黃 晉 盧文婷 陳嘉榮 薛珺天

(①中國電子科技集團(tuán)公司第二研究所，山西 太原030024；②太原師范學(xué)院物理系，山西 太原 030002)

滾珠絲杠副由于定位精度高，工作可靠，且可將伺服電動機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動轉(zhuǎn)化為工作臺的直線運(yùn)動，因而作為機(jī)械傳動部件廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的自動化設(shè)備中。其中的升降機(jī)構(gòu)將滾珠絲杠副垂直安裝，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動轉(zhuǎn)化為工作臺的上下直線運(yùn)動。目前，滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)沒有明確的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)的設(shè)計(jì)開發(fā)過程均依靠經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行。但是由于伺服的激勵，傳動部件會產(chǎn)生振動，如果中間環(huán)節(jié)選型不合理，還會有共振的危險，嚴(yán)重影響滾珠絲杠副的使用壽命、噪聲、溫升、傳動效率以及工作臺的定位精度[1]。因此，建立滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行振動特性分析，指導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程和結(jié)構(gòu)優(yōu)化，對系統(tǒng)減振降噪和提升產(chǎn)品整體性能有重要意義。

已有眾多國內(nèi)外學(xué)者對滾珠絲杠傳動系統(tǒng)進(jìn)行了動力學(xué)建模與分析。向紅標(biāo)等人建立了某測量機(jī)Z軸滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的動力學(xué)模型[2]，吳沁等人利用拉格朗日方程和能量原理建立了數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，分析了各參數(shù)對工作臺振動位移的影響[3]， Frey S等分析了不同負(fù)載、工作臺位置和絲杠螺距對進(jìn)給系統(tǒng)混合模型和離散模型固有頻率的影響[4]，但是都存在模型簡化程度大，沒有考慮系統(tǒng)的初始條件等問題。集中參數(shù)模型能夠估計(jì)滾珠絲杠進(jìn)給驅(qū)動系統(tǒng)的軸向及扭轉(zhuǎn)的低階振動，但無法準(zhǔn)確表征絲桿的柔性體特征[5-7]。Vicente D等人采用Ritz級數(shù)法表示絲杠軸向及扭轉(zhuǎn)位移場的空間依賴性[8]。董亮等人將絲杠作為分布參數(shù)模型，其余部件作為集中參數(shù)模型，應(yīng)用功率平衡法和Ritz級數(shù)法，建立了滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的振動模型[9]，但是都沒有對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析。

針對以上問題，本文以某上下料自動化設(shè)備中的升降機(jī)構(gòu)為研究對象，建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型，仿真分析了系統(tǒng)的模態(tài)振型、固有頻率以及動態(tài)響應(yīng)。結(jié)果表明所建立的數(shù)學(xué)模型可以對滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)的選型設(shè)計(jì)和后期結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 拉格朗日方程

滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)的物理模型如圖1所示，伺服電機(jī)通過聯(lián)軸器帶動絲杠轉(zhuǎn)動，絲杠通過固定座安裝在機(jī)架上，絲杠另一端利用深溝球軸承支持，這種固定-支持的安裝方式能夠抵消由熱變形產(chǎn)生的應(yīng)力，常被應(yīng)用于精密滾珠絲杠驅(qū)動系統(tǒng)中[9]。

垂直升降系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖2所示。Jm為伺服電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量，忽略滾動軸承在扭轉(zhuǎn)方向上的剛度和阻尼。Jc、Kc、Cc分別為聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼。Kb、Cb、Kn、Cn分別為固定座和絲杠螺母的軸向剛度和軸向阻尼。mt為負(fù)載質(zhì)量，同時考慮負(fù)載總重量G2和負(fù)載與絲杠的總重量G1。E、ρ、A、G、I分別表示滾珠絲杠的楊氏模量、密度、橫截面積、截切模量和極慣性矩。l表示絲杠的長度，γ表示絲杠的導(dǎo)程，κ表示絲杠的阻尼損耗因子。

