郭 磊，王美迪，鄢 嫣，姚 平

(長(zhǎng)江大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

線脹系數(shù)也被稱為線彈性系數(shù)，在工程設(shè)計(jì)、機(jī)械制造和新材料應(yīng)用等方面都有重要應(yīng)用，因此在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中線脹系數(shù)的測(cè)量占有重要的地位，其中金屬線膨脹系數(shù)的測(cè)量是很多高校所開設(shè)的必修實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目.目前金屬線脹系數(shù)主要的測(cè)量方法有：光干涉法測(cè)量[1,2]和千分表測(cè)量[3]，其中光干涉法存在干涉條紋不易讀取，光路調(diào)節(jié)復(fù)雜等缺點(diǎn)，而千分表反復(fù)使用極易磨損.另外在測(cè)量過程中，由于被測(cè)試件加熱不均勻會(huì)帶來較大的誤差.為了更好的開展金屬線脹系數(shù)測(cè)量的實(shí)驗(yàn)，筆者根據(jù)多級(jí)光杠桿產(chǎn)生靈感[4,5]，設(shè)計(jì)并制作了一款采用水浴加熱的金屬線脹系數(shù)測(cè)量裝置，隨后開展了長(zhǎng)達(dá)數(shù)月的實(shí)驗(yàn)測(cè)試，結(jié)果證明該裝置使用效果良好，非常適合大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué).

1 實(shí)驗(yàn)裝置的構(gòu)造與原理

作者設(shè)計(jì)與制作的實(shí)驗(yàn)裝置主要由物理杠桿模塊、電加熱模塊、光杠桿模塊以及支架模塊構(gòu)成，如圖1和圖2所示，圖1為實(shí)驗(yàn)裝置的實(shí)物圖，圖2為實(shí)驗(yàn)裝置的模型圖.核心模塊為光杠桿模塊，該模塊主要由K9光學(xué)反射鏡、光源、望遠(yuǎn)鏡、鋼尺等器件組成.支架模塊主要由木板、直角固定器和合葉等組成.電加熱模塊主要由石英玻璃加熱水管、溫度傳感器、電加熱棒、水泵、水管、待測(cè)金屬桿固定組件等組成.物理杠桿模塊則是由金屬物理杠桿、彈簧和彈簧固定組件組成.該儀器的主要作用是教學(xué)演示，可以測(cè)量金屬桿的線脹系數(shù)，進(jìn)而計(jì)算相對(duì)誤差、不確定度等.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖

(a) 實(shí)驗(yàn)裝置模型圖展開狀態(tài)

(b) 實(shí)驗(yàn)裝置模型圖折疊狀態(tài)

(c) 實(shí)驗(yàn)裝置模型圖加熱模塊

(d) 實(shí)驗(yàn)裝置物理杠桿模塊構(gòu)造圖2 實(shí)驗(yàn)裝置模型圖

金屬的熱膨脹變化量與溫度可近似認(rèn)為是線性相關(guān)的，但它是一個(gè)非常微小的變化量，無法用肉眼觀察且不易測(cè)量.本儀器利用電加熱棒對(duì)待測(cè)金屬桿進(jìn)行水浴加熱，同時(shí)利用水泵實(shí)現(xiàn)水循環(huán)，用2個(gè)溫度傳感器分別插入水管的底部和頂部，觀測(cè)水溫變化.如圖3所示，用物理杠桿設(shè)置一定放大倍率，一端與待測(cè)金屬桿相抵住，另一端固定一個(gè)反射鏡片A，在右側(cè)設(shè)置一個(gè)望遠(yuǎn)鏡，對(duì)此鏡片進(jìn)行觀測(cè). 在反射鏡片A右下方固定另一個(gè)反射鏡片B，在反射鏡片A下方置一個(gè)刻度尺，經(jīng)過兩次反射，使可以在望遠(yuǎn)鏡中看到鋼尺的刻度值.

圖3 放大倍數(shù)原理圖

金屬桿受熱膨脹，發(fā)生微小的形變，帶動(dòng)物理杠桿旋轉(zhuǎn)一定的角度，進(jìn)而帶動(dòng)光杠桿的光路發(fā)生一定角度的偏轉(zhuǎn)，經(jīng)過物理杠桿和光杠桿結(jié)合放大，可以用望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)到刻度尺上準(zhǔn)確的刻度變化. 當(dāng)溫度升高至T1(℃)時(shí)，記錄此時(shí)的刻度值，當(dāng)溫度升高至(T1+10)℃時(shí),再次記錄刻度值，利用溫度差和刻度差計(jì)算出待測(cè)金屬的線脹系數(shù).通常重復(fù)進(jìn)行5次實(shí)驗(yàn)取平均值即可得到較為精確的線脹系數(shù).

2 金屬線脹系數(shù)測(cè)量實(shí)驗(yàn)

2.1 線脹系數(shù)測(cè)量過程

2.1.1 儀器調(diào)整

向石英玻璃加熱水管中加入適量的水，將電加熱棒、溫度傳感器和待測(cè)金屬桿樣品依次放入石英玻璃加熱水管中，連接好電加熱棒與水泵的電源(12 V直流穩(wěn)壓源)，固定好物理杠桿，打開光源，將望遠(yuǎn)鏡調(diào)整到合適的位置，能夠清晰地看到鋼尺的刻度即可.

