袁富宇，肖碧琴，劉 凱，代志恒

(江蘇自動化研究所，江蘇 連云港 222061)

純方位TMA(目標運動分析)技術是水下作戰(zhàn)平臺的一個關鍵技術，幾十年來一直得到國內(nèi)外學者的研究，提出了諸多有效的解算方法，典型的有Kalman濾波方法、極大似然估計方法、Taylor級數(shù)方法等。Kalman濾波類方法中最有效的是修正極坐標方法，是國內(nèi)外諸多系統(tǒng)中常備算法，缺點是對濾波初值的選取較為敏感，必須結合實際應用背景事先選好一些可行的初值。極大似然估計方法是諸多被動定位系統(tǒng)尤其是水下系統(tǒng)的主要算法，可由非線性優(yōu)化方法實現(xiàn)計算。Taylor級數(shù)法也是常用的TMA方法，尤其在無線電定位系統(tǒng)中，這種方法的缺點也是需要一個初始值，且對初始值較為敏感，由于是局部校正，因此無法保證迭代計算的收斂性。

由于Taylor級數(shù)方法簡單易行，是各種被動定位系統(tǒng)中的常用算法，因此，本文針對純方位量測條件下基于單個觀測平臺(有效機動)的目標運動分析問題，對Taylor級數(shù)方法進行仿真分析，提出一些改進措施，結果表明能夠大幅提高解算效果。

1 Taylor級數(shù)方法描述

假定定常未知量設為∈，量測量設為∈，=1,2,…,，量測方程一般為非線性方程

(1)

對式(1)在點處進行Taylor級數(shù)一次展開

(2)

其中

d=-

(3)

(4)

并且略去了二階以上的高階項。為方便起見，令

(5)

=?()

(6)

那么式(2)改寫為

(7)

利用線性最小二乘方法可得

(8)

令

=+d

(9)

返回式(2)～(8)進行迭代計算，直至收斂。這便是Taylor級數(shù)方法的大致計算過程。

對于純方位TMA問題(假定目標勻速直航)來講，可以選取

=(0,0,,)′

(10)

其中(0,0)是目標的初始位置坐標，、是目標速度分量(大地直角坐標系)。

量測方程為

(11)

其中為目標在時刻相對觀測平臺方位，(,)是觀測平臺在時刻的位置坐標(坐標原點一般設在觀測平臺的初始位置)，Δ=-，為初始時刻，一般設為零時刻。此時未知量的維數(shù)=4，量測量的維數(shù)=1。

選擇一個初值，由式(11)不難計算出

(12)

(13)

這樣，給定初始值后，依據(jù)公式(12)、(13)，按照公式(2)～(8)的流程就可以迭代計算目標運動參數(shù)。

比如，取初距=30 km、速度=20 kn、初始舷角=30°的態(tài)勢，觀測平臺按照下文“仿真分析”部分的航路機動，采樣間隔Δ=1 s，總采樣時間=10 min，不疊加量測誤差。選取迭代初始值=25 km、速度=18 kn、初始舷角在區(qū)間[5°,55°]均勻隨機選取，計算20條航次。觀測平臺量測10 min時，迭代結果如表1所示。

表1 原始算法結果

2 Taylor級數(shù)方法的一種改進

(14)

為簡單起見，令

(15)

≥0。=0時就是原始Taylor級數(shù)法，本文選取=1,2,…,6進行考察，表示6種改進方法。

3 仿真分析

3.1 仿真態(tài)勢

選用文獻[21]仿真算例的觀測平臺機動方式，速度=3 m/s(約583 kn)，從坐標原點沿航向1=90°航行4 min，再反向轉180°，用時1 min，轉向之后的航向2=270°。目標初始位置位于軸上(即初始方位=0°)，如圖1所示。

圖1 模擬場景

=10,15,20,25,30(km)

=10,15,20,25,30(kn)

