蔡曼琳，丁海平，2，于彥彥

（1.蘇州科技大學(xué)江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇蘇州 215011；2.中國地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱150080）

引言

地形對地震動的影響研究主要有兩種方法：一種是利用場地觀測臺站的地震記錄；另一種是理論分析方法，常用的有解析法和數(shù)值法。解析法主要指的是波函數(shù)展開法［1－4］，考慮的地形幾何形狀和介質(zhì)的材料特性相對比較簡單，其結(jié)果可以用于檢驗(yàn)數(shù)值法的計(jì)算精度。而數(shù)值法的種類較多，文獻(xiàn)［5］把數(shù)值法歸納為3 類：域方法，包括有限差分法、有限元法和譜單元法［6－11］；邊界元方法［12－14］；將幾種數(shù)值方法相結(jié)合的聯(lián)合方法［15－16］。沉積谷地（盆地）作為最常見的地形之一，是人類生活和工作的主要區(qū)域，研究其對地震波的傳播影響很重要。對于復(fù)雜的地形和地質(zhì)條件的場地，解析法受到一定的限制。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和大型有限元軟件的出現(xiàn)，有限元數(shù)值法已成為一種更方便和更有效的手段。采用有限元方法分析場地效應(yīng)時(shí)，需要用人工邊界把半空間問題限制在一個有限的區(qū)域內(nèi)解決。目前的大型有限元軟件大多沒有設(shè)置人工邊界，但可以采用基于粘性邊界或粘-彈性邊界的等效荷載輸入方法實(shí)現(xiàn)［17－20］，由于在滿足這些邊界條件時(shí)存在參數(shù)選擇問題，其精度受到一定限制。在眾多的人工邊界中，多次透射公式（MTF）是一種易于實(shí)現(xiàn)且精度較高的局部人工邊界條件［21］。本文將利用Ansys 有限元軟件結(jié)合MTF 的計(jì)算工具，分析圓弧形沉積谷地對入射SV 波放大特征。由于場地地表地震動峰值的分布受不同地震波輸入的影響，如文獻(xiàn)［22］發(fā)現(xiàn)：同一個場地模型在不同的地震波入射下，地表的地震動峰值分布呈現(xiàn)顯著的差異性；文獻(xiàn)［23］也指出：不同地震波作用下，地震動峰值放大系數(shù)的影響程度和范圍有區(qū)別，因此，本文將進(jìn)行頻域結(jié)果分析，避免受不同輸入地震波的影響［24］。

1 計(jì)算方法

如圖1所示由人工邊界和地表包圍的區(qū)域結(jié)構(gòu)-地基系統(tǒng)，運(yùn)動方程為：

圖1 結(jié)構(gòu)-地基系統(tǒng)動力反應(yīng)分析示意圖Fig.1 Schematic diagram of dynamic response analysis of structure-foundation system

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；P為外力矢量。

在地震波作用下，本文所討論的波動問題有2 個問題需要解決好：一是邊界問題；二是地震波的輸入問題，且這2個問題是相關(guān)聯(lián)的。

（1）人工邊界

本文的人工邊界采用的是多次透射公式（Multi-Transmitting Formula，簡記為“MTF”）［21］。設(shè)某一入射波以人工波速ca沿x軸從左側(cè)射向人工邊界點(diǎn)0（圖2），記點(diǎn)j在p時(shí)刻的位移表達(dá)式為=u(pΔt,jΔx)，j和p為整數(shù)，Δt為時(shí)間步距，Δx為空間步距，若Δt=Δx/ca，則可直接用與人工邊界垂直方向上的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移確定：

圖2 人工邊界附近節(jié)點(diǎn)編號，一維波動模型圖Fig.2 Node number near artificial boundary，one-dimensional wave model

式中：

由于MTF模擬的是外行波，即散射波us，其表達(dá)式為：

式中：us散射波位移；u為全波場位移；ur為參考波場的位移（對底邊界，參考波場可直接取輸入場，對側(cè)邊界，則通常取為自由場。令多次透射公式（2）中u=us，將式（4）代入式（2）中，則：

