瞿 鍇,郭中佑,唐育林,陳抒錄,陳朋明

(1.中機(jī)國(guó)際工程設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司,長(zhǎng)沙 410021;2.湘潭大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411100;3.湘潭市勘測(cè)設(shè)計(jì)院，湖南 湘潭 411100)

0 前 言

近年來(lái)，無(wú)人機(jī)攝影測(cè)量技術(shù)得到了迅猛發(fā)展，在生產(chǎn)實(shí)踐中廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、林業(yè)、海洋等領(lǐng)域[1]。在無(wú)人機(jī)攝影測(cè)量中普遍采用非量測(cè)型數(shù)碼相機(jī)，但其存在著相機(jī)光學(xué)畸變大的缺點(diǎn)，故需要對(duì)相機(jī)成像參數(shù)予以檢校。相機(jī)檢校是通過(guò)對(duì)已知坐標(biāo)或相對(duì)位置關(guān)系明確的物體進(jìn)行拍照，利用物體相片量測(cè)坐標(biāo)與已知坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)求取相機(jī)成像參數(shù)。為保證參數(shù)解算的可靠性，通常需要進(jìn)行大量的多余觀測(cè)，這些數(shù)據(jù)被認(rèn)為服從高斯-馬爾可夫模型(Gauss-Markov Theory)，可構(gòu)建眾多的觀測(cè)數(shù)據(jù)方程，在最小二乘準(zhǔn)則約束下求解方程獲得參數(shù)的最優(yōu)估值。相機(jī)檢校常用的Tsai算法、張正友標(biāo)定算法、滅點(diǎn)法和直接線性變換(Direct Line transform，DLT)算法在計(jì)算相機(jī)參數(shù)時(shí)都采用了G-M模型[2]。但G-M模型只考慮了觀測(cè)向量包含誤差，則將導(dǎo)致應(yīng)用傳統(tǒng)最小二乘準(zhǔn)則估計(jì)的參數(shù)不是最優(yōu)解。

考慮到G-M模型的缺點(diǎn)，整體最小二乘準(zhǔn)則被提出并逐漸應(yīng)用到上所述相機(jī)檢校工作中所列方程求解的約束條件[3]。如陶葉青[4]、楊會(huì)軍[5]、孔建[6]、魯鐵定[7]和孫培芪等[8]將整體最小二乘應(yīng)用到解決方案中去，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，整體最小二乘在擬合函數(shù)、轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解問(wèn)題中更加具備優(yōu)勢(shì)。其次是檢校場(chǎng)類型對(duì)相機(jī)檢校起著很重要的作用，倪靜、曹良忠等[9-10]研究了相對(duì)條件較為苛刻的野外檢校場(chǎng)、田雷等[11]應(yīng)用了室內(nèi)檢校場(chǎng)檢校、李平[12]簡(jiǎn)化了三維空間檢校場(chǎng)，應(yīng)用二維檢校場(chǎng)進(jìn)行相機(jī)檢校中比較出名的是張正友檢校法[13]，這種方法只需要一個(gè)規(guī)則的格網(wǎng)狀平板，通過(guò)移動(dòng)相機(jī)從不同位置對(duì)其拍照，即可計(jì)算出內(nèi)外方位元素。

考慮到野外檢校場(chǎng)和室內(nèi)三維檢校場(chǎng)建立與維護(hù)的不易，而無(wú)人機(jī)攝影測(cè)量相機(jī)又需要頻繁檢校，本文采用自制的格網(wǎng)型模板，先以尼康D800為例，利用控制變量法分析相片數(shù)量和拍攝角度對(duì)參數(shù)解算精度的影響，確定相片數(shù)量和拍攝方式后，使用Nikon D800相機(jī)與索尼ILCE-7R相機(jī)拍攝模板獲取數(shù)據(jù)。接著，考慮到整體最小二乘算法較最小二乘算法的模型更為完善，顧及到了模型中系數(shù)矩陣可能存在的誤差，使用整體最小二乘算法對(duì)張正友檢校算法予以改進(jìn)，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，以提高非量測(cè)相機(jī)的檢校精度，保證測(cè)繪生產(chǎn)獲得較高質(zhì)量的成果。