=10°,30°,50°,70°,90°

觀測平臺導航不疊加誤差，方位量測誤差均方根=05°(同文獻[21] )，采樣間隔Δ=1 s，總采樣時間=10 min。僅考察末端時刻=10 min時的解算結果。

3.2 Taylor_LSl的仿真分析

把式(14)和(15)的改進方法稱為Taylor_LSl方法，取l=1,2,…,6進行考察。

首先，仍取初距=30 km、速度=20 kn、初始舷角=30°的態(tài)勢，不疊加量測誤差。迭代初始值仍選擇=25 km、速度=18 kn、初始舷角在區(qū)間[5°,55°]均勻隨機選取，計算20條航次，10分鐘時的迭代結果全部(=1,2,…,6)收斂到真值，見表2(僅給出5個航次結果)。

表2 改進算法結果

可見式(14)和(15)的改進方法是可行的。共125種態(tài)勢。

考察改進方法Taylor_LSl(l=1,2,…,6)對迭代初值的敏感性。選取[10,30] (km)、[8,25] (kn)、[-80,90] (°)為初值選取范圍，初值從這3個區(qū)間內(nèi)均勻隨機選取。對每一態(tài)勢運行50個航次，每次都改變初值，不疊加量測誤差。

結果表明，當?shù)踔怠斑h離”真值時，改進方法還是會發(fā)散的，具體有以下幾點表現(xiàn)：

1) “遠離”尺度沒有嚴格的閾值，有時“大”尺度能收斂，“小”尺度也可能發(fā)散。比如，對于態(tài)勢=10 km、=10 kn、=10°，兩次運行結果如表3、4所示。

表3 改進算法J=18航次結果

表4 改進算法J=20航次結果

2) 改進方法Taylor_LS1的發(fā)散特征為det接近0(<10)，迭代結束時‖‖是一個大數(shù)(>10)。

3) 改進方法Taylor_LSl(l=2,…,6)的發(fā)散特征為det為負值(理論上應該>0，當det<0時終止迭代)，同樣地‖‖也是一個大數(shù)(>10)。

4) 初值、的誤差對迭代發(fā)散有“交互”作用，即Δ、Δ除自身影響外，也有“共同”影響。、、初值誤差對發(fā)散的影響程度不一樣。

5)=30 km時，沒有發(fā)散現(xiàn)象出現(xiàn)，=20、25 km時有一些發(fā)散情況，當≤15 km時有較多的發(fā)散現(xiàn)象,即遠距離態(tài)勢發(fā)散情況較少出現(xiàn)或不出現(xiàn)。

下面詳細考察每一初值誤差對迭代的影響。

先考察初值誤差對迭代的影響。設=真值、=真值，在[10,30] (km)范圍內(nèi)均勻隨機選取，仍不疊加量測誤差，進行100航次統(tǒng)計計算。結果表明，對于=10 km態(tài)勢，當=10 kn時，出現(xiàn)迭代異常的最小初距(相對)誤差(簡稱異常誤差，下同)>75；當=15 kn，≤50°時出現(xiàn)迭代異常的誤差>50，其余態(tài)勢的異常誤差>75；當=20 kn時，出現(xiàn)迭代異常的誤差>50；=25 kn的異常誤差為:當≥40°時>50，當≤30°時>10；=10 km的每一態(tài)勢的異常航次在50～80航次之間。對于=15 km態(tài)勢，當≤15 kn時，最小異常誤差>75，且每一態(tài)勢的異常航次≤22；當≥20 kn時，最小異常誤差>50，且每一態(tài)勢的異常航次≤31?！?0 km態(tài)勢未出現(xiàn)異常航次?？梢姡嚯x態(tài)勢對距離初值誤差較敏感。

再考察初值誤差對迭代的影響。設=真值、=真值，在[8,30] (kn)范圍內(nèi)均勻隨機選取，不疊加量測誤差，進行100航次統(tǒng)計計算。統(tǒng)計結果為，對于=10 km態(tài)勢，當=20 kn，=10°時，出現(xiàn)迭代異常的最小速度(相對)誤差>50，改進方法=1有兩個航次異常(>1時無異常出現(xiàn))；當=25 kn，≤30°時出現(xiàn)迭代異常的速度初值誤差>10，所有改進方法出現(xiàn)異常，異常航次數(shù)在18～45之間；其余態(tài)勢未出現(xiàn)異常航次。可見，高速態(tài)勢對速度初值誤差較敏感。