（2）地震波的輸入

假定輸入地震波為位移，則輸入面為人工邊界節(jié)點(diǎn)所在位置，人工邊界點(diǎn)的全波場位移為：

式中：下標(biāo)i表示內(nèi)節(jié)點(diǎn)（包括自由表面節(jié)點(diǎn)）；b表示邊界節(jié)點(diǎn)。對于散射問題，方程（7）的右邊荷載項(xiàng)為0，方程（7）就變成已知邊界點(diǎn)ub的位移求解內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移問題。對于波源問題，方程（7）的右邊pb為0，方程（7）就變成已知邊界點(diǎn)ub的位移和pi求解內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移問題。只要選擇一種合適的數(shù)值積分格式，兩種情形都很容易對方程（7）進(jìn)行求解。

（3）有限元數(shù)值模擬的網(wǎng)格尺寸要求

解析方法給出的場地地震響應(yīng)一般是基于無量綱頻率的譜比（或稱譜放大系數(shù)），其中無量綱頻率定義為：

式中：a為沉積谷地地形半寬；λs為土層介質(zhì)中剪切波波長；cs為土層剪切波速；ω為圓頻率。參數(shù)η表示沉積谷地寬度與土層介質(zhì)中剪切波波長之比，η值越大，其入射波波長越小，對應(yīng)的頻率f越高。

進(jìn)行有限元數(shù)值模擬時(shí)，網(wǎng)格尺寸一般需要滿足在一個有意義的波長內(nèi)包含有10 個單元網(wǎng)格，如下列關(guān)系式：

式中：λ表示為入射波的波長；Cs表示為沉積介質(zhì)中的剪切波速；T表示為入射波的周期；fcut表示為入射波的截止頻率，本文取40 Hz。根據(jù)式（9），確定網(wǎng)格尺寸Δx=0.5 m；根據(jù)穩(wěn)定性條件，時(shí)間步距dt=0.000 25 s。

2 方法驗(yàn)證

算例1：均勻半空間沉積谷地

采用文獻(xiàn)［13，26］相同的沉積谷地模型和介質(zhì)參數(shù)作為算例（圖3），以垂直入射脈沖波的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證本文的有限元方法。計(jì)算參數(shù)為無量綱頻率η=2a/λs，泊松比μ=1/3，沉積谷地與半空間的剪切波速之比為200/400，壓縮波速之比為400/800，介質(zhì)密度之比1.4/1.8，半圓形沉積谷地半徑取a=25 m。

圖3 方法驗(yàn)證模型圖-均勻半空間沉積谷地Fig.3 Model diagram of method validation-alluvial valley embedded in a uniform half-space

在上述模型的地表取41個觀測點(diǎn)，編號分別為0～40，圖4 為41 個點(diǎn)水平方向和豎直方向的時(shí)程圖。首先將場地各點(diǎn)的位移進(jìn)行傅里葉變換，得到頻域響應(yīng)的傅里葉譜，再計(jì)算與入射脈沖波的傅里葉譜的比值。文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［26］給出了入射角θ=0°，無量綱頻率η=1的解析解。圖5為本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［26］進(jìn)行比對，從圖中的對比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：采用本文方法得到的數(shù)值模擬結(jié)果與解析解吻合，由此驗(yàn)證了本文方法的正確性。

圖4 均勻半空間沉積谷地地表時(shí)程圖Fig.4 Time history diagram of surface-alluvial valley embedded in a uniform half-space

圖5 本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［26］結(jié)果的比較Fig.5 Comparison of results from this paper and Reference［13］，［26］

算例2：層狀半空間沉積谷地

采用文獻(xiàn)［27］的層狀半空間中半圓沉積地形模型和介質(zhì)參數(shù)（圖6），同樣以垂直入射脈沖波的計(jì)算結(jié)果為例驗(yàn)證本文方法。沉積谷地與土層的剪切波速之比為200/400，土層與基巖的剪切波速之比為400/800；沉積谷地與土層的壓縮波速之比為400/800，土層與基巖的壓縮波速之比為800/1 600。沉積谷地與土層的介質(zhì)密度之比1.6/2.4，土層與基巖的介質(zhì)密度之比2.4/3.2，泊松比均為μ=1/3，半圓形沉積谷地半徑取a=25 m。

圖6 方法驗(yàn)證模型圖-層狀半空間沉積谷地Fig.6 Model diagram of method validation-alluvial valley embedded in a layered half-space

