張 寧

（中核第四研究設(shè)計(jì)工程有限公司，河北 石家莊 050021）

前言

隨著越來越多的大型水電機(jī)組投入運(yùn)行，由于其尺寸大、相對剛度較弱等引起的機(jī)組軸系振動(dòng)問題，已成為影響大型水電機(jī)組平穩(wěn)運(yùn)行的關(guān)鍵技術(shù)問題[1，2]。目前，關(guān)于水輪發(fā)電機(jī)組振動(dòng)的研究，主要以有限單元法和構(gòu)建動(dòng)力學(xué)模型法為主[3]。在研究機(jī)組軸系振動(dòng)方面前人已取得了很多研究成果，如ZENG等、SAEEED等通過理論推導(dǎo)或利用數(shù)值模擬軟件建立水電機(jī)組軸系振動(dòng)模型[4，5]。MA等為研究水電機(jī)組自振特性和系統(tǒng)穩(wěn)定性，提出了利用軸的擺度確定導(dǎo)向軸承動(dòng)態(tài)特性系數(shù)的方法[6]。

近年來，人們利用磁流變阻尼裝置（Magnetorheological Fluid Damper，MRD）進(jìn)行結(jié)構(gòu)減震，且已研制應(yīng)用于多場景的減振阻尼控制器。得益于其剛度和阻尼可控性好的特點(diǎn)，其已應(yīng)用于建筑、海洋石油平臺(tái)、橋梁等結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制[7]。在實(shí)際工程中，許多半主動(dòng)控制系統(tǒng)都采用磁流變阻尼材料，有學(xué)者提出同時(shí)考慮整體阻尼和剛度變化的結(jié)構(gòu)，并進(jìn)一步討論了參數(shù)對結(jié)構(gòu)剛度和阻尼變化的影響[8]。

文中基于磁流變液的水輪發(fā)電機(jī)組軸系非線性模型[9]，利用最優(yōu)化的方法，定義了MRD的位置函數(shù)，通過以MRD速度響應(yīng)函數(shù)為中間變量，推導(dǎo)得出帶有位置參數(shù)的MRD阻尼力模型，將其引入到水輪發(fā)電機(jī)組軸系模型中，進(jìn)而建立了含有位置參數(shù)的MRD機(jī)組軸系非線性動(dòng)力學(xué)模型。通過位置參數(shù)的調(diào)整實(shí)現(xiàn)對阻尼器的優(yōu)化布置，結(jié)合MRD阻尼器不同布置位置時(shí)系統(tǒng)的振型特征和振幅變化，實(shí)現(xiàn)對機(jī)組軸系振動(dòng)最優(yōu)的控制效果。

1 帶位置參數(shù)的MRD水電機(jī)組軸系非線性動(dòng)力學(xué)模型

1.1 MRD力學(xué)模型

MRD是一種新型的減振裝置，為了描述磁流變阻尼器的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性，SAKAI等在LuGre力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過推導(dǎo)將MRD非線性阻尼力方程寫為以下形式[10]：

其中，f是阻尼力，x·是活塞速度，σ1是β(t)的阻尼系數(shù)(Ns/m)，V是輸入電壓，β(t)是內(nèi)部狀態(tài)變量，σb是受V影響的粘性阻尼系數(shù)(Ns/mV)，σ0是受V影響的β(t)的剛度(N/mV)，σ2是粘性阻尼系數(shù)(Ns/m)，σa是β(t)的剛度(N/m)，a0是常數(shù)值。

1.2 水電機(jī)組軸系振動(dòng)影響因素

水電機(jī)組軸系簡化模型由發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子、上下導(dǎo)軸承、水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪、水導(dǎo)軸承以及轉(zhuǎn)軸組成。磁流變阻尼器可施加于轉(zhuǎn)軸上，分別布置于x、y兩個(gè)方向上。簡化模型如圖1所示。水電機(jī)組振動(dòng)實(shí)際上是作用于機(jī)組各種力之間的相互作用，因此機(jī)組軸系模型可簡化為作用于機(jī)組力的模型。

圖1 水電機(jī)組軸系簡化模型

1.2.1 阻尼力

水電機(jī)組穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，機(jī)組阻尼力有多種來源，如構(gòu)件之間摩擦，內(nèi)摩擦以及和外部介質(zhì)的相互作用引起的阻尼，運(yùn)行中以上因素同時(shí)存在，難以單獨(dú)分離開進(jìn)行分析。因此在動(dòng)力學(xué)分析中采用等效粘性阻尼來將以上因素統(tǒng)一考慮，其阻尼力可寫為以下形式[11]：