1 研究方法

自檢校方法是Maybank[14]提出的一種與相機(jī)移動(dòng)和空間幾何信息無(wú)關(guān)的相機(jī)檢校方法。這方面國(guó)內(nèi)的工作有孟曉橋等[15]從多個(gè)方向拍攝模板圖像，應(yīng)用圓檢校算法，利用射影的不變性，解算出了相機(jī)參數(shù)。從計(jì)算原理講，張正友檢校法也可以歸于自檢校方法。相機(jī)的自檢校方法是指不需要依據(jù)一個(gè)已經(jīng)建立好的檢校場(chǎng)，是通過(guò)影像與影像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出相機(jī)的參數(shù)。此種方法的優(yōu)點(diǎn)是價(jià)格低廉，可以隨時(shí)隨地對(duì)相機(jī)進(jìn)行檢校；缺點(diǎn)則是精度會(huì)比較低。張正友相機(jī)標(biāo)定算法是將打印的棋盤(pán)格貼在平面上，從不同角度進(jìn)行拍攝，利用像點(diǎn)和物點(diǎn)的幾何關(guān)系確定相機(jī)內(nèi)外方位元素的初值，然后將其作為非線性相機(jī)幾何模型的初值，求出單應(yīng)性矩陣，以此解算出攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)和畸變系數(shù)，模型如圖1所示。

圖1 張正友算法模型

1.1 單應(yīng)性矩陣

設(shè)世界坐標(biāo)某點(diǎn)的物理坐標(biāo)為M=[U,V,W,1]T，其對(duì)應(yīng)的像素坐標(biāo)系下的像素坐標(biāo)點(diǎn)為m=[u,v,1]T，故標(biāo)定用的棋盤(pán)格平面到圖像平面的單應(yīng)性關(guān)系為：

(1)

其中:s為尺度因子;A為相機(jī)內(nèi)參矩陣;包括仿射變換和透視投影;(u0,v0)為像主點(diǎn)坐標(biāo);α,β為焦距與像素橫縱比的融合;γ為徑向畸變參數(shù);R為旋轉(zhuǎn)矩陣;t為平移向量;[Rt]也被成為相機(jī)的外參矩陣。

設(shè)棋盤(pán)格平面W=0，可得：

(2)

A[r1,r2,t]為單應(yīng)性矩陣，即內(nèi)參矩陣和外參矩陣的積，記作H=[r1,r2,t]，得：

(3)

所以每一格標(biāo)定板的角點(diǎn)可以提供兩個(gè)坐標(biāo)約束方程：

(4)

上式對(duì)于同一張圖片上所有的角點(diǎn)均成立，其中[u,v]是像素坐標(biāo)系下標(biāo)定板的角點(diǎn)坐標(biāo)，[U,V]是世界坐標(biāo)系下標(biāo)定板的角點(diǎn)坐標(biāo)。

1.2 內(nèi)參矩陣A和外參矩陣的計(jì)算

(5)

化簡(jiǎn)得：

(6)

公式(6)中：v是僅包含H元素的矩陣，b=[B11,B12,B22,B23,B33]T。由于矩陣H已知，矩陣v又全部由矩陣H的元素構(gòu)成，因此矩陣v已知。每張標(biāo)定板圖片可以提供一個(gè)約束關(guān)系，采用最小二乘擬合最佳的向量b，得到矩陣B，所以有：

(7)

相機(jī)的內(nèi)參矩陣A取決于相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)，無(wú)論標(biāo)定板和相機(jī)的位置關(guān)系怎么變換，相機(jī)的內(nèi)參矩陣是不變的。而外參矩陣反映的是標(biāo)定板和相機(jī)的位置關(guān)系，對(duì)于被拍攝的不同圖片，標(biāo)定板和相機(jī)的位置關(guān)系已經(jīng)改變，此時(shí)每一張圖片對(duì)應(yīng)的外參矩陣都是不相等的。