在上述模型的地表取41個觀測點(diǎn)，編號分別為0～40，圖7為41個點(diǎn)水平方向和豎直方向的時(shí)程圖。與算例1 的方法相似，首先將場地地表各點(diǎn)的位移進(jìn)行傅里葉變換，得到頻域響應(yīng)的傅里葉譜，再計(jì)算與入射脈沖波的傅里葉譜的比值。文獻(xiàn)［27］給出了入射角θ=0°，無量綱頻率η=0.5 的解析解。圖8 為本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［27］的比對，從對比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：采用本文方法得到的模擬結(jié)果與FRANCISCO 等［27］給出的解析解吻合，由此驗(yàn)證了本文方法的正確性。

圖7 層狀半空間沉積谷地地表時(shí)程圖Fig.7 Time history diagram of surface-alluvial valley embedded in a layered half-space

圖8 本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［27］結(jié)果的比較Fig.8 Comparison of results from this paper and Reference［27］

3 輸入波形和計(jì)算模型

假定入射SV 波為脈沖波（圖9），輸入波的截止頻率大約為fcut=40Hz。有限元計(jì)算模型為半空間上有一簡單圓弧形沉積，長300 m，高100 m，如圖10所示。沉積介質(zhì)的密度為1 600kgm3，土層介質(zhì)的密度為1 800kgm3，層狀半空間中基巖介質(zhì)的密度為2 200kgm3，泊松比均為1/3。

圖9 輸入脈沖波時(shí)程及相應(yīng)傅里葉譜Fig.9 Time history and Fourier spectrum of Pulse wave

圖10 沉積谷地計(jì)算模型示意圖Fig.10 Calculation model of alluvial valley

本文假定了4個計(jì)算模型，模型參數(shù)見表1。模型1和模型2為均勻半空間沉積谷地模型；模型3和模型4為層狀半空間沉積谷地模型，其中土層厚度為75 m，基巖厚度為25 m。

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

根據(jù)計(jì)算模型中沉積谷地半寬與土介質(zhì)特性，由式（8）可得無量綱頻率與實(shí)際頻率對應(yīng)關(guān)系見表2。

表2 無量綱頻率對應(yīng)的實(shí)際頻率（Hz）Table 2 Actual frequency（Hz）corresponding to the dimensionless frequency

4 算例與分析

采用本文提出的有限元模擬方法研究沉積河谷地形對平面SV 波的寬頻散射，給出了不同入射角度和河谷深寬比等參數(shù)下的單頻結(jié)果。SV波入射角度分別為θ=0°、15°、25°，無量綱頻率分別為η=0.25、0.5、1、2、4、6。

4.1 均勻半空間沉積谷地

圖11 給出了不同角度SV 波入射下均勻半空間半圓形沉積河谷（模型1，h/a=1.0）地表位移譜放大系數(shù)β。垂直入射（θ=0°）情形下：沉積河谷上方水平方向的放大系數(shù)β基本大于2.0，在x/a=0 及其附近處最大；除了頻率η=0.25，放大系數(shù)β=2.71，其它頻率的放大系數(shù)β在4.0～6.0 之間；在＞1 范圍內(nèi)，放大系數(shù)β大于2 的情況不多。隨著入射角度增大，如分別為θ=15°、25°，放大系數(shù)β略有增大；且隨著頻率的增大，放大系數(shù)β的最大值向入射波的異側(cè)偏移，但偏移的幅度不大。

圖11 SV波入射下均勻半空間半圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型1）Fig.11 Amplification curve of surface displacement spectrum of semicircular alluvial valley in uniform half space under SV wave incidence（model 1）

豎直方向放大系數(shù)的特點(diǎn)與水平方向相似，但β要小于對應(yīng)的水平方向，特別是當(dāng)頻率較小時(shí)，如η=0.25，各種情形下整個地表范圍的放大系數(shù)β均小于2；另外，在x/a=0及其附近處放大系數(shù)β最小。

圖12 給出了不同角度SV 波入射下均勻半空間淺圓弧形沉積河谷（模型2，h/a=0.4）地表位移譜放大系數(shù)β。垂直入射（θ=0°）情形下：沉積河谷上方水平方向在η=0.25 時(shí)的放大系數(shù)β接近于2，沒有反映出地形的影響，隨著頻率的增大，沉積河谷的影響逐漸明顯，放大系數(shù)β也有增大，但也少有大于6.0；在＞1 范圍內(nèi)，所有頻率的放大系數(shù)β大于2 的情況也不多。隨著入射角度增大，如分別為θ=15°、25°，頻率較小時(shí)的放大系數(shù)β略有增大，頻率增大時(shí)不明顯；且隨著頻率的增大，放大系數(shù)β的最大值向入射波的異側(cè)偏移，但偏移的幅度不大。豎直方向的放大系數(shù)的特點(diǎn)與水平方向相似，但放大值要小于水平方向。在＜1 范圍內(nèi)，相對于半圓形沉積河谷，淺圓弧形沉積河谷在頻率較小階段的放大系數(shù)較小。