第一類拉格朗日方程為：

(1)

(2)

由圖2可知，系統(tǒng)動能T包括工作臺、電機(jī)轉(zhuǎn)子、聯(lián)軸器和絲杠的動能：

(3)

其中：“·”表示對時間t的導(dǎo)數(shù);ut(t)表示工作臺的位移;θm(t)表示電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角;u(x,t)和θ(x,t)分別表示絲杠的軸向位移函數(shù)和扭轉(zhuǎn)位移函數(shù);x是絲杠螺母的位移變量;xt是絲杠螺母的當(dāng)前位置。絲杠螺母將絲杠的軸向和扭轉(zhuǎn)振動耦合[10]，螺母的軸向位移δn可以表示為：

(4)

系統(tǒng)勢能V包括聯(lián)軸器、絲杠螺母、固定座和絲杠變形的彈性勢能：

(5)

由于系統(tǒng)存在阻尼損耗，則耗散能R可表示為：

(6)

絲杠作為連續(xù)體，可以用位移函數(shù)u(x,t) 和θ(x,t)來描述絲杠的變形，Ritz級數(shù)方法通過Ritz級數(shù)展開能夠描述位移函數(shù)[10]：

(7)

(8)

其中φu(x)和φθ(x)是位移函數(shù)的基函數(shù)，系數(shù)qu(t)和qθ(t)表示基函數(shù)在某一瞬時的分量?；瘮?shù)必須滿足確定的條件以獲得有效的Ritz級數(shù)展開，同時必須滿足連續(xù)性、線性獨(dú)立和幾何邊界條件[10]。基于以上分析，基函數(shù)可表示為：

φu(x)=cos(ju-1)πx/l

(9)

φθ(x)=cos(jθ-1)πx/l

(10)

其中:ju=1,2,…,Nu;jθ=1,2,…,Nθ。

取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為θm(t)、ut(t)、qθ(t)、qu(t)，則廣義坐標(biāo)矩陣表示如下：

(11)

將式(7)和(8)代入式(3)～(6)中，令：

得到系統(tǒng)的動能、勢能和耗散能函數(shù)分別為：

(13)

(14)

(15)

由矩陣?yán)碚摽赏茖?dǎo)出以下2個結(jié)論：

(1)設(shè)f=AX，其中f為標(biāo)量，A為常量矩陣，X為未知矩陣，則有：

(16)

(2)設(shè)f=XTAX，其中f為標(biāo)量，A為常量矩陣，X為未知矩陣，則有：

(17)

基于式(16)和式(17)的結(jié)論，將式(13)～(15)代入式(2)得到系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和廣義激振力矩陣如下：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

1.2 固有特性分析

無阻尼系統(tǒng)的特征方程為：

(23)

1.3 動態(tài)響應(yīng)計(jì)算

由于模態(tài)疊加法相比于其他動力學(xué)分析方法具有高效、計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)，動態(tài)響應(yīng)分析采用了模態(tài)疊加法，通過在模態(tài)分析中獲得的固有頻率與振型來描述結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)。

將物理坐標(biāo)q轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)qp：

q=Apqp

(24)

(25)

令：

(26)

得到坐標(biāo)變換后的系統(tǒng)動力學(xué)方程：

(27)

其中：質(zhì)量矩陣Mp為對角矩陣；阻尼矩陣Cp不是對角矩陣，可通過降階法求解系統(tǒng)微分方程，得到qp后代入式(24)可得到系統(tǒng)廣義坐標(biāo)q的時變特性。

2 案例仿真分析

以某上下料自動化設(shè)備中的升降機(jī)構(gòu)為研究對象，對滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析和動力學(xué)分析，升降機(jī)構(gòu)的三維模型和工程現(xiàn)場應(yīng)用如圖3所示。伺服電機(jī)和絲杠使用標(biāo)準(zhǔn)品，其他結(jié)構(gòu)為自行設(shè)計(jì)。相關(guān)參數(shù)從產(chǎn)品目錄和說明書中獲取，具體參數(shù)見表1。