因?yàn)镠=A[r1,r2,t]，求解得到H和A后，可通過(guò)式(8)得到外參矩陣。

[r1,r2,t]=A-1H

(8)

1.3 畸變系數(shù)k的計(jì)算

對(duì)于畸變系數(shù)k，張氏標(biāo)定法只關(guān)注了影響最大的徑向畸變，數(shù)學(xué)表達(dá)式為[18]：

(9)

k=[k1,k2]T=(DTD)-1DTd

(10)

1.4 整體最小二乘原理

在實(shí)際工作中，系數(shù)矩陣中也會(huì)包含誤差[7-8]，故真誤差的數(shù)學(xué)期望往往不為0。求解Ax=b時(shí)，應(yīng)該同時(shí)考慮C和c二者的誤差和擾動(dòng)，令B矩陣的誤差擾動(dòng)為E，向量b的誤差向量為e，矩陣方程為：

(C+E)x=c+e

(11)

可得：

c+e-(xT×I)E-Cx=0

(12)

式中:xT×I表示兩個(gè)矩陣做克羅內(nèi)克積，令F=[i,-(xT×I)],v=[e,E]T，可得：

Fv+c-Cx=0

(13)

整體最小二乘準(zhǔn)則為：

minφ=vTPv-2λT(Fv+c-Cx)

(14)

式中:P為權(quán)矩陣;λ為L(zhǎng)argrange乘數(shù)，分別進(jìn)行偏導(dǎo)：

(15)

可得：

x=[(C+I)T(FP-1F)-1C]-1(C+I)T(FP-1F)-1c

(16)

對(duì)公式(6)和公式(10)采用整體最小二乘計(jì)算，得到最優(yōu)估計(jì)值。

2 檢校場(chǎng)與計(jì)算軟件的設(shè)計(jì)

2.1 室內(nèi)二維檢校場(chǎng)的實(shí)現(xiàn)

這里選用尼康D800和索尼ILCE-7R兩種相機(jī)獲取影像數(shù)據(jù)，拍攝時(shí)設(shè)置為手動(dòng)曝光方式，物鏡對(duì)焦于無(wú)窮遠(yuǎn)，相機(jī)傳感器參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 尼康D800和索尼ILCE-7R相機(jī)傳感器參數(shù)

計(jì)算機(jī)型號(hào)為聯(lián)想Lenovo G50-70 20351筆記本電腦，CPU酷睿i5-4258U，內(nèi)存DDR3L 1600 MHz。實(shí)驗(yàn)選取棋盤(pán)格作為相機(jī)檢校的模板，二維控制場(chǎng)采用基于純平液晶顯示器的檢校方法[19]，使所有控制點(diǎn)在一個(gè)平面上。

為研究拍攝角度對(duì)標(biāo)定精度的影響，從不同角度進(jìn)行拍攝，得到圖像，棋盤(pán)格大小為9×5個(gè)方格，每個(gè)方格尺寸為45 mm × 45 mm(長(zhǎng)×寬)，角點(diǎn)數(shù)量為32個(gè)，部分影像如圖2所示。

圖2 不同方向拍攝的棋盤(pán)格控制場(chǎng)

2.2 相機(jī)檢校軟件的設(shè)計(jì)

這里根據(jù)計(jì)算原理利用Visual Studio平臺(tái)和C#設(shè)計(jì)相機(jī)檢校軟件，主要分為如下幾項(xiàng)功能：文件讀取數(shù)據(jù)、最小二乘約束、整體最小二乘約束、畸變改正、查看報(bào)告和退出等功能。程序操作非常簡(jiǎn)便，首先點(diǎn)擊可執(zhí)行文件(.exe)，啟動(dòng)相機(jī)檢校程序，在相同目錄下添加不同角度拍攝的棋盤(pán)格影像，可以為tif、jpg、bmp等格式，使用對(duì)應(yīng)算法自動(dòng)提取棋盤(pán)格角點(diǎn)的坐標(biāo)作為后續(xù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，程序解算會(huì)自動(dòng)將最小二乘約束與整體最小二乘約束解算所得到的參數(shù)值作為初始值使用，直接點(diǎn)擊計(jì)算輸出按鈕可得到最終的相機(jī)參數(shù)報(bào)告，包括最小二乘約束下和整體最小二乘約束下的不同相機(jī)檢校算法的相機(jī)參數(shù)。參數(shù)解算部分結(jié)果如圖3所示。前面部分為相機(jī)的檢校參數(shù)值，后面部分為各參數(shù)的解算誤差。