2.1.2 確定放大倍數(shù)

如圖3所示，用刻度尺量出支點(diǎn)到待測(cè)金屬桿受力點(diǎn)的距離a，再量出物理杠桿的支點(diǎn)到反射鏡片A的距離b，則物理杠桿放大倍數(shù)為

(1)

計(jì)算光杠桿的放大倍數(shù)，用激光測(cè)距儀測(cè)量出望遠(yuǎn)鏡到反射鏡片A的距離H1，反射鏡片A到反射鏡片B的距離H2，反射鏡片B到望遠(yuǎn)鏡中鋼尺刻度處的距離H3，令H=H1+H2+H3，則光杠桿的放大倍數(shù)為

(2)

實(shí)驗(yàn)裝置總的放大倍數(shù)為

(3)

2.1.3 測(cè)量

儀器調(diào)整好后，打開電源，儀器開始對(duì)待測(cè)金屬桿水循環(huán)加熱，實(shí)驗(yàn)時(shí)室溫約為30攝氏度.當(dāng)水溫升高至35攝氏度時(shí)，讀取此時(shí)的溫度值T1和刻度值x1；等待水溫升高至45攝氏度時(shí)，讀取此時(shí)的溫度值T2和刻度值x2；關(guān)閉電源，停止加熱，等待水溫下降至約29攝氏度時(shí)重復(fù)上述步驟；測(cè)量得到5組數(shù)據(jù)后，關(guān)閉電源停止加熱，關(guān)閉光源，將儀器折疊收起，完成實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.

2.2 數(shù)據(jù)處理

根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量，得到了實(shí)驗(yàn)裝置放大倍數(shù)β和5組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表1所示，為5組溫度與刻度的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù).

2.2.1 計(jì)算線脹系數(shù)

利用得到的5組數(shù)據(jù)，分別計(jì)算溫度差與刻度差.進(jìn)而利用溫度差、刻度差與放大倍數(shù)三個(gè)物理量分別計(jì)算出線脹系數(shù)，取平均值后即可得到較為精確的線脹系數(shù).

設(shè)在溫度為T1時(shí)金屬桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，溫度升高到T2時(shí)金屬桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，伸長(zhǎng)量為ΔL,鋼尺刻度變化量為Δx，則

(4)

上式中，α為待測(cè)金屬桿的線脹系數(shù)，β為實(shí)驗(yàn)裝置的放大倍數(shù)，L0為待測(cè)金屬桿在零度時(shí)的長(zhǎng)度.由式(4)計(jì)算線脹系數(shù)得

表1 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

(5)

通過取平均值減小誤差,則

(6)

2.2.2 計(jì)算線脹系數(shù)的相對(duì)誤差和不確定度

(7)

上式中α0為待測(cè)金屬線脹系數(shù)的理論值.

計(jì)算線脹系數(shù)的不確定度，Δx的A類不確定度為

(8)

上式中，n為刻度差與溫度差數(shù)據(jù)的組數(shù).

Δx的B類不確定度為

(9)

合成不確定度為

(10)

對(duì)于光路長(zhǎng)度L，物理杠桿支點(diǎn)到待測(cè)金屬桿受力點(diǎn)的距離a，待測(cè)金屬桿初始長(zhǎng)度L,溫度T不考慮A類不確定度，它們的不確定度為

(11)

所以綜合不確定度為

(12)

最終得到的結(jié)果為

(13)

2.3 典型實(shí)驗(yàn)結(jié)果

如表1所示，是對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行實(shí)踐操作所得到的數(shù)據(jù)，通過進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，發(fā)現(xiàn)測(cè)量結(jié)果的誤差均在3%以內(nèi)，計(jì)算結(jié)果填在了表2中.表2是根據(jù)表1實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理后得到的具體結(jié)果.

表2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果

根據(jù)表1的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)做折線圖，通過4圖可以看出，筆者設(shè)計(jì)與制作的實(shí)驗(yàn)裝置精確度較高，誤差較小，與理論值非常接近.

(a) 鋁的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

(b) 銅的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

(c) 鐵的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)圖4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)折線圖

2.4 誤差分析

實(shí)驗(yàn)裝置的誤差來自多個(gè)方面，最主要的誤差原因是原材料有限，儀器制作不夠精密. 待測(cè)金屬桿的直徑是3 mm，熱傳導(dǎo)也會(huì)造成微小的誤差. 待測(cè)金屬桿固定組件和加熱水管也會(huì)升高一定的溫度，但是其材料為石英玻璃，其熱膨脹可忽略不計(jì).

3 結(jié)束語(yǔ)

通過實(shí)驗(yàn)證明，用本裝置對(duì)金屬桿的線脹系數(shù)進(jìn)行測(cè)量是可行的，通過物理杠桿與光杠桿結(jié)合放大，水循環(huán)均勻加熱，便攜式設(shè)計(jì)等使得實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象明顯，測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確，光路易于調(diào)節(jié)，便于攜帶，適合用于教學(xué)演示，比光干涉法、千分表法等方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)，具有一定的發(fā)展前景. 本實(shí)驗(yàn)可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，掌握和理解熱膨脹的原理，并且還緊密聯(lián)系了光學(xué)知識(shí)、熱學(xué)知識(shí)，可以加強(qiáng)各學(xué)科之間的聯(lián)系. 筆者設(shè)計(jì)與制作的實(shí)驗(yàn)裝置已經(jīng)申請(qǐng)國(guó)家專利，并且將繼續(xù)優(yōu)化改進(jìn)，后續(xù)將應(yīng)用于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的教學(xué).