董正高

(東南大學 物理學院，江蘇 南京 211189)

大學物理課程的電磁學、電動力學、光學等相關(guān)教學內(nèi)容中，坡印廷矢量是認識電磁波的一個重要物理量，然而對相關(guān)概念的分析并不是很深入.適當拓展、深化相關(guān)概念的教學，更好地與當前科研領(lǐng)域相銜接，培養(yǎng)新時代大學生今后走上工作崗位的前沿探索意識和科技創(chuàng)新素質(zhì)，是當前課程思政教改的重要一環(huán).眾所周知，在普通物理的教學中，一般以均勻平面電磁波為例，對坡印廷矢量僅限于較簡單地講解：該矢量對應電磁波的能流密度，其方向就是電磁波傳播的方向[1,2]. 相關(guān)的教學內(nèi)容，很直觀地讓學生認識到坡印廷矢量所反映的電磁波傳輸?shù)哪芰魈卣?，也即電磁波具有的縱向傳播動量的本質(zhì). 不過，對于普遍意義上的復雜電磁波來說，比如近年來引起廣泛興趣的矢量光場[3,4]，結(jié)合麥克斯韋方程對坡印廷矢量進行適當?shù)臄?shù)學推導，就可以發(fā)現(xiàn)該矢量除了包含有縱向能流對應的動量之外，還具有橫向軌道動量以及一種跟電磁波偏振態(tài)相關(guān)的內(nèi)稟能流——自旋動量[5-7].本文基于對坡印廷矢量的分解，從動量的角度對該矢量進行了討論，重點闡述了幾種復雜光場中坡印廷矢量所蘊含的橫向軌道動量和自旋動量.

1 坡印廷矢量

在教科書中，坡印廷矢量的定義式為

S(t)=E(t)×H(t)

(1)

對于時變的電磁場來講，式(1)是含時的瞬態(tài)表達式.如果電磁波的頻率非常高，比如光波，實際更關(guān)心坡印廷矢量的時間平均值.教學中會通過下式來計算坡印廷矢量在一個周期T內(nèi)的時間平均值：

(2)

(3)

其中：< >表示取時平值， *表示取復共軛.

坡印廷矢量代表電磁場能流密度，可以反映電磁能量流動的連續(xù)性，這一內(nèi)涵則需從麥克斯韋方程經(jīng)過簡單的數(shù)學推導后，由下述微分形式的坡印廷定理表達式體現(xiàn)出來[6,8]：

(4)

(5)

坡印廷定理表明：任意閉合面A上坡印廷矢量的負通量，等于體積內(nèi)電磁能量的時間變化率與功率損耗之和.顯然，體積內(nèi)電磁能量的單位時間增加量以及功率損耗，來源于單位時間流入體內(nèi)的電磁能量.因此，坡印廷矢量代表了能流密度.該式體現(xiàn)了電磁能量的守恒特性(能流連續(xù)性)，與電荷守恒(電流連續(xù)性)、動量守恒(應力張量連續(xù)性)等守恒律的形式一致.

上文把坡印廷矢量拆分為體積內(nèi)電場能量的時間變化率、磁場能量的時間變化率、功率損耗3部分，在電磁波相關(guān)教科書中是常見的.然而，上述關(guān)于坡印廷矢量的推導只是從能流角度進行了分析，并沒有反映復雜電磁波的不同動量內(nèi)涵.

2 復雜電磁波的動量密度

事實上，既然坡印廷矢量代表的是電磁場這種特殊物質(zhì)的能量密度w以速度v的流動，即S=wv(不計能量轉(zhuǎn)化為焦耳熱的歐姆損耗).那么這個矢量跟電磁波的動量密度p就緊密聯(lián)系在一起，即

(6)

(7)

式中Im{…}為取虛部，j為直角坐標系x、y、z三個分量.與前述坡印廷定理中的散度或通量表達式相對比，式(7)更能體現(xiàn)電磁波的運動特征，與電磁波的傳播相位梯度(即波矢)、橫向渦旋相位、偏振態(tài)及其不均勻分布程度等密切相關(guān)，實際上展現(xiàn)了電磁波的動量內(nèi)涵.

式(7)中的第1項與電磁波的偏振態(tài)(自旋)無關(guān)[6]，該能流分量正比于軌道動量密度，反映了電磁能量的流動(傳輸)，是實驗可直接觀測的量.若考慮電磁波沿+z方向傳播的傍軸情況，并把納布拉算子拆分成橫向和縱向兩部分，即=T+z.那么，式(7)第1項除以c2，即得軌道動量密度porb的時平值，可表示為

(8)

其中k為單位矢量z方向的傳播波矢, 強度I=E*·E.這就把坡印廷矢量對應的軌道動量密度分解成了式(8)所示的橫向軌道動量以及縱向軌道動量.前者具有內(nèi)稟屬性，表示電磁波自身內(nèi)部的渦旋運動；后者則具有外稟屬性，表示電磁波外在呈現(xiàn)的整體流動.

(9)

對于自旋為零的線偏振電磁波、或者對于任意的均勻平面電磁波，式(9)所對應的自旋動量密度均為零.另外，對其取散度，結(jié)果恒為零.由坡印廷定理的微分方程式(4)可知：該動量密度不會產(chǎn)生電磁能量的傳輸(即自旋動量是局域的，對電磁能流在任意閉合面上的通量沒有貢獻)，可類比傳導電流與磁化電流的差異.不過，自旋動量密度非零的不均勻光場(見下文2.3節(jié))，可導致非保守力或力矩，在光驅(qū)動納米馬達方面有一定的應用前景[10,11].