圖3 相機(jī)檢校軟件

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 相片數(shù)量對(duì)檢校的影響

為探究相片數(shù)量對(duì)相機(jī)檢校精度的影響，依次使用3、5、7、9、11不同數(shù)量的相片參與計(jì)算，結(jié)果如表2所示，參與解算相片數(shù)量的不同會(huì)導(dǎo)致檢校參數(shù)的精度有所差異。相機(jī)參數(shù)包括：f(焦距)，x0、y0(主點(diǎn)坐標(biāo))和k1、k2(畸變參數(shù))。y值在3張相片解算時(shí)最優(yōu)，后面呈波動(dòng)分布。f值在9張相片解算時(shí)達(dá)到最優(yōu)，11張相片為35.85445，相比而言，值下降了0.066。x0、k1和k2的值隨著參加解算相片的數(shù)量越多，精度越高，分別為3661.5、-0.0114和0.0403。3張相片進(jìn)行解算時(shí)，f、k1和k2與參考值相差最大，這是因?yàn)橄嗥臄?shù)量太少導(dǎo)致不能夠充分反應(yīng)出鏡頭的畸變情況。隨著后面參與解算的相片數(shù)量越來(lái)越多，值變化的越來(lái)越趨于平穩(wěn)狀態(tài)，說(shuō)明相片并不是越多越好，但也不能太少，過(guò)少會(huì)使得結(jié)果精度不高，過(guò)多則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加，從而導(dǎo)致效率降低。

表2 尼康D800相片數(shù)量與檢校參數(shù)計(jì)算結(jié)果

3.2 拍攝角度對(duì)檢校的影響

為探究拍攝相片的角度對(duì)檢校結(jié)果的影響，采用兩種方式拍攝相片，先拍攝一組近似平行的照片計(jì)算檢校參數(shù)，再以不同的角度拍攝相片計(jì)算檢校參數(shù)，分析得到的檢校結(jié)果，兩組相片的檢校結(jié)果如表3所示。當(dāng)相機(jī)位置處于平行狀態(tài)時(shí)，f和x0的精度較高，分別為35.96734和3654.2；相片處于不同的角度時(shí)，y0、k1和k2精度較高，依次為2404.7、-0.006、0.019。一般認(rèn)為，近似平行的相片計(jì)算的檢校參數(shù)精度會(huì)低于不同角度拍攝的照片計(jì)算的檢校參數(shù)精度。因?yàn)閺堈褭z校方法是通過(guò)不同相片之間的關(guān)系計(jì)算的，所以拍攝的相片近似平行的時(shí)候，有的參數(shù)之間會(huì)存在很強(qiáng)的相關(guān)性，就會(huì)影響最后的結(jié)果。在使用張正友標(biāo)定法對(duì)相機(jī)進(jìn)行檢校時(shí)，應(yīng)該以不同的角度對(duì)棋盤(pán)格進(jìn)行拍攝，從而保證高精度的校驗(yàn)結(jié)果。y0、k1和k2的精度與預(yù)期表現(xiàn)相符，而f和x0的結(jié)果精度恰恰相反，可能與相片拍攝的質(zhì)量有關(guān)。