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

2.1 模態(tài)分析

將相關(guān)參數(shù)代入式(23)，求解(23)式可得系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型，表2列出了xt在0.5 m處時，Ritz級數(shù)長度Nu和Nθ取不同值時第一階固有頻率的數(shù)值仿真結(jié)果：

表2 固有頻率隨級數(shù)長度的變化

由于基函數(shù)的個數(shù)是任意的，且通過多個基函數(shù)的疊加，可以得到基頻的近似值[11]，由表2可知Nu和Nθ取不同值時基頻不變，所以取Nu=Nθ=2進(jìn)行系統(tǒng)的模態(tài)分析。

表3為工作臺在不同位置下，系統(tǒng)第一階到第三階的固有頻率。固有頻率隨工作臺位置和負(fù)載質(zhì)量的連續(xù)變化趨勢如圖4所示，第一階固有頻率受負(fù)載質(zhì)量影響較大，負(fù)載質(zhì)量越大，系統(tǒng)第一階固有頻率越小。機(jī)械系統(tǒng)的第一階固有頻率是決定系統(tǒng)頻率響應(yīng)帶寬的的一個重要約束因素，在設(shè)計(jì)一個伺服控制系統(tǒng)時，通常要求機(jī)械系統(tǒng)的第一階固有頻率是系統(tǒng)帶寬的5倍以上。圖4和表3表明可以通過選擇不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)獲得合理的系統(tǒng)固有頻率，預(yù)防共振的發(fā)生。

表3 固有頻率隨工作臺位置的變化

表4列出了絲杠導(dǎo)程和螺母剛度對系統(tǒng)前三階固有頻率的影響，可以看出，在無預(yù)壓的條件下，第一階和第三階固有頻率隨導(dǎo)程的增大而增大，而第二階固有頻率是和絲杠螺母的剛度成正相關(guān)。導(dǎo)程不變，增加預(yù)壓，固有頻率也增大，并且第一階固有頻率受影響較大。結(jié)果表明增大導(dǎo)程，增加預(yù)壓可以提高機(jī)械系統(tǒng)的第一階固有頻率，增大傳動系統(tǒng)的剛度和傳動精度。

表4 固有頻率隨絲杠導(dǎo)程的變化

圖5為絲杠的軸向振型曲線，圖6為絲杠的扭轉(zhuǎn)振型曲線。由圖可知系統(tǒng)第一階和第三階振動主要是扭轉(zhuǎn)振動，伴隨較小的軸向振動，第二階振動是絲杠的軸向和扭轉(zhuǎn)耦合振動。由第一階和第二階扭轉(zhuǎn)振型可知工作臺越是遠(yuǎn)離電機(jī)端，絲杠的扭轉(zhuǎn)振動越大。

由第一階軸向振型可知工作臺越是遠(yuǎn)離電機(jī)端，絲杠軸向振動越大。

從振型曲線可以知道某個自然共振頻率下結(jié)構(gòu)的變形趨勢，若要加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的剛性，可以從這些較弱的部分加強(qiáng)。圖5和圖6表明最低頻的模態(tài)主要是工作臺在遠(yuǎn)離電機(jī)端的位置時絲杠的扭轉(zhuǎn)方向，這是系統(tǒng)的薄弱位置，那么在后續(xù)升降系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中應(yīng)該將這一薄弱環(huán)節(jié)對傳動系統(tǒng)的性能影響考慮其中。

