劉建坤，南江紅，翁藝航

(上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

航天器在發(fā)射過程中會受到運載火箭的振動作用，艦載或車載的雷達(dá)天線也會受到載體在運動過程中的振動作用，這種振動會對其帶來不利影響[1]。因此，采取適當(dāng)?shù)拇胧教炱鞯仍O(shè)備進行隔振是很有必要的[2]。目前主要采用在設(shè)備和載體之間安裝穩(wěn)定平臺的方法進行隔振[3-4]。現(xiàn)在的穩(wěn)定平臺結(jié)構(gòu)形式多采用兩軸或三軸串聯(lián)機構(gòu)穩(wěn)定平臺，主要用來隔離動態(tài)載體的搖擺運動[5-6]。并聯(lián)機構(gòu)形式的穩(wěn)定平臺大多采用六執(zhí)行器的Sterwart平臺結(jié)構(gòu)，由于載體的縱搖、橫搖和垂蕩對設(shè)備的影響最大[7]，在現(xiàn)有穩(wěn)定平臺上再串聯(lián)移動裝置會導(dǎo)致整個穩(wěn)定系統(tǒng)過于龐大和復(fù)雜。因此需要設(shè)計結(jié)構(gòu)簡潔的動態(tài)載體穩(wěn)定平臺。

并聯(lián)機構(gòu)具有高精度、高剛度、高承載能力、結(jié)構(gòu)對稱且簡潔的特點，其理論越來越成熟、并且在多個領(lǐng)域得到了應(yīng)用[8]。3-SPR并聯(lián)機構(gòu)是眾多并聯(lián)機構(gòu)中的一種，具有3個自由度，兩個方向的轉(zhuǎn)動和一個方向的平動，近年來對該并聯(lián)機構(gòu)研究主要集中在理論分析與部分領(lǐng)域的應(yīng)用[9-12]。所以本文選用了3-SPR并聯(lián)機構(gòu)作為動態(tài)載體穩(wěn)定平臺，其可安裝于運載火箭和航天器之間，也可安裝于雷達(dá)天線和艦船或載車之間作為主動隔振平臺。本文對該機構(gòu)進行了隔振原理分析與仿真驗證。

1 3-SPR并聯(lián)機構(gòu)穩(wěn)定平臺概述

3-SPR并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示，包括上平臺、下平臺、3個構(gòu)型相同的SPR(球副-移動副-轉(zhuǎn)動副)支鏈。每個支鏈由3個運動副和2個連桿組成。連桿通過移動副連接，支鏈一端與上平臺通過轉(zhuǎn)動副連接，支鏈另一端與下平臺通過球副連接，3個支鏈均勻布置。下平臺固連于運動基座上，精密設(shè)備安裝于上平臺，通過控制3個支鏈的移動副來改變上平臺的位置和姿態(tài)，可實現(xiàn)兩自由度轉(zhuǎn)動和一自由度平動。

圖1 3-SPR并聯(lián)機構(gòu)

建立坐標(biāo)系如圖2所示，圖中{U}是全局坐標(biāo)系，連體坐標(biāo)系{B}與下平臺固連，坐標(biāo)原點位于下平臺的中心，其中y軸指向支鏈1與下平臺的鉸接點b1，z軸垂直于下平臺向上，x軸的方向按笛卡兒坐標(biāo)系確定，連體坐標(biāo)系{P}與上平臺固連，坐標(biāo)原點位于上平臺的中心，其中y軸指向支鏈1與上平臺的鉸接點a1，z軸垂直于上平臺向上，x軸的方向按笛卡兒坐標(biāo)系確定。上平臺具有繞x和y軸的轉(zhuǎn)動自由度和沿z軸的平動自由度。將該機構(gòu)應(yīng)用于穩(wěn)定平臺時的基本原理為：下平臺的姿態(tài)發(fā)生變化，通過調(diào)整3個支鏈的長度使上平臺的高度和姿態(tài)保持不變。

圖2 3-SPR機構(gòu)簡圖

如圖2所示，矢量L1、L2、L3分別表示3個支鏈的方向和長度；e1、e2、e3分別表示3個支鏈的單位矢量；n1、n2、n3分別表示3個轉(zhuǎn)動副軸線的單位矢量；上平臺和下平臺分別是半徑為rb和ra的圓。

2 位置反解

(1)

式中：cα為cosα；cβ為cosβ；cγ為cosγ；sα為sinα；sβ為sinβ；sγ為sinγ。

(2)

(3)

根據(jù)機構(gòu)的連接關(guān)系可得到支鏈?zhǔn)噶糠匠虨?/p>

(4)

