山東地區(qū)2021年糧食行情報價的平均值，小麥3.2元/kg，玉米2.8元/kg，皮棉24元/kg。

2.4 典型灌區(qū)水資源優(yōu)化配置模型

針對陳垓灌區(qū)的情況， 采用動態(tài)規(guī)劃的逆序解法建立數(shù)學(xué)模型。

2.4.1 階段變量每一種作物為一個用水單位，可看作一個階段，共3個階段，階段變量k=1，2，3。

2.4.2 狀態(tài)變量和決策變量

狀態(tài)變量為各階段可用于分配的有效水量，即從第3種作物到第K種作物分配的水量，以qk表示；決策變量為分配給第k種作物的水量，以xk表示。

2.4.3 目標函數(shù)

設(shè)fK（qK）為以總水量Q分配給3種作物而獲得的最大總凈效益。計算凈效益時根據(jù)水分生產(chǎn)函數(shù)、各作物的種植面積及價格，則目標函數(shù)如式（4）。

2.4.4 約束條件

（1）供給各種作物水量之和不超過水資源總量Q：

（2）供給第k種作物的水量xk不超過在第k階段可用于分配的有效水量Q-qk+1：

動態(tài)規(guī)劃就是要在系統(tǒng)的階段變量、狀態(tài)變量、決策變量、約束條件、邊界條件約束下，尋求目標函數(shù)最優(yōu)值和相應(yīng)的最優(yōu)決策序列。 各種作物分得的水量可以通過優(yōu)化程序來獲得， 本程序分為3個階段， 需要先將狀態(tài)變量、 決策變量在可行域內(nèi)離散化， 離散間隔即步長為10， 然后由最后一個階段開始，逆序進行逐階段擇優(yōu)計算，最后輸出計算結(jié)果。

計算程序的流程如圖4：

圖4 模型計算流程

根據(jù)作物灌溉可引黃水量及灌溉水利用系數(shù)，輸入凈水量4380萬m3，輸入小麥、玉米、棉花的種植面積，最終計算出灌區(qū)最大凈效益為6.285億元，小麥灌溉凈水量為2010萬m3，玉米灌溉凈水量為1750萬m3，棉花灌溉凈水量為630萬m3， 分別占總水量的46%，40%，14%?；谝陨嫌嬎憬Y(jié)果，灌區(qū)可以根據(jù)當年的實際情況按作物不同生育期需水比例引用黃河水進行灌溉，從而使灌區(qū)獲得最大的經(jīng)濟效益。

3 結(jié)語

模型的建立為黃河水資源優(yōu)化配置提供了決策依據(jù)，從而使有限的水資源得到有效合理的利用。 今后模型的建立還可從不同作物種植面積和水量兩者優(yōu)化進行考慮， 可利用模型調(diào)整不同作物種植面積及不同作物分配水量， 從而使有限的水資源發(fā)揮最大的經(jīng)濟效益。