表3 尼康D800相機(jī)拍攝角度與檢校參數(shù)計(jì)算結(jié)果

3.3 改進(jìn)前后方法的對(duì)比

由以上可知，相機(jī)拍攝相片時(shí)應(yīng)盡量從不同方向進(jìn)行拍攝，數(shù)量根據(jù)區(qū)域大小確定，本次使用11張不同方向拍攝的相片參與解算。為檢驗(yàn)改進(jìn)前后張正友方法在尼康D800和索尼ILCE-7R兩種相機(jī)中的情況，分別使用兩款相機(jī)隨機(jī)在5個(gè)攝站對(duì)棋盤(pán)格進(jìn)行拍攝，每張相片不重復(fù)，角點(diǎn)數(shù)量為45個(gè)，部分圖片如圖2所示。分別采用經(jīng)典最小二乘算法與整體最小二乘算法求解單應(yīng)性矩陣參數(shù)，進(jìn)而解算相機(jī)參數(shù)，并將結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。表4為尼康D800和索尼ILCE-7R相機(jī)內(nèi)定向參數(shù)計(jì)算結(jié)果，在尼康D800數(shù)據(jù)集上，LS和TLS法得到的焦距f與參考值分別相差0.421 mm、0.259 mm；主點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)分別相差176.117像素、44.159像素；畸變參數(shù)k1/k2分別相差0.037/0.012、0.466/0.150；計(jì)算時(shí)間相差0.345。在索尼ILCE-7R數(shù)據(jù)集上，LS和TLS法得到的焦距f與參考值分別相差0.435 mm、0.120 mm；主點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)分別相差155.731像素、93.362像素；k1/k2分別相差0.1225/0.110、0.150/0.128；計(jì)算時(shí)間相差0.185。相比LS，TLS計(jì)算得到的參數(shù)精度均得到了不同程度的提升，說(shuō)明TLS確實(shí)能夠較好的考慮觀測(cè)值和系數(shù)存在的誤差，解算出更為精確的結(jié)果。雖然相機(jī)參數(shù)精度均有提升，但增加了計(jì)算時(shí)間，這是必然的結(jié)果，因?yàn)橛?jì)算量的增加，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率的降低?？偟膩?lái)說(shuō)，整體最小二乘方法相比傳統(tǒng)的最小二乘方法在張正友標(biāo)定算法相機(jī)參數(shù)解算中表現(xiàn)更優(yōu)。

4 結(jié) 論

本文在傳統(tǒng)張正友的算法上進(jìn)行改進(jìn)，考慮顧及物方控制點(diǎn)坐標(biāo)誤差，用整體最小二乘約束求解單應(yīng)性矩陣，將其精度得到提高的結(jié)果參與后面相機(jī)參數(shù)的運(yùn)算。為確定最佳解算相片數(shù)據(jù)，先以尼康D800為例，使用控制變量法探究拍攝角度和相片數(shù)量對(duì)解算結(jié)果的影像。然后采用改進(jìn)前后的張正友標(biāo)定算法在尼康D800和索尼ILCE-7R相機(jī)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：

(1)解算參數(shù)x0、k1和k2的值隨著參加解算相片的數(shù)量越多，精度越高，值逐漸趨于平穩(wěn)，說(shuō)明盲目增加相片數(shù)量不會(huì)一直提高解算精度，反而會(huì)增大計(jì)算量。

(2)以不同角度拍攝的照片計(jì)算的檢校參數(shù)y0、k1和k2精度高于近似平行的相片計(jì)算的檢校參數(shù)精度，不同角度的相片能夠更好提供約束條件，得到更優(yōu)解。

(3)在尼康D800和索尼ILCE-7R數(shù)據(jù)上，相比傳統(tǒng)張正友算法，f(焦距)、x0、y0(主點(diǎn)坐標(biāo))和k1、k2(畸變參數(shù))的解算精度均得到了提升，但計(jì)算量提升了一倍，這在預(yù)期之內(nèi)。

本次實(shí)驗(yàn)的某些相機(jī)參數(shù)精度與預(yù)期不相符，可能是因?yàn)橄嗥|(zhì)量沒(méi)有做抗差估計(jì)，在進(jìn)行解算時(shí)無(wú)法保證每張相片的質(zhì)量統(tǒng)一，從而導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)差異性。后面可以針對(duì)不同相機(jī)檢校算法驗(yàn)證本文所提方法的可行性，并為了保證數(shù)據(jù)質(zhì)量統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)拍攝相片進(jìn)行抗差處理。