其中i=1，2，3；ai表示下平臺球副中心相對于下平臺中心的位置矢量；bi表示上平臺轉(zhuǎn)動副中心相對于上平臺中心的位置矢量。

3 位姿約束方程

在3-SPR并聯(lián)機構(gòu)中，3個轉(zhuǎn)動副的布置限制了上平臺和下平臺的相對運動自由度，因此需要得到6個自由度參數(shù)的相對函數(shù)關(guān)系，即位姿約束方程。分析該并聯(lián)機構(gòu)的特點，得到Li⊥ni，即Li·ni=0。所以，對3個支鏈進行計算可得6個自由度參數(shù)的函數(shù)關(guān)系。

(5)

4 速度分析

vbi=vP+ωP×bi

(6)

vai=vB+ωB×ai

(7)

對式(4)兩邊求導(dǎo)數(shù)可得：

(8)

(9)

對3個支鏈可得

(10)

對于第i個支鏈，鉸點bi的速度還可表示為

(11)

上式兩邊同時乘ni可得

0=ni(vbi-vai)

(12)

對3個支鏈可得：

(13)

JnP和JnB是約束映射矩陣，

由式(12)和式(13)可得：

(14)

通過慣性組件可測得上平臺和下平臺的線速度和角速度，所以根據(jù)上式即可算出每個支鏈應(yīng)該輸出的驅(qū)動速度。

5 穩(wěn)定原理分析

當(dāng)下平臺受到振動姿態(tài)發(fā)生變化時，若要上平臺保持水平且高度不變，則上平臺坐標(biāo)系{P}的z軸與坐標(biāo)系{U}的z軸同向。即

(15)

(16)

所以可得歐拉角α和β為：

β=arcsin(c31)

(17)

(18)

6 靜力特性分析

該并聯(lián)機構(gòu)受到的外力為：上平臺受到力F2和力矩M2，下平臺受到力F1和力矩M1。設(shè)上平臺的質(zhì)量為m2，下平臺質(zhì)量為m1，忽略連桿的質(zhì)量。設(shè)支鏈i中移動副的推力為fi。取支鏈i為研究對象，支鏈i的球副受到下平臺的力，將該力分解為沿支鏈的力fi和垂直于支鏈的力fpi，支鏈i的轉(zhuǎn)動副受到上平臺的力和力矩，并將該力分解為沿支鏈的力fdi和沿轉(zhuǎn)動副軸線的力fvi，還有力矩Ti，如圖3所示，根據(jù)力的平衡公式得

fiei-fdiei+fpi+fvini=0

(19)

圖3 隔支鏈i受力圖

根據(jù)定義ei⊥ni，所以fi=fdi，fpi=-fvini，即fpi的大小等于fvi，方向與ni相反。

取下平臺為研究對象，下平臺受到力F1(含重力m1g)、力矩M1和來自3個支鏈的力，下平臺受力如圖4所示。

圖4 下平臺受力圖

根據(jù)力和力矩的平衡公式得：

(20)

(21)

H為下平臺和支鏈主動力和約束力的靜力傳遞矩陣。H是6維方陣，當(dāng)H是非奇異矩陣時則可得到逆矩陣H-1。根據(jù)式(19)可得到該并聯(lián)機構(gòu)穩(wěn)定平臺的3個主動力、3個結(jié)構(gòu)約束力和下平臺所受的外力、外力矩矢量之間的力傳遞矩陣及其逆矩陣。

7 穩(wěn)定平臺控制策略分析

該并聯(lián)機構(gòu)穩(wěn)定平臺有3個分支，每個分支為一個驅(qū)動器，驅(qū)動器是主動隔振系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，要根據(jù)響應(yīng)速度、輸出力大小、驅(qū)動行程等因素確定驅(qū)動器方案。本文采用電動缸作為驅(qū)動器，電動缸結(jié)構(gòu)簡單、技術(shù)成熟、輸出力大且響應(yīng)快速，非常適用于低頻主動隔振。

首先對單個驅(qū)動器進行控制。單個驅(qū)動器的控制是穩(wěn)定平臺整體控制的基礎(chǔ)。根據(jù)穩(wěn)定平臺的動力學(xué)模型，當(dāng)經(jīng)過總控制器計算出每個驅(qū)動器所需輸出的位移和力后。單個分支的控制器需發(fā)出精確的信號使驅(qū)動器輸出所需的位移和力。單個驅(qū)動器的基本控制框圖如圖5所示，圖中Xd是所需輸出的位移信號，X是實際輸出的位移信號，E是振動干擾信號，Kp、Td、Ti分別是比例常數(shù)、微分常數(shù)、積分常數(shù)。

