林美琳

(應(yīng)用數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(莆田學(xué)院)， 福建 莆田 351100)

0 引言

本文考慮如下一類帶權(quán)的含有不定非線性項(xiàng)橢圓方程正解的存在性問(wèn)題：

(1)

由于本文采用變分方法來(lái)求解方程的解，因此首先給出下列Euler -Lagrange泛函：

成立.于是再由橢圓正則性估計(jì)可知，u∈C2(Ω{0}).

定理1若條件(A)成立，且μ∈(0,μ1)， 0≤λ<Λ-(1+a)2， 則方程(1)至少存在1個(gè)正解.

1 預(yù)備知識(shí)

本文考慮如下極小問(wèn)題：

由于S0是Sobolev嵌入的最佳常數(shù)，因此由文獻(xiàn)[5-8]可知S(a,b,μ)的一組達(dá)到函數(shù)為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2 相關(guān)引理及其證明

考慮如下Nehari流形：

Mμ={u∈Ha;G(u)=〈J′μ(u),u〉=0,u≠0}.

證明對(duì)于?u∈Mμ，由條件(A)和Sobolev不等式可得：

證明因{un}?Mμ, 0<μ<μ1, 所以有：

由上式可知{un}在Ha中有界.于是可以選取一個(gè)子序列{un}， 在Ha中un?u(n→∞)， 在Ω中un→u, a.e.(n→∞).由集中緊性原理[10]可知，在Ω中存在至多可數(shù)集I, 使得：

(7)

(8)

(9)

(10)

Λγ0≤α0.

(11)

令n→ +∞， 由此可得αi≤K(xi)βi≤|K|∞βi.再由式(9)可得βi=0或βi≥(S0/|K|∞)p/(p -2).下證βi=0.若存在i∈I, 使得βi≠0， 則由測(cè)度β的有界性可知，集I有限.由此再利用Brezis -Lieb引理[11]可得：

顯然知上述不等式矛盾，因此對(duì)任意的i∈I, 有βi=0.

證明取t0vε∈Mμ(vε的定義見(jiàn)本文中預(yù)備知識(shí))，于是由計(jì)算可知

再根據(jù)式(3)—式(6)可得：

定理1的證明由引理2— 引理5可知，c是可達(dá)到的.設(shè)ω∈Mμ達(dá)到c.由于{un}是Jμ(u)在Mμ上的極小化序列，因此{(lán)|un|}也是.另外，由引理2—引理5還可知，可設(shè)ω為Jμ的一個(gè)非負(fù)臨界點(diǎn)，即ω為方程(1)的一個(gè)非負(fù)解.于是由強(qiáng)極值原理可知ω為方程(1)的一個(gè)正解，證畢.