2.2 動態(tài)響應(yīng)分析

根據(jù)式(24)和式(27)編制MATLAB仿真程序，仿真時間100 ms，步長2 ms，得到工作臺的位移響應(yīng)以及各參數(shù)的影響。

滾珠絲杠和絲杠螺母結(jié)合處的軸向剛度和滾珠絲杠的預(yù)壓等級有關(guān)，過大的預(yù)壓力將造成摩擦扭矩增大及溫升效應(yīng)，壽命減短，但太低的預(yù)壓力會使得滾珠絲杠剛性不足及增加失步的可能性。查閱滾珠絲杠技術(shù)資料可知，軸徑為20 mm的滾珠絲杠，在無預(yù)壓的情況下，導(dǎo)程為10 mm時剛性最大，5 mm導(dǎo)程次之，20 mm導(dǎo)程的剛性最小。

圖7中，設(shè)定絲杠的導(dǎo)程為20 mm，增加絲杠螺母的預(yù)壓，絲杠螺母軸向剛度增大，工作臺的振動幅度減小，恢復(fù)平衡位置的時間從0.08 s減小到0.02 s。圖8中，設(shè)定絲杠導(dǎo)程為10 mm，且無預(yù)壓，5 mm和20 mm導(dǎo)程時增加預(yù)壓使剛度相同，且20 mm導(dǎo)程時需要增加更大的預(yù)壓，圖8說明增加更大的預(yù)壓后工作臺的振動幅度更小。圖7中實(shí)線為20 mm導(dǎo)程且無預(yù)壓，圖8中虛線為10 mm導(dǎo)程且無預(yù)壓，比較可知20 mm導(dǎo)程時的工作臺振幅更大且恢復(fù)平衡時間由0.06 s增大到0.1 s。圖7和圖8比較說明無預(yù)壓狀態(tài)下，絲杠導(dǎo)程越大，負(fù)載振幅越大，恢復(fù)平衡時間也越長。

圖9說明工作臺位于絲杠中間位置的時候振動幅度最小，位于絲杠兩端時的振動幅度較大。圖10說明工作臺質(zhì)量增大會使得振動幅度增大，但影響較小。圖7～圖10說明工作臺振動幅值隨絲杠螺母軸向剛度的增大而減小，隨絲杠導(dǎo)程的增大而增大。

圖11和圖12顯示了工作臺位于絲杠中間位置時，絲杠的軸向和扭轉(zhuǎn)振動情況，圖11說明在絲杠軸向的振動兩端較大，中間較小，圖12說明絲杠的扭轉(zhuǎn)振動是靠近電機(jī)端振動較小，遠(yuǎn)離電機(jī)的位置振動幅度變大。絲杠軸向振動比扭轉(zhuǎn)振動更快的恢復(fù)到平衡位置。

工作臺的振動會影響傳動系統(tǒng)的定位精度，降低絲杠螺母副的使用壽命，因此，在設(shè)計(jì)過程中需要充分考慮系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

根據(jù)仿真結(jié)果，在設(shè)計(jì)升降機(jī)構(gòu)時，同時考慮成本和需求，滾珠絲杠選擇20 mm直徑，10 mm導(dǎo)程，軸方向間隙預(yù)壓等級選擇P2，無間隙，輕預(yù)壓，選型設(shè)計(jì)后的升降機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)行較之前更加平穩(wěn)。

3 結(jié)語

本文研究了伺服激勵下滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和影響因素，首先利用拉格朗日方法建立了系統(tǒng)的動力學(xué)方程，然后對系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析，最后通過模態(tài)疊加原理分析了不同參數(shù)對工作臺位移響應(yīng)的影響。主要結(jié)論有：

(1)固有頻率隨導(dǎo)程和絲杠螺母軸向剛度的增大而增大，負(fù)載質(zhì)量對第一階諧振模態(tài)有一定影響。

(2)系統(tǒng)模態(tài)振型分布表明第一階和第三階振動主要是絲杠的扭轉(zhuǎn)振動，第二階振動是絲杠的軸向振動和扭轉(zhuǎn)振動的耦合。

(3)由位移響應(yīng)分析可知工作臺振動幅值隨絲杠螺母軸向剛度的增大而減小，隨絲杠導(dǎo)程的增大而增大。