圖5 驅(qū)動器基本控制框圖

根據(jù)牛頓-歐拉法對該穩(wěn)定平臺建立閉環(huán)動力學(xué)模型[13]，可以在通過慣性組件測量上平臺和下平臺的運動的基礎(chǔ)上求得所需的驅(qū)動力，該模型可以表示為

(22)

式中：M為上平臺質(zhì)量矩陣；V為速度矩陣；G為重力矩陣；H為力映射矩陣；F為力矩陣；B為下平臺質(zhì)量矩陣。

根據(jù)PID控制算法，

(23)

式中Kd、Kp、Ki分別為微分常數(shù)、比例常數(shù)、積分常數(shù)。

根據(jù)穩(wěn)定平臺控制算法，可以畫出該穩(wěn)定平臺的控制框圖，如圖6所示。

圖6 穩(wěn)定平臺控制框圖

根據(jù)穩(wěn)定平臺的控制算法和控制框圖可以在仿真軟件中建立主動隔振系統(tǒng)的控制框圖，并且進行仿真。

8 算例

根據(jù)穩(wěn)定平臺控制框圖，在仿真軟件中對其進行運動仿真，驗證該穩(wěn)定平臺的主動隔振性能。首先確定穩(wěn)定平臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)：ai=171mm，bi=215mm，每個支鏈li的最短距離是258mm，最長距離是308mm。對穩(wěn)定平臺施加正弦振動，頻率是10Hz，即下平臺受到頻率是10Hz的沿z向的振動激勵。為了保證上平臺的穩(wěn)定，通過運動學(xué)和穩(wěn)定原理分析計算可得每個支鏈li的長度變化及驅(qū)動速率。對穩(wěn)定平臺施加主動隔振控制時，穩(wěn)定平臺上平臺和下平臺的振動位移對比，如圖7所示，穩(wěn)定平臺上平臺和下平臺的振動速度對比，如圖8所示(本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者。)。

圖7 下平臺和上平臺振動位移對比

圖8 上平臺和下平臺振動速度對比

當(dāng)下平臺受到搖擺振動激勵時，設(shè)振動頻率是10Hz，且繞y軸振動，下平臺的振動曲線如圖9所示，下平臺的角速度如圖10所示。為了保證上平臺的穩(wěn)定，每個支鏈li的長度變化如圖11所示，每個支鏈的驅(qū)動速度如圖12所示。對穩(wěn)定平臺施加主動隔振控制時，由于該并聯(lián)機構(gòu)穩(wěn)定平臺的固有特性，上平臺的姿態(tài)可以穩(wěn)定不變，但是上平臺在水平方向會有移動，如圖13所示，上平臺的移動速度如圖14所示，穩(wěn)定平臺上平臺和下平臺的振動角速度對比如圖15所示。

圖9 下平臺繞y軸搖擺

圖10 下平臺的角速度

圖11 每個支鏈的長度變化

圖12 每個支鏈的驅(qū)動速度

圖13 上平臺位移

圖14 上平臺移動速度

圖15 上平臺角速度與下平臺角速度對比

由圖7-圖15對比可知，對穩(wěn)定平臺施加主動隔振控制后，穩(wěn)定平臺的隔振效果比較明顯。保證了上平臺的穩(wěn)定，即保證了安裝在上平臺的航天器或者雷達(dá)天線的穩(wěn)定。

9 結(jié)語

本文提出采用3-SPR并聯(lián)機構(gòu)作為穩(wěn)定平臺進行主動隔振控制，根據(jù)穩(wěn)定原理在3-SPR并聯(lián)機構(gòu)上建立坐標(biāo)系，推導(dǎo)上平臺和下平臺的姿態(tài)變換矩陣，建立機構(gòu)的位姿約束方程。通過速度分析，建立速度映射矩陣，分析穩(wěn)定原理，推導(dǎo)機構(gòu)的靜力平衡方程，得到機構(gòu)的靜力傳遞矩陣，可計算機構(gòu)在任意穩(wěn)定姿態(tài)下的支鏈主動力和結(jié)構(gòu)約束力。本文分析了該穩(wěn)定平臺的主動隔振控制策略，確定了控制算法和控制框圖。通過算例證明了對該穩(wěn)定平臺進行運動學(xué)、靜力特性和控制策略分析的正確性。在振源的振動參數(shù)已知，即下平臺的姿態(tài)由慣性組件測得的條件下，可通過該機構(gòu)的姿態(tài)變換矩陣、位姿約束方程和支鏈方程計算得到每個支鏈的長度，從而使上平臺保持水平和高度不變。通過對該機構(gòu)的運動和靜力特性分析，為該并聯(lián)機構(gòu)穩(wěn)定平臺的工程應(yīng)用和優(yōu)化設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ)。