式中，c1為轉(zhuǎn)子阻尼系數(shù)，c2為轉(zhuǎn)輪阻尼系數(shù)。

1.2.2 不平衡磁拉力

機(jī)組運(yùn)行時(shí)由于轉(zhuǎn)子偏心會(huì)使轉(zhuǎn)子和定子之間產(chǎn)生不均勻氣隙，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子和轉(zhuǎn)輪之間磁場的不均勻，進(jìn)而使機(jī)組產(chǎn)生不平衡磁拉力。不平衡磁拉力與機(jī)組磁極對數(shù)有關(guān)，磁極對數(shù)大于3時(shí)，表達(dá)式[12]寫為：

式中，Λn為氣隙磁導(dǎo)Fourier系數(shù)；R、L分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子半徑和長度；Ij為勵(lì)磁電流；Kj為氣隙基波磁動(dòng)勢系數(shù)；γ為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)角。

1.2.3 非線性密封力

水輪機(jī)有多種水封形式，但不管什么形式都會(huì)使隨轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的水體對轉(zhuǎn)輪產(chǎn)生激振，這時(shí)密封力呈現(xiàn)非線性特征，其流體動(dòng)力學(xué)方程比較復(fù)雜。文獻(xiàn)中將密封力描述為如下形式[2]：

式中，mf為當(dāng)量質(zhì)量；D為當(dāng)量阻尼；K為當(dāng)量剛度；并且K、D、τf都是轉(zhuǎn)輪形心擾動(dòng)位移x2、y2的非線性函數(shù)。

1.2.4 非線性油膜力

通過前人的研究，我們知道Reynolds偏微分方程一般不能給出解析的積分表達(dá)式，因此要獲得非線性油膜力，需要針對軸承長度邊界條件，簡化受力情況。Capone模型在計(jì)算時(shí)收斂性和準(zhǔn)確性較高，采用Capone模型來計(jì)算水電機(jī)組軸系非線性油膜力[2]。其表達(dá)式為：

式中，σ為Sommerfeld修正系數(shù)，σfx-ym、σfy-ym分別為油膜力的無量綱分量。

1.3 基于MRD的水電機(jī)組軸系非線性動(dòng)力學(xué)模型

文中只考慮機(jī)組軸系橫向振動(dòng)，忽略推力軸承的影響，機(jī)組大軸和軸承均假設(shè)為剛性。根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)能公式可推導(dǎo)出機(jī)組軸系總動(dòng)能。

在 圖1中 令|B1B2|=a、|B2B3|=b、2|B3O2|=c、|B1O1|=|O1B2|，則可以得出轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪橫向位移r1、r2，可設(shè)r3、r4和r5分別為轉(zhuǎn)軸在上導(dǎo)、下導(dǎo)和水導(dǎo)軸承處的橫向位移。為使計(jì)算簡便可令a=b=2c，進(jìn)而可得到機(jī)組系統(tǒng)勢能。

通過將MRD非線性阻尼力引入系統(tǒng)廣義力中，可得到系統(tǒng)廣義力模型。綜合上述式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）得到系統(tǒng)廣義力模型為：

通過對機(jī)組系統(tǒng)動(dòng)能、位能計(jì)算，結(jié)合系統(tǒng)廣義力，由拉格朗日方程推導(dǎo)得出水電機(jī)組軸系運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中，Kx1、Ky1、Kx2、Ky2表達(dá)式為：

其中，k1、k2和k3分別為上導(dǎo)、下導(dǎo)以及水導(dǎo)軸承處的支撐剛度。

1.4 帶位置參數(shù)的MRD水電機(jī)組軸系非線性動(dòng)力學(xué)模型

利用最優(yōu)化的方法，將位置參數(shù)引入到MRD阻尼力模型中，可通過位置參數(shù)進(jìn)一步確定阻尼器的最優(yōu)布置位置。最優(yōu)化問題描述為[13]：

求解出變量x1，x2，…，xn的值，使評(píng)價(jià)函數(shù)f(x1，x2，…，xn)達(dá)到最大值或最小值，這就是最優(yōu)化問題。針對MRD阻尼器布置位置問題，顯然決策變量為布置位置，評(píng)價(jià)函數(shù)為機(jī)組動(dòng)力學(xué)微分方程。

因此為表示MRD阻尼器在水輪發(fā)電機(jī)組軸系中的具體布置位置，我們定義s1、s2（0

其中L=|B1B2|+|B2B3|+|B3O2|為機(jī)組大軸總長度，s1、s2在（0，1）之間取值可保證MRD阻尼器取到大軸上任意位置。

由前文可知轉(zhuǎn)軸假設(shè)為剛性，將阻尼器位置函數(shù)引入轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪徑向位移函數(shù)公式，得到阻尼器徑向振動(dòng)位移函數(shù)，對其求導(dǎo)可得到MRD阻尼器徑向振動(dòng)速度與轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪軸系振動(dòng)速度的函數(shù)關(guān)系為：