最后考察舷角初值對迭代的影響。設=真值、=真值，在[-180°,180°]區(qū)間內(nèi)均勻隨機取值，不疊加量測誤差，進行100航次統(tǒng)計計算。結果發(fā)現(xiàn)，迭代異常多發(fā)生在大初值誤差情形。僅在=10 km、=25 kn、≤20°態(tài)勢中，改進方法=1,2當|Δ|≤25°時發(fā)散；在=10 km、=20 kn、≤30°和=25 kn、30°≤≤60°，以及=15 km、=25 kn的各種態(tài)勢，當25°<|Δ|≤50°時發(fā)散。其余態(tài)勢情況為，少部分態(tài)勢當50°<|Δ|≤75°時發(fā)散，大部分發(fā)散情形皆為|Δ|>75°。并且對每一改進方法，發(fā)散航次數(shù)均小于10?？梢?，改進方法對舷角初值誤差不太敏感。

上述僅考察了單參數(shù)初值誤差的影響，實際上，多參數(shù)初值誤差的交互影響也是存在的，由于其復雜性，本文暫不考慮。

根據(jù)以上分析，距離初值應盡量選取“近距”值，以照顧近距態(tài)勢對距離初值誤差的敏感性，速度應盡量選取“高速”值，以適應高速態(tài)勢對速度初值誤差的敏感性，舷角初值選取真值左、右25°范圍的值(以照顧舷角誤差最敏感態(tài)勢)。比如，如果態(tài)勢范圍就是上述仿真所用的態(tài)勢范圍，可以選取=12 km、=30 kn、在真值左右25°范圍均勻隨機選取。100航次仿真計算，仍發(fā)現(xiàn)有個別近距、高速、小舷角態(tài)勢(=10 km：=25 kn、=20°和=30 kn、≤30°)某些航次(25 kn時航次數(shù)≤4，30 kn時航次數(shù)≤30)發(fā)散。修改初值=10 km，僅剩=30 kn的態(tài)勢發(fā)散，再把初值限制在真值左右15°范圍，就全部收斂了。

在實際運用中，可設定=10 km、=30 kn。如能由別的方法預估出，則把估值作為舷角初值。當不能預估時，若能判別出目標舷別，可取=±45°；當不能判別舷別時，可在[-90°,90°]或[-180°,180°]區(qū)間內(nèi)均勻隨機選取一值。若發(fā)散，則從開始左右各10°改變進行試算，直至收斂。發(fā)散判據(jù)依det<10或‖‖>1進行判別。

我們以在[-180°,180°]區(qū)間內(nèi)選取為例，對31節(jié)中的125種態(tài)勢進行驗證，方位量測誤差均方根=05°，統(tǒng)計10 000航次。由于當算法收斂時，6種改進方法結果等價，因此僅取=2進行考察。統(tǒng)計結果表明，125種態(tài)勢的10 000條航次沒有發(fā)散情況出現(xiàn)。表5給出了部分態(tài)勢(對初值誤差較為敏感的態(tài)勢)的統(tǒng)計結果。

表5 改進算法優(yōu)選初值解算結果，10 000航次統(tǒng)計

4 結束語

本文對Taylor級數(shù)方法在純方位目標運動分析應用中的發(fā)散問題進行了仿真討論。首先通過引入較大的權值改進了原始方法的奇異性，其次通過仿真分析尋找到了較好的初值選取原則，最后利用方法的發(fā)散特征，提出了“萬無一失”的舷角初值試探原則，保證了方法的收斂性。

改進方法的思想還可以推廣應用到水面、空中單平臺被動探測(雷達輻射探測、紅外探測等)目標定位與跟蹤中，以及水面、空中多平臺純方位交叉定位與跟蹤應用中。