甘肅省靈臺(tái)縣第一中學(xué)(744400) 王海燕

若圓的兩條弦AB,CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,則|PA||PB|=|PC||PD|,這是相交弦定理.其逆定理告訴我們: 若直線AB,CD相交于點(diǎn)P,且|PA||PB|=|PC||PD|,則四點(diǎn)A,B,C,D共圓.這是證明四點(diǎn)共圓的一個(gè)重要結(jié)論,類(lèi)比于此,那么圓錐曲線上四點(diǎn)共圓時(shí),有怎樣的關(guān)系呢?

我們先看下面一道雙曲線上四點(diǎn)共圓的高考試題.

試題再現(xiàn)(2021·新高考全國(guó)1)設(shè)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)=2,點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=上,過(guò)T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

這是一道直線與圓錐曲線綜合題,考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),對(duì)于(1),由雙曲線定義可知,軌跡C是以點(diǎn)F1,F2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支,求出a,b的值,即可得出軌跡C的方程;對(duì)于(2),設(shè)點(diǎn)聯(lián)立直線AB與曲線C的方程,可用韋達(dá)定理法,曲線系方程法,點(diǎn)乘雙根法,直線的參數(shù)方程法探析.條件|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|說(shuō)明四點(diǎn)A,B,P,Q共圓.

下面對(duì)(2)解法探析.

這道高考題可以看成是人教版課本選修4-4 第38 頁(yè)例4[1]的改編.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本題目深度探析,是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的有效途徑,對(duì)提升探究創(chuàng)新能力大有裨益.

追根溯源AB,CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦,交點(diǎn)為P,兩弦AB,CD與橢圓長(zhǎng)軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1=∠2.求證: |PA||PB|=|PC||PD|.

由此推測(cè)圓錐曲線上四點(diǎn)A,B,C,D 共圓時(shí),直線AB 與直線CD 的傾斜角互補(bǔ),即直線AB 與直線CD 斜率之和為0.

問(wèn)題拓展已知A,B,C,D 是圓錐曲線上不同四點(diǎn),若直線AB 與CD 有公共點(diǎn),則A,B,C,D 四點(diǎn)共圓的充要條件是直線AB 與CD 的斜率之和kAB+kCD=0.