基于已知的MRD阻尼器阻尼力模型，將推導(dǎo)的含有位置參數(shù)的阻尼器振動(dòng)位移函數(shù)和速度函數(shù)帶入阻尼力模型中，可得到含有位置參數(shù)的MRD阻尼力模型：

為簡化方程減小運(yùn)算量，仍采用1.3中的假設(shè)，即a=b=2c。則得到帶位置參數(shù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

2 不同MRD阻尼器布置位置情況下水電機(jī)組減振效果分析

算例采用南方某水電站機(jī)組物理參數(shù)，算例數(shù)值計(jì)算時(shí)所采的MRD阻尼器無量綱參數(shù)值如表1所示，該MRD模型參數(shù)相對于輸入電壓具有雙線性形式，由于摩擦模型的特性，所有參數(shù)均取為正值，粘性阻尼系數(shù)與輸入電壓成正比。

表1 MRD所采用參數(shù)值

2.1 基于振型分析

在引入位置參數(shù)后，以位置參數(shù)為自變量，通過位置參數(shù)的變化探究阻尼器布置位置對水電機(jī)組減振效果的影響，由于位置參數(shù)s1位于取值處于上導(dǎo)軸承和下導(dǎo)軸承之間，軸承對大軸約束強(qiáng)，參數(shù)變化對機(jī)組振型影響較小。因此著重對位置參數(shù)s2的變化時(shí)的機(jī)組振型進(jìn)行分析，將位置參數(shù)s1設(shè)為定值，分析位置參數(shù)s2與機(jī)組振動(dòng)的關(guān)系。如圖2所示為機(jī)組振動(dòng)狀態(tài)關(guān)于位置參數(shù)s2的分岔圖。從圖2中可以看出，在s2變化時(shí)機(jī)組存在明顯的周期和擬周期運(yùn)動(dòng)，并且機(jī)組振幅在10-4量級(jí)，說明擬周期性較強(qiáng)。當(dāng)s2>0.76時(shí)，機(jī)組振動(dòng)為穩(wěn)定的周期態(tài)，且明顯抑制了機(jī)組額外諧波分量。

圖2 以s2為控制參數(shù)轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪分岔圖

2.2 基于振幅分析

通過上述分析根據(jù)機(jī)組運(yùn)動(dòng)形式大致確定了s1、s2的取值范圍，以下結(jié)合機(jī)組振動(dòng)幅值的變化進(jìn)一步確定阻尼器的最優(yōu)布置位置。如圖3所示為轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪振動(dòng)最大幅值關(guān)于位置參數(shù)s1、s2的曲面圖。從圖3中曲面上可以明顯看出不論轉(zhuǎn)子還是轉(zhuǎn)輪，曲面上都有一個(gè)類似“斷崖式”的振幅突降，這些振幅突降坐標(biāo)在位置參數(shù)s1、s2平面上構(gòu)成了一條曲線，暫且稱該曲線為“振形線”，這條曲線兩側(cè)位置參數(shù)分別對應(yīng)系統(tǒng)不同運(yùn)動(dòng)形式。由于位置參數(shù)越過該曲線之后，轉(zhuǎn)輪響應(yīng)由擬周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)，因此振動(dòng)幅值趨于平穩(wěn)。這也是轉(zhuǎn)輪在該曲線附近出現(xiàn)明顯“斷崖式”位移突降的原因，并且從圖3（b）中可以看出位移突降后轉(zhuǎn)輪位移穩(wěn)定在0.215 mm左右，位置參數(shù)變化對轉(zhuǎn)輪振幅影響也響應(yīng)減小。

圖3（a）中轉(zhuǎn)子振幅變化情況則與轉(zhuǎn)輪不同，從圖3（a）中看出在位置參數(shù)越過“振形線”后，系統(tǒng)參數(shù)變化對其振幅仍有影響。其振幅隨著s1的減小、s2的增加而減小，即在上阻尼器向轉(zhuǎn)子靠近，下阻尼器向轉(zhuǎn)輪靠近這個(gè)過程中，轉(zhuǎn)子振幅是在不斷減小的。

圖3 轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪不同位置參數(shù)下三維振幅曲面圖

3 結(jié)論

文章通過將位置參數(shù)引入到MRD水電機(jī)組軸系非線性模型中，建立了含有位置參數(shù)的MRD機(jī)組軸系非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了不同阻尼器布置位置對機(jī)組的減振控制效果。研究結(jié)果表明，不同阻尼器布置位置對機(jī)組振動(dòng)形式和振幅控制有明顯的影響，整體來說，阻尼器布置位置對轉(zhuǎn)子的影響要小于對轉(zhuǎn)輪的影響，通過調(diào)整位置參數(shù)使其位于機(jī)組系統(tǒng)“振形線”右側(cè)，可以使轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪都保持周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)，有效抑制機(jī)組系統(tǒng)振動(dòng)的額外諧波分量、減小機(jī)組振動(dòng)幅值。