圖12 SV波入射下均勻半空間淺圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型2）Fig.12 Amplification curve of surface displacement spectrum of shallow arc alluvial valley in uniform half space under SV wave incidence（model 2）

4.2 層狀半空間沉積谷地

圖13給出了不同角度SV波入射下層狀半空間中半圓形沉積河谷（模型3，h/a=1.0）地表位移譜放大系數(shù)β。η=2.0時(shí)的放大系數(shù)β相對最大。隨著入射角度增大，放大系數(shù)β的變化明顯，較均勻半空間中半圓形沉積河谷的大；且隨著頻率的增大，放大系數(shù)β的最大值向入射波的異側(cè)偏移，但偏移的幅度不大。豎直方向放大系數(shù)的特點(diǎn)與水平方向相似，但β值要小于對應(yīng)的水平方向。

圖13 SV波入射下半空間半圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型3），其中虛線為對應(yīng)的半空間地表位移譜放大曲線Fig.13 Amplification curve of surface displacement spectrum of semicircular alluvial valley in layered half space under SV wave incidence（model 3），and the dotted line is displacement spectrum amplification curve corresponding half-space ground

圖14給出了不同角度SV波入射下層狀半空間中淺圓弧形沉積河谷（模型4，h/a=0.4）地表位移譜放大系數(shù)β。在＜1范圍內(nèi)，相對于層狀半空間中半圓形沉積河谷，層狀半空間中淺圓弧形沉積河谷在較小頻率階段的放大系數(shù)較小，頻率較大時(shí)的放大系數(shù)相差不大。

圖14 SV波入射下層狀半空間淺圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型4），其中虛線為對應(yīng)的層狀半空間地表位移譜放大曲線Fig.14 Amplification curve of surface displacement spectrum of shallow arc alluvial valley in layered half space under SV wave incidence（model 4），and the dotted line is displacement spectrum amplification curve correspondinglayered half-space ground

圖13-14 中同時(shí)給出了與模型3 和模型4 對應(yīng)的半空間和層狀半空間地表位移譜放大曲線（見圖中虛線）。對于半空間和層狀半空間模型，其地表位移譜放大結(jié)果對應(yīng)相同的頻率在圖中表示為直線。與半空間和層狀半空間圓弧形沉積河谷地表位移譜放大曲線相比，半空間和層狀半空間的場地放大效應(yīng)明顯偏??；但有極少數(shù)情形，半空間和層狀半空間的場地放大效應(yīng)反而較大，這與盆地內(nèi)的介質(zhì)特性有關(guān)。

5 結(jié)論

本文采用有限元數(shù)值模擬方法研究了均勻半空間和層狀半空間中圓弧形沉積谷地對入射平面SV 波的散射問題，并分析了河谷深度、入射角度和頻率等因素的影響，得出一些有意義的結(jié)論：

（2）層狀半空間沉積河谷的β比均勻半空間沉積河谷的大，其中層狀土介質(zhì)的因素很大?？傮w上，層狀半空間半圓形和淺圓弧形沉積河谷的放大系數(shù)β的變化趨勢，與均勻半空間半圓形和淺圓弧形沉積河谷相似。

（3）入射角度對放大系數(shù)β有影響，特別是頻率η較小階段，隨著頻率的增大，β有增大；另外且隨著頻率的增大，放大系數(shù)β的峰值向入射波的異側(cè)偏移，但偏移的幅度不大。

（4）豎直方向的放大系數(shù)β與上述水平方向的類似，＞1范圍內(nèi)的地表放大系數(shù)β較大。但與水平方向的地表放大系數(shù)β的峰值總是出現(xiàn)在=0 附近不同，豎直方向的放大系數(shù)β的谷值一般出現(xiàn)在=0附近。

（5）大多情形下，半空間和層狀半空間的場地放大系數(shù)β比層狀半空間圓弧形沉積河谷的放大系數(shù)β明顯偏小。