對于介質(zhì)中沿+z方向傳播的時諧電磁波，在傍軸條件下電場是橫向偏振的，且是z的慢變函數(shù)(可忽略z的依賴性)[5].因此，其相量式可表示為E(x,y,z)=E0(x,y)u(x,y)eilθeikz.其中：

1)E0(x,y)為振幅因子(實數(shù))，若強度均勻，則該振幅因子與坐標(x,y)無關(guān);

2)u(x,y)=αx+βy為單位偏振矢量，其中α、β為復數(shù)，且滿足歸一化|α|2+|β|2=1，若u(x,y)與坐標位置(x,y)無關(guān)，則表示偏振態(tài)均勻分布的電磁波.若單位矢量x、y方向的偏振分量同步(無相差)，則表示線偏振態(tài)；反之則為橢圓偏振態(tài);

3) eilθ為渦旋相位因子.其中l(wèi)為角量子數(shù)，θ為橫向xy面內(nèi)的方位角，其正切值對應該位置處坐標y與x的比值，即θ=arctan(y/x).

由于強度因子E0(x,y)、偏振因子u(x,y)、渦旋相位因子eilθ等三者都是x、y坐標的函數(shù)(且前兩者的具體函數(shù)關(guān)系還不明確)，直接將復振幅E0(x,y)u(x,y)eilθeikz代入有關(guān)公式計算和Jspin的一般形式，會遇到一定的困難. 下文中，我們不妨通過幾個典型的例子來闡述前述3種動量密度所對應的物理圖像.

2.1 均勻平面電磁波只有縱向軌道動量

對于教材常用的均勻平面電磁波來說，E0、u=αx+βy均為常量(與坐標無關(guān))，且角量子數(shù)l=0.此時橫截面(xy平面)上的振幅一致、且偏振態(tài)均勻分布，其復振幅可表示為E=E0(αx+βy)eikz.則橫向軌道動量密度的時平值為

自旋角動量密度為

圖1 線偏振平面波在損耗介質(zhì)中傳播

2.2 渦旋電磁波具有橫向軌道動量

E0β*e-ilθe-ikzT(E0βeilθeikz)}=

其中θ=-sinθx+cosθy為橫截面內(nèi)的角向單位矢量.推導中采用了T的二維極坐標形式上式表明：該復振幅所描述的渦旋電磁波，其橫向軌道動量具有渦旋(角向)分布特征.另一方面，由于這里的渦旋電磁波與上文的2.1節(jié)相比，僅多了一個渦旋相位因子eilθ，這并不會導致兩者的自旋角動量密度有任何差別.因此，此處渦旋電磁波的自旋角動量密度依然為

同樣由于Jspin是均勻分布的(E0、α、β都是與坐標無關(guān)的常量)，將上式取旋度顯然等于零，也即此例渦旋電磁波的橫向自旋動量密度恒為零.圖2所示是l=-2、沿+z方向傍軸傳播時的瞬態(tài)螺旋型等相位面(波前).與均勻平面電磁波相比，渦旋電磁波的波矢相對于傳播方向z軸有固定的微小傾角，但其方向隨方位角θ繞著z軸旋轉(zhuǎn).圖2中用螺旋半徑的衰減代表傳播過程中的振幅損耗，且螺旋中心軸上存在相位奇點(光強為0).

圖2 渦旋光束的螺旋型等相位面

2.3 圓偏態(tài)高斯光束的橫向自旋動量

由于振幅因子E0(x,y)是實數(shù)，上式不含虛部，結(jié)果必然為零，即橫向軌道動量密度的時平值為零.該式也表明：強度不均勻不會產(chǎn)生橫向軌道動量.另一方面，自旋角動量密度為

將上式取旋度，可得自旋動量密度的時平值為

圖3 沿+z方向傳播、均勻圓偏態(tài)的高斯型光場

相比于上述的均勻平面電磁波、渦旋光場、高斯光場，對于一般形式的橢偏態(tài)不均勻分布的電磁波(圖4，u為復矢量且是坐標x、y的函數(shù))，此時即使電磁波的角量子數(shù)l=0，橫向軌道動量與橫向自旋動量也可以同時存在.不過，考慮到該類光場的動量特征與上述例子大同小異，此處從略.

值得一提的是，還可以從相位(即相量表達式中e指數(shù)對應的相角)的角度分析電磁動量[10]：圖1中的縱向傳播動量是電磁波在空間的傳播相位(eikz)產(chǎn)生的；圖2中的橫向軌道動量是由橫向附加的空間渦旋相位(eilθ)產(chǎn)生的；圖3的自旋態(tài)均勻u=x+iy[可分解為具有恒定相位差(eiπ/2)的兩束線偏態(tài)相干光場]，但振幅在橫截面上不均勻分布.根據(jù)本文前述推導與討論，盡管這種電磁波的橫向自旋動量是自旋角動量的幅值梯度分布直接造成的，卻也離不開x、y兩正交分量的偏振相差；而圖4所存在的橫向軌道動量和自旋動量，則可以看成是兩束正交基偏振態(tài)的電磁波之間，存在橫向不均勻的相位差所產(chǎn)生的.

圖4 不均勻自旋態(tài)的矢量光場同時具有縱向傳播動量、橫向軌道動量和橫向自旋動量

(10)

然而，正如電磁波偏振僅以電場分量描述一樣，對電磁波動量的描述一般采用式(7)表示.

綜上所述，從式(1)所定義的坡印廷矢量出發(fā)，可以對復雜電磁波的縱向和橫向動量密度、軌道和自旋動量密度進行分類描述.體現(xiàn)了最佳的簡潔性和實用性.對于方興未艾的各類復雜光場，這種基于坡印廷矢量的電磁動量描述方法，在深入了解電磁波的運動特征、以及研究納米顆粒所受的光力、光力矩等領(lǐng)域，均具有重要的物理意義.